Из 25 контрольных работ среди которых 5 оценены на отлично наугад извлекают 3 работы
Перейти к содержимому

Из 25 контрольных работ среди которых 5 оценены на отлично наугад извлекают 3 работы

Задача 3

Телефонная станция получает в час в среднем nвызовов. Составить закон распределения количества вызовов, полученных станцией за одну минуту (случайная величина X). Построитьмногоугольник (полигон) распределениядля иллюстрации распределения. Найти функцию распределенияF(x) случайной величиныXи построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание)M(X), дисперсиюD(X), среднее квадратическое отклонениеи модуСВХ. Вычисление математического ожиданияM(X), дисперсииD(X), среднего квадратического отклоненияпровести двумя способами: приближенно, используя таблицу распределения, взяв первые 20 значений СВ, и аналитически, используя тот факт, что заданное распределение пуассоновское . Какова вероятность того, что за одну минуту станция получит а) не менее kи не болееmвызовов? б) менее kвызовов? в) более mвызовов? г) менее kвызовов или болееmвызовов? Исходные данные приведены в таблице 1.6. Таблица 1.6

Варианты заданий

Вариант n k m Вариант n k m
1 360 3 7 16 270 2 7
2 240 3 8 17 360 3 8
3 270 5 8 18 240 2 7
4 330 3 7 19 330 2 7
5 360 4 9 20 420 2 7
6 240 4 9 21 360 5 7
7 270 3 7 22 240 3 9
8 330 3 8 23 270 3 8
9 420 4 9 24 330 3 9
10 360 2 7 25 420 3 8
11 240 3 7 26 360 5 8
12 270 4 9 27 240 4 9
13 330 5 8 28 270 3 9
14 240 5 8 29 330 4 9
15 360 3 9 30 420 3 7

Примеры решения задач

ЗАДАЧА 1. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения случайной величины Х — числа работ, оцененных на «отлично», среди отобранных работ. Найти функцию распределенияF(x) случайной величиныXи построить ее график. Найти дляXее среднее значение (математическое ожиданиеM(X)), дисперсиюD(X),среднее квадратическое отклонениеи моду. Найти вероятность, гдеa=x2, b=xn-1двумя способами: используя функцию распределения и непосредственно по таблице распределения. Решение:Пусть случайная величинаX– число работ, оцененных на «отлично» среди трех отобранных. Так как из 25 контрольных работ 5 оценены на «отлично» и выбирается из них 3 работы, то случайная величинаXможет принимать следующие значения: Найдем вероятности того, что случайная величина Х примет соответствующие значения. Заметим, что решение задачи о нахождении вероятности события(Х=0),то естьР(Х=0), как впрочем и решение задач о нахождении следующих вероятностейР(Х=1), Р(Х=2), Р(Х=3), может быть найдено с помощью известной формулы где N— общее количество исходов,M– количество исходов, благоприятствующих появлению событияА. В этой задаче событиеА состоит в том, что среди отобранных работ, число работ, оцененных на «отлично», равноk;kпоследовательно принимает значения 0, 1, 2 и 3;N– количество способов выбора трех работ из 25 — общего количества работ;M– количество способов выбораkработ, оцененных на «отлично», из общего количества работ. Предварительно найдем число сочетаний из 25 по 3 (число способов, которыми можно из 25 контрольных работ извлечь 3): Для (X=0) число исходов, благоприятствующих появлению событияА, может быть вычислено по формуле Тогда . Тогда искомый закон распределения примет вид

X 0 1 2 3
pi 0,496 0,413 0,087 0,004

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице: Проведем все эти расчеты в MSExcel. Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины Xнайдем по формуле (1.3). Пример реализации вMSExcelдан на рис.1.3, интервалD20:D25. В результате получаем Дисперсиюдискретной случайной величиныXнайдемдвумя способами. Первый способ— по формуле (1.5), по определению дисперсии. Эти вычисления реализованы вMSExcel(рис.1.3), интервал ячеекF20:F25. В результате получаем Второй способ— по формуле (1.6) по свойству дисперсии. Предварительно необходимо вычислить математическое ожидание квадрата дискретной случайной величиныX — . Пример реализации вMSExcelдан на рис.1.3, интервал ячеекE20:E25. В результате получаем Тогда дисперсия равна Оба значения, полученные разными способами, совпали. Среднее квадратическое отклонение: . Вычислим моду . Для этого можно по таблице распределения (интервалB20:C25) найтиxi, которому соответствует наибольшее значение вероятностиpi. Другой способ — анализируя полигон распределения, найдем xi, которому соответствует самое большое значениеpi. Очевидно, что=0. Рис.1.3. Решение задачи 1 в MSExcel(начало). Вычислим коэффициент вариации V(Х)по формуле (1.8): Построим многоугольник распределения по заданному распределению, используя графические средства MSExcel. Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой (1.11). В нашем примере имеем: Таким образом, функция распределения примет вид В MSExcelэти расчеты реализованы в интервале ячеекD55:D59 (рис.1.4), на том же листе построена «заготовка» для графика функции распределения. Далее эту «заготовку» следует достроить вручную до корректного графика (нанести стрелки и подписи по оси ординат), как на рис.1.2. Эту операцию по превращению полученной диаграммы EXCEL в корректную функцию распределения необходимо производить для всех распределений в данной работе (рис.1.6 и рис.1.8). Рис.1.4 Решение задачи 1 вMSExcel(окончание). Найдем вероятность , гдеa=x2,b=xn. В данном случае x2=1,xn=3, т.е. требуется найти. Первый способ— используем функцию распределения: Второй способ— по таблице распределения. Событие, состоящее в том, что СВ Хпримет значения в промежуткеможет реализоваться только в том случае, когда СВ принимает значенияили. Таким образом, ЗАДАЧА 2. Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти функцию распределения случайной величиныXF(x) и построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание)M(X), дисперсиюD(X) и моду СВ Х. Найти вероятность, гдеa=x2,b=xn-1двумя способами: с помощью функции распределения и непосредственно по таблице распределения СВХ. Решение: Пусть случайная величина X– число попаданий в цель при трех выстрелах. Обозначим n – число выстрелов,р— вероятность попадания при каждом выстреле,q — вероятность промаха при каждом выстрелеq=1- р. По условию имеемр=0,2 ;q=0,8; n=3. Заметим, что при n=3 случайная величинаXможет принимать следующие значения:х1=0, х2=1, х3=2, х4=3. Отметим, что испытания проводятся по схеме Бернулли. Действительно, число испытаний конечно и каждое испытание является независимым. В каждом испытании наблюдается либо «успех» (попал в цель), либо «неуспех» (не попал в цель или промахнулся). Вероятность удачи в каждом испытании постоянна. Так как испытания проводятся по схеме Бернулли, то можно утверждать, что случайная величинаXимеет биномиальное распределение и соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли: Найдем соответствующие вероятности для данного примера: Тогда искомый закон распределения примет вид

X 0 1 2 3
p 0,512 0,384 0,096 0,008

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице: Заметим, что для биномиального распределения математическое ожидание и дисперсию легко вычислить по формулам: математическое ожидание M(X)= n p =3· 0,2 =0,6; дисперсия D(X) = n p q =3· 0,2 ·0,8 = 0,48 . Найдем вероятность , гдеa=x2, b=xn. В данном случаеx2=1,xn=3, т.е. требуется найти Первый способ — используя функцию распределения Второй способ — по таблице распределения. Событие, состоящее в том, что СВ примет значения в промежутке может реализоваться только в том случае, когда СВ равна 1 или 2. Таким образом, Рис.1.5. Решение задачи 2 в MSExcel Рис.1.6. Решение задачи 2 вMS Excel (продолжение) ЗАДАЧА 3. Телефонная станция получает в час в среднем 300 вызовов. Составить закон распределения количества вызовов, полученных станцией за одну минуту (случайная величина X). Построитьмногоугольник (полигон) распределениядля иллюстрации распределения СВX. Найти среднее значение (математическое ожиданиеM(X)), дисперсиюD(X), среднее квадратическое отклонениеи модуСВ X. Вычисление математического ожиданияM(X)), дисперсииD(X), среднее квадратического отклоненияпровести двумя способами: приближенно, используя таблицу распределения, взяв первые 20 значений СВ, и аналитически, используя тот факт, что рассматривается распределение Пуассона. Найти функцию распределения F(x) случайной величиныXи построить ее график. Какова вероятность того, что за одну минуту станция получит не менее 4 вызовов и не более 8? Решение. Проведем все вычисления в MSExcel, рис.1.7-1.8. Очевидно, что СВ X— количество вызовов, полученных станцией за одну минуту, распределено по закону Пуассона. Определим параметр λ. В данном случае λ=n/60 =300/60=5. Распределение Пуассона определяется соотношением (1.14), для данной задачи На рис.1.7 в интервале ячеек A5:B26 представлены первые 20 значений искомого распределения. ЯчейкаB6 содержит формулу =$C$4^A6/ФАКТР(A6)*EXP(-$C$4), остальные значения этого столбца заполняются копированием. Вычисление математического ожиданияM(X)), дисперсииD(X), среднего квадратического отклонениявыполнено по формулам (1.3)-(1.6). Порядок вычисления такой же, как в задачах 1 и 2. Заметим, что эти формулы в данном случае не являются точными, поскольку случайная величина принимает бесконечное множество значений, а в вычислениях удержаны только 20 первых слагаемых(погрешность можно вычислить самостоятельно).Тогда, M(X)=λ=4,999998; D(X)=λ=4,999978; . Аналитически вычисление математического ожиданияM(X), дисперсииD(X), среднего квадратического отклоненияисключительно просто. M(X)=λ=5, D(X)=λ=5,. Сравнивая вычисленные характеристики, приходим к выводу, что результаты совпадают с точностью до 10 -5 . Коэффициент вариации V(x): Данное распределение двумодальное (имеет два одинаковых наибольших значения). Очевидно, что равна 4 и 5. Многоугольник (илиполигон) распределения построен на рабочем листе в строках 35:50. Найдем приближенно функцию распределения F(x) случайной величиныXи построим ее график. Таблица значений функции распределения для первых 12 интервалов приведенав строках 52:67, график функции распределения для первых 12 интервалов приведенв строках 67:89. Найдем вероятность того, что за одну минуту станция получит не менее 4 и не более 8 вызовов, т.е. найдем Первый способ использует функцию распределения: , тогда Рис.1.7. Решение задачи 3 в MSExcel(начало). Рис.1.8. Решение задачи 3 вMS Excel (окончание). Второй способ использует непосредственно таблицу распределения. Очевидна следующая формула: Для вычисления по этой формуле в ячейку H96 введем формулу =СУММ(B10:B14), в результате получим то же значение, равное 0,6669 (рис.1.9). Рис.1.9. Решение задачи 3 в MSExcel . Лабораторная работа 2 Тема. Вычисление числовых характеристик непрерывной случайной величины. Цель: Освоить на практике вычисление с помощью MS EXCEL числовыххарактеристик случайной непрерывной величины, изучить основные свойства функции распределения, плотности распределения и применять эти функции для вычисления вероятностей.

Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Найти закон распределения дискретной

Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь для публикации ответа на этот вопрос.

решение вопроса

Связанных вопросов не найдено

Обучайтесь и развивайтесь всесторонне вместе с нами, делитесь знаниями и накопленным опытом, расширяйте границы знаний и ваших умений.

поделиться знаниями или
запомнить страничку

  • Все категории
  • экономические 43,679
  • гуманитарные 33,657
  • юридические 17,917
  • школьный раздел 612,555
  • разное 16,911

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

  • Обратная связь
  • Правила сайта

Как найти закон распределения дискретной случайной величины Х?

Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на отлично, наугад извлекаются 3 работы. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х, равной числу оцененных на отлично работ среди извлеченных.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти закон распределения дискретной случайной величины
Есть такая задача : В студии 4 камеры, для каждой из которых вероятность быть включенной в данный.

Найти закон распределения дискретной случайной величины x
Найти закон распределения дискретной случайной величины x: x1 x2 p1 p2 если.

Найти закон распределения дискретной случайной величины
Устройство состоит из четырех приборов, которые работают независимо друг от друга. Вероятности.

Найти закон распределения дискретной случайной величины
Здравствуйте. Возник вопрос при решении задачи по тервер: Дискретная СВ ξ характеризуется.

Примеры решения

Задача 1. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3 работы. Составить закон распределения случайной величины Х — числа работ, оцененных на «отлично», среди отобранных работ. Найти функцию распределения F(x) случайной величины X и построить ее график. Найти для X ее среднее значение (математическое ожидание M(X)), дисперсию D(X), среднее квадратическое отклонение и моду . Найти вероятность , где a=x2, b=xn-1 двумя способами: используя функцию распределения и непосредственно по таблице распределения.

Решение: Пусть случайная величина X — число работ, оцененных на «отлично» среди трех отобранных. Так как из 25 контрольных работ 5 оценены на «отлично» и выбирается из них 3 работы, то случайная величина X может принимать следующие значения:

Найдем вероятности того, что случайная величина Х примет соответствующие значения. Заметим, что решение задачи о нахождении вероятности события (Х=0), то есть Р(Х=0), как впрочем, и решение задач о нахождении следующих вероятностей Р(Х=1), Р(Х=2), Р(Х=3), может быть найдено с помощью известной формулы:

где N— общее количество исходов, M — количество исходов, благоприятствующих появлению события А.

В этой задаче событие А состоит в том, что среди отобранных работ, число работ, оцененных на «отлично», равно k; k последовательно принимает значения 0, 1, 2 и 3; N — количество способов выбора трех работ из 25 — общего количества работ; M — количество способов выбора k работ, оцененных на «отлично», из общего количества работ.

Предварительно найдем число сочетаний из 25 по 3 (число способов, которыми можно из 25 контрольных работ извлечь 3):

Для (X=0) число исходов, благоприятствующих появлению события А, может быть вычислено по формуле:

Тогда искомый закон распределения примет вид:

Убедимся, что сумма вероятностей равна единице:

Проведем все эти расчеты в MS Excel.

Математическое ожидание (среднее значение) дискретной случайной величины X найдем по формуле (1.3). Пример реализации в MS Excel дан на рис. 1.3, интервал D20:D25. дискретная непрерывная случайная вероятность

В результате получаем .

Дисперсию дискретной случайной величины X найдем двумя способами.

Первый способ — по формуле (1.5), по определению дисперсии. Эти вычисления реализованы в MS Excel (рис. 1.3), интервал ячеек F20:F25.

В результате получаем .

Второй способ — по формуле (1.6) по свойству дисперсии. Предварительно необходимо вычислить математическое ожидание квадрата дискретной случайной величины X — . Пример реализации в MS Excel дан на рис. 1.3, интервал ячеек E20:E25. В результате получаем .

Тогда дисперсия равна:

Оба значения, полученные разными способами, совпали.

Среднее квадратическое отклонение:

Вычислим моду . Для этого можно по таблице распределения (интервал B20:C25) найти xi, которому соответствует наибольшее значение вероятности pi.

Другой способ — анализируя полигон распределения, найдем xi, которому соответствует самое большое значение pi. Очевидно, что =0.

Решение задачи 1 в MS Excel (начало)

Рис. 1.3. Решение задачи 1 в MS Excel (начало)

Вычислим коэффициент вариации V(Х) по формуле (1.8):

Построим многоугольник распределения по заданному распределению, используя графические средства MS Excel.

Для нахождения функции распределения воспользуемся формулой (1.11).

В нашем примере имеем:

Таким образом, функция распределения примет вид:

Рис. 1.4. Решение задачи 1 в MS Excel (окончание)

В MS Excel эти расчеты реализованы в интервале ячеек D55:D59 (рис. 1.4), на том же листе построена «заготовка» для графика функции распределения. Далее эту «заготовку» следует достроить вручную до корректного графика (нанести стрелки и подписи по оси ординат), как на рис. 1.2. Эту операцию по превращению полученной диаграммы EXCEL в корректную функцию распределения необходимо производить для всех распределений в данной работе (рис. 1.6 и рис. 1.8).

Найдем вероятность , где a=x2, b=xn.

В данном случае x2=1, xn=3, т.е. требуется найти .

Первый способ — используем функцию распределения:

Второй способ — по таблице распределения.

Событие, состоящее в том, что СВ Х примет значения в промежутке может реализоваться только в том случае, когда СВ принимает значения или . Таким образом,

Задача 2. Стрелок производит три выстрела в цель. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,2. Составить закон распределения числа попаданий в цель (случайная величина X). Найти функцию распределения случайной величины X F(x) и построить ее график. Найти среднее значение (математическое ожидание) M(X), дисперсию D(X) и моду СВ Х. Найти вероятность , где a=x2, b=xn-1 двумя способами: с помощью функции распределения и непосредственно по таблице распределения СВ Х.

Решение: Пусть случайная величина X — число попаданий в цель при трех выстрелах.

Обозначим n — число выстрелов, р— вероятность попадания при каждом выстреле, q — вероятность промаха при каждом выстреле q =1- р. По условию имеем р=0,2; q=0,8; n=3.

Заметим, что при n=3 случайная величина X может принимать следующие значения: х 1=0, х 2=1, х 3=2, х 4=3. Отметим, что испытания проводятся по схеме Бернулли. Действительно, число испытаний конечно и каждое испытание является независимым. В каждом испытании наблюдается либо «успех» (попал в цель), либо «неуспех» (не попал в цель или промахнулся). Вероятность удачи в каждом испытании постоянна. Так как испытания проводятся по схеме Бернулли, то можно утверждать, что случайная величина X имеет биномиальное распределение и соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:

Найдем соответствующие вероятности для данного примера:

Тогда искомый закон распределения примет вид:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *