Как строить кусочно заданную функцию
Перейти к содержимому

Как строить кусочно заданную функцию

Кусочные функции. Как построить график кусочной функции

Другими словами, на различных участках числовой прямой функция ведет себя по разным законам.

линейно-кусочная функция

кусочная функция прямая+парабола

То есть, графики кусочных функций выглядят как «франкенштейны» — разные части берут у разных функций и «слепляют» вместе.

пример кусочной функции

Как построить графики кусочных функций?

Очень просто. Нужно каждый кусочек функции построить на выделенном для него участке, не залезая на соседние. При этом неважно каким именно способом строятся эти кусочки – можно с помощью элементарных преобразований , можно по точкам .

Пример. Построить график кусочной функции \(y=\begin-\frac, & x≤-1\\x^2-4x,& x>-1\end\)

1) Построим первую функцию на области \(x∈(-∞;-1]\). Для этого найдем несколько точек из этого участка, одна из которых — граничная точка с \(x=-1\).

Отметим их на координатной плоскости:

точки на координатной плоскости

\(y=-\) \(\frac\) — гипербола, с учетом этого соединим полученные точки. Главное не перечертить график за граничную точку \((-1;5)\).

соединяем точки

2) Построим вторую функцию на области \(x∈(-1;∞)\).
Для начала проверим «состыкуются» ли графики, для этого найдем значение функции \(y=x^2-4x\) в точке \(-1\):
\(y(-1)=(-1)^2-4\cdot(-1)=1+4=5\) – значение такое же, как в первой функции, значит графики состыкуются.

\(y=x^2-4x\) – квадратичная функция , график этой функции — парабола с ветвями вверх. Чтобы её построить найдем координаты вершины парабола:

Отметим эту точку на графике и проведем через неё ось симметрии параболы.

строим второй кусочек функции

Найдем значение в точке \(1\) и \(0\):
\(y(1)=1^2-4\cdot 1=1-4=-3\)
\(y(0)=0^2-4\cdot 0=0\)
Отметим точки \((1;-3)\), \((0;0)\) и симметричные им на координатной плоскости.

добавляем точек

Соединим первый график и получившиеся точки в одну плавную линию.

кусочная функция 9.png

Готово. График кусочной функции построен.

Как не должна выглядеть кусочная функция:

как не должна выглядеть кусочная функция

Здесь парабола заехала на территорию гиперболы, а гипербола заехала на территорию параболы, так быть не должно! У каждого кусочка – своя территория.

Кусочная функция с разрывом

В рассмотренном выше примере функция не имела разрыва в граничной точке (то есть, значения при \(x=-1\) были одинаковы и слева, и справа). Но так бывает не всегда.
Например, у функции \(y=\beginx+1,& при & x<0\\-x^2+2x+3, & при & x≥0\end\) есть разрыв в точке \(0\), потому что значение кусочков этой функции в граничной точке \(0\) не совпадает:
при \(x=0\) в первом кусочке, \(y(0)=0+1=1\);
при \(x=0\) во втором кусочке \(y(0)=-0^2+2\cdot 0+3=3\).
На графике это выглядит так:

кусочная функция прямая+парабола

Заметьте, что \(x=0\) включен во вторую часть функции (ведь ее область «икс больше или равен нулю), но не включен в первую (так как там «строго меньше нуля»). Поэтому граничную точку параболы мы закрашиваем, а линейной — выкалываем.

Кусочно-заданная функция

На данной странице вы можете выполнить различные действия с кусочно-заданной функцией, а также для большинства сервисов — получить подробное решение.

  • Производная кусочно-заданной функции
  • Построить график
  • Исследовать график
  • Определённый интеграл
  • Неопределённый интеграл от таких функций
  • Предел кусочно-заданной
  • Ряд Фурье (в примерах для нахождения ряда в основном используются кусочно-заданные функции)
  • Ряд Тейлора

Сначала задайте соответствующую функцию.

Как задавать условия?

Приведём примеры, как задавать условия:

x≠0 x не равен нулю x > pi x больше, чем число Пи -pi/2 x меньше или равно, чем Пи пополам, но нестрого больше, чем Пи пополам true означает «в любых других случаях»

Примеры

1 - x если -pi < x < 0 0 если 0  
x если -2  

С параболой и модулем

8 - (x + 6)^2 если x = 5
-5/x если x -1

Функция с разрывом

x + 1 если x < 0 -x^2 + 2x + 3 если x >= 0
Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция - арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция - арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция - экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция - Синус от x cos(x) Функция - Косинус от x sinh(x) Функция - Синус гиперболический от x cosh(x) Функция - Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция - квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция - Квадрат x ctg(x) Функция - Котангенс от x arcctg(x) Функция - Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция - Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция - Тангенс от x tgh(x) Функция - Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция - кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x - умножение 3/x - деление x^3 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание 15/7 - дробь
Другие функции: asec(x) Функция - арксеканс от x acsc(x) Функция - арккосеканс от x sec(x) Функция - секанс от x csc(x) Функция - косеканс от x floor(x) Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция - Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция - гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция - гиперболический косеканс от x sech(x) Функция - гиперболический секанс от x acsch(x) Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159.. e Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности - знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ - калькуляторы онлайн

Кусочно-линейная функция

Ситуация, когда движение или другое явление можно описать одной линейной функцией, определенной на интервале $-\infty \lt t \lt +\infty$, в действительности невозможна. Хотя бы потому, что возраст Вселенной велик, но не бесконечен.

На практике в течение некоторого времени тело может двигаться, потом – покоиться, потом – опять прийти в движение, но уже с другой скоростью и в другом направлении и т.п. Как задать подобную зависимость?

Допустим, турист идет из начальной точки по прямой тропинке в течение 2 ч со скоростью 5 км/ч, затем останавливается отдохнуть на 1ч и возвращается обратно по той же тропинке со скоростью 4 км/ч. Нам нужно найти формулу для расстояния s(t) от начальной точки на протяжении всего похода.

Изобразим зависимость s(t) графически:

Графики и формулы кусочно-линейных функций

Первый отрезок AB легко записать: $ s_1 (t) = 5t,0 \le t \lt 2$

С отрезком BC тоже всё ясно: $s_2 (t) = 10,2 \le t \lt 3$

Осталось найти формулу для отрезка CD. Для него известен угловой коэффициент, равный скорости k = -4; знак «минус» оттого, что турист возвращается обратно. Формула имеет вид $s_3 (t) = -4t+b$. Также, нам известны координаты C(3;10).

Подставляем: $10 = -4 \cdot 3+b \Rightarrow b =22$. Осталось рассчитать момент возвращения:

$$0 = -4t_+22 \Rightarrow t_ = 22:4 = 5,5$$ (ч)

Значит, формула движения на отрезке $CD:s_3 (t) = -4t+22,3 \le t \le 5,5.$

$$s(t) = <\left\< \begin 5t,0 \le t \lt 2 \\ 10,2 \le t \lt 3 \\ -4t+22,3 \le t \le 5,5 \end \right.> $$

Важным свойством заданной функции является выполнение условий согласования:

$$ s_1 (2) = s_2 (2) = 10,s_2 (3) = s_3 (3) = 10$$

Наша функция «сшита» на концах промежуточных интервалов.

$$x f(x) = <\left\< \begin k_1 x+b_1, x_1 \le x \lt x_2 \\ k_2 x+b_2,x_2 \le x \lt x_3 \\…\\ k_n x+b_n,x_n \le x \lt x_ \end \right.>$$

называется кусочно-линейной .

При этом для функции на краях интервалов выполняются условия согласования:

Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия

Знак модуля в линейных функциях

$$ |x| = \left[ \begin x, x\ge0 \\ -x, x \lt 0\end \right.$$

Если в формуле для линейной функции содержится знак модуля, то после его раскрытия получается кусочно-линейная функция.

Мы заменили квадратную скобку со значением «или» на фигурную скобку со значением «и», поскольку именно смысл объединения - «и того, и другого» - вкладывается в определение кусочно-линейной функции .

Примеры

Пример 1. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

Пример 1 а)

б) $ y = 2|x|-1 = <\left\< \begin -2x-1, x \lt0 \\ 2x-1, x \ge 0 \end \right.>$

Пример 1 б)

Пример 1 в)

Пример 1 г)

Пример 2*. Представьте функцию с модулем в виде кусочно-линейной и постройте её график:

Пример 2

Как видно из этого примера, аналитически выводить формулу для двух модулей очень нелегко.

Гораздо легче сразу построить график, если следовать следующим простым правилам преобразования.

Шаг 1. Строим y = 2x-1

Пример 2 Шаг 1

Шаг 2. Строим y = 2|x|-1 по правилу: |x| отражает часть графика для положительных $x \ge 0$ влево, зеркально относительно оси Y

Пример 2 Шаг 2

Шаг 3. Строим y = |(2|x|-1)| по правилу: общий модуль отражает участок графика с отрицательными $y \lt 0$ вверх, зеркально относительно оси X

Кусочно-заданная функция

На данной странице вы можете выполнить различные действия с кусочно-заданной функцией, а также для большинства сервисов - получить подробное решение.

  • Производная кусочно-заданной функции
  • Построить график
  • Исследовать график
  • Определённый интеграл
  • Неопределённый интеграл от таких функций
  • Предел кусочно-заданной
  • Ряд Фурье (в примерах для нахождения ряда в основном используются кусочно-заданные функции)
  • Ряд Тейлора

Примеры кусочно-заданных функций

  • Для ряда Фурье
1 - x при -pi < x < 0 0 при 0  
x при -2  
8 - (x + 6)^2 при x = 5
-5/x при x -1
x + 1 при x < 0 -x^2 + 2x + 3 при x >= 0

Как задавать условия?

Приведём примеры, как задавать условия:

x≠0 x не равен нулю x > pi x больше, чем число Пи -pi/2 x меньше или равно, чем Пи пополам, но нестрого больше, чем Пи пополам true означает "в любых других случаях"

  • Кусочно-заданные
  • Кусочно-непрерывные

Указанные выше примеры содержат также:

  • модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
  • квадратные корни sqrt(x),
    кубические корни cbrt(x)
  • тригонометрические функции:
    синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
  • показательные функции и экспоненты exp(x)
  • обратные тригонометрические функции:
    арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс acot(x)
  • натуральные логарифмы ln(x),
    десятичные логарифмы log(x)
  • гиперболические функции:
    гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
  • обратные гиперболические функции:
    гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x), гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
  • другие тригонометрические и гиперболические функции:
    секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x), арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x), гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x), гиперболический арккосеканс acsch(x)
  • функции округления:
    в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
  • знак числа:
    sign(x)
  • для теории вероятности:
    функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности), функция Лапласа laplace(x)
  • Факториал от x:
    x! или factorial(x)
  • Гамма-функция gamma(x)
  • Функция Ламберта LambertW(x)
  • Тригонометрические интегралы: Si(x), Ci(x), Shi(x), Chi(x)
Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x - умножение 3/x - деление x^2 - возведение в квадрат x^3 - возведение в куб x^5 - возведение в степень x + 7 - сложение x - 6 - вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *