Что такое характеристическая функция

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

дискретная случайная величина / характеристическая функция случайной величины и случайного вектора / комплекснозначная функция действительного аргумента. / discrete random variable / characteristic function of a random variable and a random vector / complex-valued function of a real argument .

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Кулжанов Уткир Неъматович, Уралова Озода Бурибоевна, Каримов Ислом Тоштемирович

в этой статье рассматривается характеристическая функция случайной величины и случайного вектора . Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). Приводятся три теоремы и их доказательства. Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислены важнейшие свойства характеристических функций. Кроме того, приведен пример на нахождения характеристической функции дискретной случайной величины данным законом распределения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

CHARACTERISTIC FUNCTION OF RANDOM VALUE

this article discusses the characteristic function of a random variable and a random vector . The characteristic function of a random variable is one of the ways to define a distribution. Characteristic functions can be more convenient in cases where, for example, the density or distribution function has a very complex form. Also, characteristic functions are a convenient tool for studying issues of weak convergence (convergence in distribution). Three theorems and their proofs are presented. Characteristic functions are very convenient for studying the properties of sums of random variables. The most important properties of the characteristic functions are listed. In addition, an example is given of finding the characteristic function of a discrete random variable by a given distribution law.

Текст научной работы на тему «ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ»

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Кулжанов У.Н.1, Уралова О.Б.2, Каримов И.Т.3

1Кулжанов Уткир Неъматович — доцент, доктор философии по физико-математическим наукам, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет; 2Уралова Озода Бурибоевна — преподаватель, кафедра точных наук, академический лицей Самаркандский ветеринарно-медицинский институт; 3Каримов Ислом Тоштемирович — магистрант, кафедра теории вероятностей и математической статистики, математический факультет, Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье рассматривается характеристическая функция случайной величины и случайного вектора. Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). Приводятся три теоремы и их доказательства. Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислены важнейшие свойства характеристических функций. Кроме того, приведен пример на нахождения характеристической функции дискретной случайной величины данным законом распределения.

Ключевые слова: дискретная случайная величина, характеристическая функция случайной величины и случайного вектора, комплекснозначная функция действительного аргумента.

CHARACTERISTIC FUNCTION OF RANDOM VALUE Kulzhanov U.N.1, Uralova O.B.2, Karimov I.T.3

1Kulzhanov Utkir Nematovich — Associate Professor, Doctor of Philosophy in Physics and Mathematics, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Uralova Ozoda Buriboevna — Lecturer, DEPARTMENT OF EXACT SCIENCES, ACADEMIC LYCEUM SAMARKAND VETERINARY MEDICAL INSTITUTE; 3Karimov Islom Toshtemirovich — Master’s Student, DEPARTMENT OF PROBABILITY AND MATHEMATICAL STATISTICS, FACULTY OF MATHEMATICS,

SAMARKAND STATE UNIVERSITY, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: this article discusses the characteristic function of a random variable and a random vector. The characteristic function of a random variable is one of the ways to define a distribution. Characteristic functions can be more convenient in cases where, for example, the density or distribution function has a very complex form. Also, characteristic functions are a convenient tool for studying issues of weak convergence (convergence in distribution). Three theorems and their proofs are presented. Characteristic functions are very convenient for studying the properties of sums of random variables. The most important properties of the characteristic functions are listed. In addition, an example is given of finding the characteristic function of a discrete random variable by a given distribution law.

Keywords: discrete random variable, characteristic function of a random variable and a random vector, complex-valued function of a real argument.

Характеристическая функция случайной величины — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению).

Определение. Характеристической функцией вещественной случайной величины X называется комплекснозначная функция действительного аргумента t Е Ш:

ср(t) = Meitx = J eitxdP(x)= J eitxdFx(x),

где интеграл справа называется интегралом Стилтьеса.

Замечание 1. Заметим, что характеристическая функция существует для любой случайной величины X,

Замечание 2. Если случайная величина X имеет дискретное распределение, то

Рх(1) = ^еих*Р(Х = хк) = ^еих*рк, (1)

где х1,х2. -не более чем счётный набор значений, которые принимает случайная величина X. Замечание 3. Если случайная величина X имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью р(х), то

то есть характеристическая функция есть (обратное) преобразование Фурье функция р(х).

Из определения характеристической функции случайной величины видно, что она однозначно определяется функцией распределения случайной величины. Оказывается, верно и обратное.

Теорема 1. (Теорема единственности). Характеристическая функция р(х) случайной величины X однозначно определяет её функцию распределения Рх(х). Кроме того, верна формула обращения: для любых точек непрерывности х и у функции Рх (х) выполняется

Доказательство. Доказательство теоремы 1 приведено в [1].

Характеристические функции очень удобны для исследования свойства сумм случайных величин. Перечислим важнейшие свойства характеристических функций.

2. р„х+а(1) = еиарх(Ы),где а,Ь е К.

3. Если X1,X2, . ^п —независимые случайные величины, то характеристическая функция суммы Бп = X1+. +Xп равна

4. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой.

Теорема 2 (Теорема Бохнера-Хинчина). Для того чтобы непрерывная функция р(ь), обладающая свойством р(0) = 1, была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определённой, т.е. чтобы для любого п еШ для любых действительных Ь1, . Ьп и любых комплексных чиселЛ1, . Лп выполнялось

Доказательство. Необходимость этого условия доказывается быстро:

£р(1к — Ъ)ХкЬ, = м] £ еК*к-])х^ > = к,] = 1 к,] = 1 ) к = 1

Доказательство достаточности можно прочитать в [2].

Теорема 3 (теорема непрерывности). Пусть рп&) = йРп(х) есть последовательность

a) р (ь) является характеристической функцией,

b) р (О непрерывна в точке Ь = 0,

c) существует такая функция распределения Р(х), что во всех её точках непрерывности Рп(х) ^ Р(х) при п^

Рассмотрим примеры. Следующие примеры даны для нахождения характеристической функции дискретной и непрерывной случайной величины

Пример 1. Дан закон распределения дискретной случайной величины X:

Решение. При решении этого примера используем формулу (1):

(p(t) = Meltx = 0,25e-4lt + 0,5e-4l° + 0,25e4lt =—.

Пример 2. Дана плотная функция непрерывной случайной величины X:

Найти характеристическую функцию X.

Решение. При решении этого примера можно использовать формулу (2), так как данная случайная величина является непрерывной:

(eltx 1 ., „ 1 ., sint mx(t)= I -dx = —eLtxl1-1 =—(elt-e-lt) =-.

J 2 2it 1 1 2ity 1 t

Список литературы /References

1. Боровков A.A. Курс теории вероятностей. М.: «Наука». Главное издательство Физико-математической литературы, 1972. 288 с. 4-е изд. М., 1999.

2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: «Наука». Главное издательство Физико-математической литературы, 1988. 6-е изд. М.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник и практикум для академического бакалавриата / Н.Ш. Кремер.5-е изд., перераб. и доп. Москва Издательство Юрайт, 2019. 538 с.

4. Мятлев В.Д. Теория вероятностей и математическая статистика. Математические модели: учебник для академического бакалавриата / В.Д. Мятлев, Л.А. Панченко, Г.Ю. Ризниченко, А.Т. Терехин. 2-е изд., испр. и доп. Москва: Издательство Юрайт, 2019. 321 с.

5. Малугин В.А. Теория вероятностей: учебное пособие для бакалавриата и магистратуры / В.А. Малугин. Москва Издательство Юрайт, 2019. 266 с.

Характеристическая функция случайной величины

Для случайной величины $\xi$ характеристическая функция (ХФ) определяется следующим образом:

Для дискретной случайной величины с законом вида $(x_k,p_k)$ характеристическая функция выражается как

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения $f(x)$:

Характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины.

По известной характеристической функции можно вычислять моменты случайной величины по формуле:

Характеристическая функция однозначно определяет распределение случайной величины. ХФ суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций (это свойство используется для доказательства композиционной устойчивости, например в примере 3 для нормального распределения). ХФ существует всегда, непрерывна, ограничена ($|\phi_<\xi>(t)| \le 1$), в нуле равна единице.

В этом разделе вы найдете примеры нахождения характеристической функции и моментов для разных законов распределения.

Понравилось? Добавьте в закладки

Примеры решений: характеристическая функция

Задача 1. По заданному закону или плотности распределения случайной величины $\xi$ найти характеристическую функцию $\phi(t)$.
Закон Пуассона: $$P(\xi=k)=a^k/k!\cdot e^, k=1,2. a=0.38$$

Задача 2. По заданному закону распределения найти характеристическую функцию $\phi(t)$, кумулянтную функцию $\gamma(t)$ и первые четыре семиинварианта этого распределения.
Биномиальный закон (Бернулли)

$$P(\xi=k)=C_n^k p^k (1-p)^, 0 \lt p \lt 1, k=0,1,2. n.$$

Задача 3. С помощью характеристических функций, доказать, что сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальное распределение. Указать параметры этого распределения.

Задача 4. Найти характеристическую функцию дискретной случайной величины Х, подчиняющейся закон распределения Паскаля $P(X=m)=a^m/(1+a)^ (a\gt 0)$. По ней найти $M[X]$ и $D[X]$.

Задача 5. Найти характеристическую функцию непрерывной случайной величины, имеющей плотность распределения $p_<\xi>(x)=e^<-|x|>/2.$

Лекция 14: Характеристические функции

Аннотация: Определение характеристической функции и примеры вычисления. Свойства характеристических функций. Теорема непрерывности для характеристических функций. Доказательство центральной предельной теоремы и закона больших чисел в форме Хинчина

Определение и примеры

В этой лекции $i=\sqrt<-1>» /> — мнимая единица , <img decoding=$ — вещественная переменная , $e^<it>=\cos t+i\sin t» /> — формула Эйлера, <img decoding=$ (\eta + i\zeta)=<\mathsf E\,>\eta + i\,<\mathsf E\,>\zeta» /> — способ вычисления математического ожидания комплекснозначной случайной величины $\eta + i\zeta$ , если математические ожидания ее действительной ( $\eta$ ) и мнимой ( $\zeta$ ) частей существуют.

Как всегда, модулем комплексного числа z=x+iy называется положительное число $|z|=\sqrt<x^2+y^2>» />, так что <img decoding=$ \right|=1\vphantom<\int_>» />.

Определение 47. Функция $\phi_\xi(t)=<\mathsf E\,>e^<it\xi>» /> вещественной переменной <img decoding=$ называется характеристической функцией случайной величины $\xi$ .

Пример 73. Пусть случайная величина $\xi$ имеет распределение Бернулли с параметром . Ее характеристическая функция равна

$\phi_\xi(t)=<\mathsf E\,> e^<it\xi>=e^\,\Prob(\xi=0)+ e^\,\Prob(\xi=1)=1-p + pe^.» /> Пример 74. Пусть случайная величина <img decoding=$ имеет биномиальное распределение с параметрами и . Ее характеристическая функция равна

$\phi_\xi(t)&=&<\mathsf E\,> e^<it\xi>=\sum\limits_^n e^\,\Prob(\xi=k) =\sum\limits_^n e^\,C_n^k\,p^k\,^=\\ &=&\sum\limits_^n C_n^k\,<\left(pe^<it>\right)>^k\,^= <\left(1-p + pe^<it>\right)>^n.» /> Последнее равенство есть бином Ньютона . Пример 75. Пусть случайная величина <img decoding=$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ . Ее характеристическая функция равна

$\phi_\xi(t)&=&<\mathsf E\,> e^<it\xi>=\sum\limits_^ <\infty>e^\,\Prob(\xi=k)= \sum\limits_^ <\infty>e^\,\frac<\lambda^k>\,e^<-\lambda>=\\ &=&e^<-\lambda>\sum\limits_^ <\infty>\frac<<\left(\lambda \textstyle e^<it>\right)>^k>= e^<-\lambda>e^<\lambda \textstyle e^<it>>= \exp\<\lambda \left(e^<it>-1\right)\>.» /> Пример 76. Пусть случайная величина <img decoding=$ имеет гамма-распределение с параметрами $\alpha$ и $\lambda$ . Ее характеристическая функция равна

$\phi_\xi(t)&=&<\mathsf E\,> e^<it\xi>=\int\limits_^ <\infty>e^\,f_\xi(x)\,dx= \int\limits_^ <\infty>e^\,\frac<\alpha^\lambda><\Gamma(\lambda)>\, x^<\lambda-1>\,e^\, dx= \\ &=&\frac<\alpha^\lambda><\Gamma(\lambda)>\,\int\limits_^ <\infty>x^<\lambda-1>\, e^\, dx= <\left(\frac\right)>^<\lambda>= <\left(1-\frac<it>\right)>^<-\lambda>.» /> <img decoding=$

Интеграл мы вычислили с помощью гамма-функции: замена дает

$\int\limits_ ^ <\infty>x^<\lambda-1>\, e^\, dx= \frac^\lambda>\int\limits_^ <\infty>^<\lambda-1>\, e^\, dy= \frac<\Gamma(\lambda)>^\lambda>.» /> В качестве следствия получим, что для случайной величины <img decoding=$ с показательным распределением $<\mathrm E>_\alpha=\Gamma_» /> характеристическая функция равна <img decoding=$ » />.

$\xi$

Пример 77. Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение. Ее характеристическая функция равна

$\phi_\xi(t)&=& \frac <\sqrt<2\pi>> \int\limits_<-\infty>^ <\infty>e^\,e^\,dx =\frac<\sqrt<2\pi>> \int\limits_<-\infty>^<\infty>\,e^ \, e^^2/2>\,dx= \\ &=& e^ \frac<\sqrt<2\pi>> \int\limits_<-\infty>^ <\infty>\, e^^2/2>\,d(x-it)\;=\; e^.» /> При интегрировании мы выделили полный квадрат в показателе экспоненты и вспомнили, что интеграл по <img decoding=$ от функции $\frac<1><\smash<\sqrt<2\pi>>>\,e^» /> равен единице. <h4>Свойства характеристических функций</h4> (Ф1). Характеристическая функция всегда существует: <img decoding=$

e^\bigr|\le 1.» />

$<\mathsf E\,> Полезно вспомнить, что даже \xi» /> существует не всегда. Доказательство. Воспользуемся свойством <img decoding=$ \eta\geq 0″ />, равносильным неравенству $\bigl(<\mathsf E\,>\eta\mspace\bigr)^2\leq<\mathsf E\,>\mspace\eta^2″ />: <img decoding=$

\cos(t\xi)+ i <\mathsf E\,>\sin(t\xi)\bigr|^2= \bigl( <\mathsf E\,>\cos(t\xi)\bigr)^2+\bigl( <\mathsf E\,>\sin(t\xi)\bigr)^2 \le \\ &\le & <\mathsf E\,>\cos^2(t\xi)+ <\mathsf E\,>\sin^2(t\xi) = <\mathsf E\,>\bigl(\cos^2(t\xi)+ \sin^2(t\xi)\bigr)= <\mathsf E\,>1=1.» />

(Ф2). По характеристической функции однозначно восстанавливается распределение ( функция распределения, плотность или таблица распределения). Другими словами, если две случайные величины имеют одинаковые характеристические функции, то и распределения этих величин совпадают.

Формулы, с помощью которых по характеристической функции восстанавливается распределение, в анализе называют формулами «обратного преобразования Фурье». Например, если модуль характеристической функции интегрируем на всей прямой , то у случайной величины есть плотность распределения и она находится по формуле

$f_\xi(x)=\frac<1> <2\pi>\int\limits_<-\infty>^<\infty>\,e^\,\phi_\xi(t) \,dt.» /> Ни одна из формул обратного преобразования Фурье нам не понадобится. (Ф3). Характеристическая функция случайной величины <img decoding=$ связана с характеристической функцией случайной величины $\xi$ равенством

$\phi_<a+b\xi> (t)= <\mathsf E\,>e^<it(a+b\xi)>=e^ <\mathsf E\,>e^<i(tb)\xi>=e^\,\phi_\xi(tb).» /> <h2>Характеристическая функция случайной величины</h2> Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). <h3>Определение</h3> Пусть есть случайная величина <img decoding=$ с распределением $\mathbb^X» width=»» height=»» />. Тогда характеристическая функция задаётся формулой: <img decoding=$

\left[e^\right]» width=»» height=»» />.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

$\phi_X(t) = \int\limits_<-\infty> ^ <\infty>e^\, \mathbb^X(dx)» width=»» height=»» />, то есть характеристическая функция — это преобразование Фурье распределения случайной величины. Если случайная величина <img decoding=$ принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве $\mathcal<H>» width=»» height=»» />, то её характеристическая функция имеет вид: <img decoding=$

(t) = \mathbb\left[e^\right],\; \forall t \in \mathcal» width=»» height=»» />,

где $\langle \cdot, \cdot \rangle$ обозначает скалярное произведение в $\mathcal<H>» width=»» height=»» />. <h3>Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины</h3> Если случайная величина <img decoding=$ дискретна, то есть $\mathbb(X = x_k) = p_k,\; k=1,2,\ldots» width=»» height=»» />, то <img decoding=$

^ <\infty>e^\, p_k» width=»» height=»» />.

Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда

$\phi_X(t) = e^<it \cdot 1> \cdot p + e^ \cdot q = p e^ + q» width=»» height=»» />. Если случайная величина <img decoding=$ абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность f_X(x) , то

$\phi_X(t) = \int\limits_<-\infty> ^ <\infty>e^\, f_X(x)\, dx» width=»» height=»» />. <img decoding=$

Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

$\phi_X(t) = \int\limits_<0> ^ e^ \cdot 1\, dx = \left.\frac<e^>\right\vert_0^1 = \frac<e^-1>» width=»» height=»» />. <h3>Свойства характеристических функций</h3> <ul> <li>Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть <img decoding=$ суть две случайные величины, и $\phi_X(t) = \phi_Y(t),\; \forall t$ . Тогда $\mathbb^X = \mathbb^Y$ . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.

Характеристическая функция всегда ограничена:

$|\phi_X(t)| \leq 1$ .

Характеристическая функция в нуле равна единице:

$\phi_X(0) \ = 1$ .

Характеристическая функция всегда непрерывна: $\phi_X \in C(\mathbb)$ .
Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:

$\phi_<aX>(t) = \phi_X(at),\; \forall a \in \mathbb» width=»» height=»» />. <ul> <li>Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть <img decoding=$ суть независимые случайные величины. Обозначим $S_n = \sum\limits_^n X_i$ . Тогда

$\phi_<S_n>(t) = \prod\limits_^n \phi_(t)» width=»» height=»» />. <h3>Вычисление моментов</h3> Если случайная величина <img decoding=$ имеет начальный -ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную -ю производную, то есть $\phi_X \in C^n(\mathbb<R>)» width=»» height=»» />, и более того: <img decoding=$

\left[X^n\right] = \frac\phi_X(t)\right\vert_» width=»» height=»» />.

Обратное преобразование Фурье

Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна $\phi_X(t) \$ . Тогда

если дискретна и принимает целые значения, то

$\mathbb(X = k) = \frac<2\pi>\int\limits_<-\pi>^ <\pi>e^\, \phi_X(t)\, dt, \; k \in \mathbb» width=»» height=»» />; <ul> <li>если <img decoding=$ абсолютно непрерывна, и f_X(x) — её плотность, то