Что такое непериодическая функция

Свойства функций. График функции

Обозначим буквой X некоторое множество чисел, входящих в область определения D ( f ) функции y = f (x) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Функцию y = f (x) называют ограниченной сверху на множестве X , если существует такое число a , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Функцию y = f (x) называют ограниченной снизу на множестве X , если существует такое число b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Функцию y = f (x) называют ограниченной на множестве X , если существуют такие числа a и b , что для любого x из множества X выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Функцию y = f (x) называют неограниченной сверху на множестве X , если для любого числа a существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Функцию y = f (x) называют неограниченной снизу на множестве X , если для любого числа b существует такой x из множества X , для которого выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6. Функцию y = f (x) называют неограниченной на множестве X , если эта функция или неограничена сверху, или неограничена снизу, или неограничена и сверху, и снизу.

Проиллюстрируем эти определения следующими примерами.

ПРИМЕР 1. Функция y = x 2 (рис. 1) является ограниченной снизу и неограниченной сверху на множестве

ПРИМЕР 2. Функция y = – x 2 (рис. 2) является ограниченной сверху и неограниченной снизу на множестве

ПРИМЕР 3. Функция y = x (рис. 3) неограничена сверху и неограничена снизу на множестве

ПРИМЕР 4. Функция y = arctg x (рис. 4) ограничена на множестве

Монотонные и строго монотонные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7. Функцию y = f (x) называют возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Возрастающие функции также называют неубывающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8. Функцию y = f (x) называют убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Убывающие функции также называют невозрастающими функциями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Функцию y = f (x) называют строго возрастающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Функцию y = f (x) называют строго убывающей на множестве X , если для любых чисел и , удовлетворяющих неравенству x₁ < x₂ , выполнено неравенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11. Возрастающие и убывающие функции называют монотонными, строго возрастающие и строго убывающие функции называют строго монотонными.

ПРИМЕР 5. Функция y = x 2 (рис. 1) является строго убывающей функцией на множестве и строго возрастающей на множестве

ПРИМЕР 6. Функция y = – x 2 (рис. 2) является строго возрастающей функцией на множестве и строго убывающей на множестве

ПРИМЕР 7. Функция y = x (рис. 3) является строго возрастающей функцией на множестве

ПРИМЕР 8. Функция y = arctg x (рис. 4) является строго возрастающей на множестве

Четные и нечетные функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 12. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют четной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13. Функцию y = f (x) , определенную на множестве X , называют нечетной функцией, если для любого числа x из множества X число – x также принадлежит множеству X и выполняется равенство

ПРИМЕР 9. Функции y = x 2 и y = – x 2 являются четными функциями (рис. 1 и рис. 2), а функции y = x и y = arctg x являются нечетными функциями (рис. 3 и рис. 4).

ПРИМЕР 10. Примерами функций, которые не являются ни четными, ни нечетными функциями, являются показательные и логарифмические функции.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Любую функцию y = f (x) , определенную на симметричном относительно точки x = 0 множестве X , можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим две функции:

сумма которых равна f (x) , и заметим, что функция g₁ (x) является четной функцией, а функция g₂ (x) является нечетной функцией. Действительно,

что и завершает доказательство утверждения.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Раскладывая функцию y = e x в сумму четной и нечетной функций, получаем:

Функцию g₁ (x) называют гиперболическим косинусом и обозначают ch x :

Функцию g₂ (x) называют гиперболическим синусом и обозначают sh x :

Таким образом, справедливо равенство

Периодические и непериодические функции. Период функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 14. Число называют периодом функции y = f (x) , если для любого числа числа x + T и x – T также принадлежат области определения D ( f ) и справедливы равенства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 15. Если функция имеет период, то ее называют периодической. Если же у функции периода нет, то ее называют непериодической.

ЗАМЕЧАНИЕ 4. Если число T является периодом некоторой функции, то и число kT , где k – любое целое число, отличное от нуля, также является периодом этой функции.

ПРИМЕР 11. Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими функциями с периодом 2π , функции y = tg x и y = ctg x являются периодическими функциями с периодом π .

ПРИМЕР 12. Показательные, логарифмические и степенные функции являются непериодическими функциями.

График функции. Свойства графиков четных, нечетных, периодических функций

Рассмотрим плоскость с заданной прямоугольной системой координат Oxy .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 16. Графиком функции y = f (x) называют множество всех точек, координаты которых имеют вид (x; f (x)) , где .

ЗАМЕЧАНИЕ 6 . График периодической функции не изменяется при сдвиге вдоль оси абсцисс Ox на период вправо или влево (см., например, раздел «Графики тригонометрических функций» нашего справочника). Поэтому для того, чтобы построить график периодической функции с периодом T , достаточно построить график этой функции на любом отрезке оси абсцисс Ox длины T , а затем сдвигать его влево и вправо на расстояния nT , где n – любое натуральное число.

Близкие по тематике разделы сайта

С материалами, связанными со свойствами функций и их пределами, можно также ознакомиться в учебном пособии «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»

Доказательства непериодичности функций

В обычных школьных задачах доказать периодичность той или иной функции обычно нетрудно: так, чтобы убедиться, что функция $y=sin\frac34 x+sin\frac27 x$ является периодической, достаточно просто отметить, что произведение $T=4\times7\times 2\pi$ является ее периодом: если мы прибавим к х число Т, то это произведение «съест» оба знаменателя и под знаком синуса окажутся лишними только целые кратные числа $2\pi$, которые «съест» сам синус.

Но доказательство непериодичности той или иной функции непосредственно по определению периодической функции может оказаться совсем не простым. Так, для доказательства непериодичности рассмотренной выше функции $y=\sin x^2$ можно выписать равенство $sin(x+T)^2=\sin x^2$, но не решать по привычке это тригонометрическое уравнение, а догадаться подставить в него х=0, после чего дальнейшее получится почти автоматически: $\sin T^2=0$, $T^2=k\pi$, где k — некоторое целое число, большее 0, т.е. $T=\sqrt $, а если теперь догадаться подставить в него $x=\sqrt <\pi>$, то получится, что $\sin(\sqrt<\pi>+\sqrt)=0$, откуда $\sqrt<\pi>+\sqrt=n\pi$, $1+\sqrt=n\sqrt<\pi>$, $1+k+2\sqrt=n^2\pi$, $2\sqrt=n^2\pi-1-k=n^2\pi=m$, $4k=n^4<\pi>^2+2mn^2x+m^2$, и таким образом, число р является корнем уравнения $n^4x^2+2mn^2\pi+m^2-4k=0$, т.е. является алгебраическим, что неверно: $\pi$ является, как мы знаем, трансцендентным, т.е. не является корнем никакого алгебраич­ской уравнения с целыми коэффициентами. Впрочем, в будущем мы получим гораздо более простое доказательство этого утверждения — но уже с помощью средств математического анализа.

При доказательстве непериодичности функций часто помогает элементарный логический трюк: если все периодические функции обладают некоторым свойством, а данная функция им не обладает, то она, естественно, не является периодической. Так, периодическая функция всякое свое значение принимает бесконечно много раз, и поэтому, например, функция $y=\frac$ не является периодической, так как значение 7 она принимает только в двух точках. Часто для доказательства непериодичности удобно использовать особенности ее области определения, а для нахождения нужного свойства периодических функций иногда приходится проявлять определенную фантазию.

Заметим еще, что очень часто на вопрос, что же такое непериодическая функция, приходится слышать ответ в стиле, о котором мы говорили в связи с четными и нечетными функциями, — это когда $f(x+T)\neq f(x)$, что, конечно же, недопустимо.

А правильный ответ зависит от конкретного определения периодической функции, и, исходя из данного выше определения, можно, конечно, сказать, что функция является непериодической, если она не имеет ни одного периода, но это будет «плохое» определение, которое не дает направления доказательства непериодичности. А если его расшифровать далее, описав, что значит предложение «функция f не имеет ни одного периода», или, что то же самое, «никакое число $T \neq 0$ не является периодом функции f», то получим, что функция f не является периодической в том и только в том случае, когда для всякого $T \neq 0$ существует число $x\in D(f)$ такое, что либо хотя бы одно из чисел $x+T$ и $x-T$ не принадлежит D(f), либо $f(x+T)\neq f(x)$.

Можно сказать и иначе: «Существует число $x\in D(f)$ такое, что равенство $f(x+T) = f(x)$ не выполняется» — это равенство может не выполняться по двум причинам: или оно не имеет смысла, т.е. одна из его частей не оп­ределена, или — в противном случае, быть неверным. Для интереса добавим, что языковой эффект, о котором мы говорили выше, здесь проявляется тоже: для равенства «не быть верным» и «быть неверным» — не одно и то же — равенство еще может не иметь смысла.

Детальное выяснение причин и последствий этого языкового эффекта в действительности является предметом не математики, а теории языка, лингвистики, точнее, ее особого раздела: семантики — науки о смысле, где, впрочем, эти вопросы являются весьма сложными и не имеют однозначного решения. А математика, в том числе и школьная, вынуждена мириться с этими трудностями и преодолевать языковые «неурядицы» — пока и поскольку она использует, наряду с символическим, и естественный язык.

Материалы по теме:

• Периодические функции
• Симметрии графиков функций
• Функции четные и нечетные
• Таблица неопределённых интегралов

Большая Энциклопедия Нефти и Газа

Звуки речи представляют собой непериодическую функцию , которую можно разложить в ряд Фурье и рассматривать как периодические колебания в спектре частот от 80 до 12000 гц. В процессе, разговора происходит усиление отдельных областей частот, так называемых формант, которыми определяется разборчивость речи. Большинство формант расположено в полосе частот от 300 до 3400 гц. Эта часть спектра, получившая название эффективно передаваемой полосы частот, рекомендована Международным консультативным комитетом по телефонии и телеграфии ( МККТТ) для передачи по линиям связи. [20]

Теперь мы будем рассматривать непериодические функции / кусочно-гладкие и абсолютно интегрируемые на действительной оси. [21]

Интеграл Фурье позволяет выразить непериодические функции бесконечной суммой синусоидальных колебаний, члены которой отличаются друг от друга по модулю, фазе и частоте на бесконечно малые величины. [22]

Возможны случаи, когда первая непериодическая функция имеет вид, отличный от ( 21), и в этом случае нулевое решение может оказаться неасимптотически устойчивым. [23]

Аналогично этому и к непериодической функции может быть применено разложение Фурье. В этом случае продолжительность периода принимается бесконечно большой, выражения для разложения получаются при помощи перехода к Т — оо, последовательность дискретных значений частот kui заменяется непрерывно меняющейся частотой со. [24]

Иначе говоря, представление непериодической функции в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование незатухающих гармонических колебаний бесконечного сплошного спектра частот. [25]

По этой причине представление непериодической функции интегралом Фурье как и представление периодической функции рядом Фурье называют гармоническим анализом этой функции. [26]

Иначе говоря, представление непериодической функции в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование незатухающих гармонических колебаний бесконечного сплошного спектра частот. [27]

Задача разложения в спектр непериодической функции F ( t) математически решается представлением ее в виде интеграла Фурье, что законно при выполнении некоторых условий, которые были сформулированы ранее. Физически эта операция получения непрерывной суммы бесконечно большого числа синусоидальных компонент сводится к регистрации спектральным прибором сплошного спектра. [28]

Рассмотрим теперь гильбертово пространство гладких непериодических функций . [29]

Эти формулы позволяют преобразовать непериодическую функцию времени f ( t) в функцию частоты F ( o)) и обратно. [30]

Непериодическая функция.

x(t) |a_K| 0 t 0  Для непериодической функции спектр становится непрерывным. При устремлении периода в бесконечность, ряд Фурье переходит в интеграл Фурье, а коэффициенты Фурье переходят в преобразование Фурье по следующей формуле: (21) Интеграл Фурье следует понимать, как разложение Фурье x(t) по непрерывным частотам. Теперь, наконец, покажем, что имеется важнейшая связь между непрерывным спектром (преобразованием Фурье) и преобразованием Лапласа, лежащая в основе известной подстановки p=j. В самом деле, так как x(t)0 при t < 0 (функия является оригиналом для преобразования Лапласа), то: (22) Вывод: Подстановка p=j в изображение по Лапласу произвольной функции (оригинала) превращает преобразование Лапласа в спектр или, что есть то же самое, в преобразование Фурье. Поэтому от передаточной функции переходим к спектрам входного и выходного сигналов. Y(p)=W(p)U(p) при подстановке p=j: Y(j)=W(j)U(j) ; (23) W(j) явно описывает изменение спектра при прохождении через блок с передаточной функцией W(p). Формула (23) справедлива для любого входного сигнала. Но, так как произвольный сигнал модет быть разложен по гармоническим составляющим (в ряд или интеграл Фурье, в зависимости от периодичности), особенно важно знать, как преобразуется простейший гармонический сигнал при прохождении через блок с ПФ W(p). Известно, что при поступлении на вход линейного блока с любой передаточной функцией гармонического сигнала после окончания переходного процесса на выходе устанавливается гармонический сигнал той же частоты. Конечно, требуется, чтобы переходный процесс заканчивался, то есть, чтобы решение однородного уравнения в формуле (24) стремилось к 0. (24) Из (24) следует, что при подаче на вход блока простого гармонического сигнала u(t)=sin t, выходной сигнал в установившемся режиме будет гармоническим с изменившимися амплитудой и фазой. Воспользуемся комплексным методом для определения амплитуды и фазы y(t). u(t)=Im(e j  t ); y(t)= L -1 W(p)L; Но оператор Лапласа и его обратный переставимы с операцией взятия Im-мнимой части. Поэтому: y(t)=Im(L -1 W(p)L); Соответственно: Y(p)=Im(W(p)L); Сделаем подстановку p=j: Y(j)=A()L=Im(W(j)L); A()L=A()e j  (  ) L< e j  t >; Теперь можно вычислить АФЧХ: W(j) = Y(j)/U(j)= A()e j  (  ) e j  t / e j  t = A()e j  (  ) — АФЧХ; W(j) = |W(j)| e i arg W(j  ) =|W(j)| e i  (  ) ; (25) Где: |W(j)| — АЧХ — Амплитудно–частотная характеристика; ()=arg W(j) — ФЧХ — Фазочастотная характеристика. ImW(j) Частотные характеристики показывают амплитуду и фазу установившегося  ReW(j) гармонического сигнала на выходе при поступлении на вход гармонического () =0 сигнала единичной амплитуды. A() АФЧХ удобно изображать в виде годографа (греч. hodos — путь + «граф»)  * на комплексной плоскости с координатами ReW() и ImW(). Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от 0 до . Для произвольной частоты  * радиус вектор в точке W( * ) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол ( * ) — сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда ещё W(j) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и имеющийся фазовый сдвиг, также зависящий от частоты. В инженерной практике иногда используются (однако, гораздо реже) графики отдельно АЧХ и ФЧХ (25). В этом случае проще проследить конкретную зависимость от частоты, так как частота является координатой этих графиков. Но чаще всего используют логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), то есть графики ЛАЧХ и ФЧХ в логарифмических координатах. Удобство их применения станет понятным далее. ЛАЧХ: L() (дб) = 20lg|W(j)| ФЧХ:  () = arg W(j) (26)