Главная диагональ
Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Например, у следующей матрицы элементы главной диагонали равны единице:
Значение [ править ]
- матем. совокупность элементов квадратной матрицы [ a i j ] ]> , у которых i = j ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации ).
- шахм. чернопольная линия а1-h8 и белопольная a8-h1 ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации ).
Синонимы [ править ]
Антонимы [ править ]
Гиперонимы [ править ]
Гипонимы [ править ]
Этимология [ править ]
Перевод [ править ]
Это незаконченная статья. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её .
В частности, следует уточнить сведения о:
- Русский язык
- Устойчивые сочетания/ru
- Математические термины/ru
- Шахматные термины/ru
- Статьи со ссылками на Википедию/ru
- Нужна аудиозапись произношения/ru
- Статьи с иллюстрациями
- Статьи без примеров употребления
- Нужны сведения о семантике
- Статьи, нуждающиеся в доработке
Что такое главная диагональ матрицы
Некоторые матрицы специального вида обладают дополнительными и только им присущими свойствами. Такие матрицы принято наделять именами, которые в какой-то мере отражали бы их структуру. В частности, квадратные матрицы потому и называются квадратными, что они квадратные .
Например, диагональная матрица не изменится, если ее строки объявить столбцами (при этом ее столбцы автоматически становятся строками). Поэтому для диагональных матриц A и B исчезает неравноправие между строками и столбцами в произведении таких матриц и, следовательно, AB = BA.
У каждого элемента, расположенного на главной диагонали квадратной матрицы, номер строки совпадает с номером столбца. Все другие матричные элементы a i j (i ≠ j) диагональной матрицы A равны нулю.
Подобные ситуации встречаются достаточно часто и поэтому договорились использовать для их описания специально введенное выражение вида δ i j :
δ i j = 1, если i = j,
δ i j = 0, если i ≠ j.
Вот примерно такова логика изложения в данном разделе!
Матрица размера n×n называется квадратной матрицей n-го порядка. |
элементы ( i = 1, 2, . n ) образуют главную диагональ и называются диагональными элементами. Главная диагональ проходит из левого верхнего угла матрицы в ее правый нижний угол.
(1) |
Совокупность элементов, расположенных на диагонали, проходящей из правого верхнего угла в левый нижний угол, называется побочной диагональю.
Матрица , все внедиагональные элементы которой равны нулю, называется диагональной. Другими словами, элементы диагональной матрицы удовлетворяют условиям
(2) |
Для записи подобных выражений удобно использовать дельта-символ Кронекера, определяемый формулой
(3) |
Очевидно, что дельта-символ симметричен относительно перестановки индексов:
δi j = δj i . | (4) |
Другое важное свойство дельта-символа δi j заключается в том, что он снимает суммирование в выражениях вида
(5) |
В частности,
(6) |
В этих обозначениях формула (2) принимает вид
(7) |
Очевидно, что при умножении прямоугольной матрицы A справа на диагональную матрицу с диагональными элементами λ 1 , λ 1 , . λ n первый столбец матрицы A умножается на число λ 1 , второй — на число λ 2 и так далее.
При умножении матрицы A слева на такую диагональную матрицу каждая строка матрицы A умножается на соответствующее число λ i .
Диагональная квадратная матрица с равными диагональными элементами называется скалярной.
Диагональные матрицы: определение и свойства
Матрица — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из определенного количества строк и столбцов. Существует множество матричных видов, и один из них — диагональный. Разберемся, что он из себя представляет.
Что такое диагональная матрица
У диагональной матрицы элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю.
Напомним, что матрица считается квадратной, если количество строк равно количеству столбцов (m = n).
Особенности и свойства
Для начала нужно понять, что такое матричный определитель.
Определитель (детерминант) — это некоторая величина, с которой можно сопоставить любую квадратную матрицу.
Определитель А = (2×2), к примеру, вычисляется по формуле:
Из этого следует свойство №1: определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.
Свойство №2: обратная матрица для диагональной равна:
Свойство №3: ранг равен количеству ненулевых диагональных элементов.
Главная и побочная диагонали
Главную диагональ образуют элементы, расположенные на местах \(а_\) , \(а_\) , \(а_\) … \(а_\) . Их соответственно называют диагональными.
Побочной диагональю называют диагональ элементов от правого верхнего угла до нижнего левого. Эти диагонали параллельны друг другу.
Частные случаи диагональных матриц
Существуют три основных подвида: единичная, нулевая, скалярная.
Единичная матрица
У единичной матрицы все диагональные элементы равны единице.
В формулах ее обозначают буквой Е.
Нулевая матрица
В нулевой матрице все элементы, в том числе диагональные, равны нулю.
В формулах ее обозначают цифрой 0.
Скалярная матрица
В скалярной матрице все элементы на главной диагонали равны друг другу.
В некоторых случаях говорят, что скалярная матрица — это произведение скаляра на единичную матрицу Е. В ней диагональные элементы могут быть как положительными, так и отрицательными.
Примеры решения диагональных матриц
Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду.
Условие: дана матрица А
Задача: привести к диагональному виду.
Решение: характеристическое уравнение равно
а его корни: \(λ_1 = 5\) , \(λ_2 = (-2)\)
Если \(λ_1 = 5\) , то
Пусть \(х_2 = с\) , тогда вектор равен:
Если \(x = λ_2 = (-2)\) , то
Пусть \(х_2 = с\) , тогда вектор равен:
Таким образом, диагональная матрица имеет вид:
Изучение данных математических объектов имеет свои подводные камни. Если у вас нет времени на учебу, Феникс.Хелп может помочь вам с решением контрольных, самостоятельных и иных проверочных работ.
- Профессиональное и личностное развитие
- Лайфхаки для жизни и учебы
- Подготовка к тестам, экзаменам, зачетам