Какие из перечисленных величин являются случайными величинами

Дискретная случайная величина

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
3. Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\[/math]

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:

Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math] , определённая на [math]\mathbb[/math] как [math]P(\xi\leqslant x)[/math] , т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение меньшее или равное [math]x[/math]

Если случайная величина [math]\xi[/math] дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией [math]\mathbb(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots[/math]

Функция распределения [math]F(x)[/math] этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как [math]F(x) = \sum\limits_ p_i[/math] .

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

• [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]

• [math]F(x)[/math] непрерывна во всех точках [math]x\in \mathbb[/math] , таких что [math]\forall i ~ x \ne x_i [/math] , и имеет разрыв первого рода в точках, таких что [math]\forall i ~ x = x_i[/math] .

• [math]\lim\limits_ F(x) = 0, \lim\limits_ F(x) = 1[/math] .

Примеры

1. Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть [math]n[/math] выстрелов, вероятность попадания равна [math]p[/math] . Необходимо найти [math]F(k)[/math] . Для [math]k \lt 0 ~ F(k) = 0[/math] , так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для [math]k \geqslant 0 ~ F(k) = \sum\limits_^<\min(n, \lceil k \rceil - 1) >\dbinomp^ (1-p)^< n - i>[/math]
2. Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла — [math]p[/math] .
3. Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел [math]1 \ldots 6[/math] соответственно равны [math]p_ \ldots p_[/math] . Для [math]k \lt 1 ~ F(k) = 0[/math] , так как не может выпасть цифра меньше [math]1[/math] . Для [math]k \geqslant 1 ~ F(k) = \sum\limits_^<\min(6,\lceil k \rceil - 1) >p_[/math]

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например [math] F(x) = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac>, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 1, & x \gt 3 \end[/math]

Функция плотности распределения вероятностей

Определение:

Функция плотности распределения вероятностей (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math] , определённая на [math]\mathbb[/math] как первая производная функции распределения. [math]f(x) = F'(x)[/math]

Свойства функции плотности вероятности:

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

• Плотность вероятности определена почти всюду.

Для примера выше [math] f(x)=F'(x) = \begin (0)’, & x \lt 0 \\ \left(\dfrac> \right)’, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ (1)’, & x \gt 3 \end = \begin 0, & x \lt 0 \\ \dfrac, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 0, & x \gt 3 \end [/math]

Для дискретной случайной величины не существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

См. также

Источники информации

• КГУ — Определение дискретной случайной величины
• Википедия — Дискретная случайная величина
• Википедия — Плотность вероятности

8.2. Случайные величины

Определение. Случайной величиной называют такую величину, которая в результате эксперимента принимает какое-либо одно значение из множества ее возможных значений, причем до экс­перимента невозможно предсказать, какое именно. Случайными величинами являются, например, количество оч­ков, выпадающих при бросании игрального кубика, число посе­тителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве и т. д. Случайными величинами являются также температура боль­ного в некоторое наугад выбранное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбран­ного студента и т. д. Однако с математической точки зрения между такими слу­чайными величинами, как, например, число посетителей аптеки в течение дня (обозначим эту случайную величину X,) и рост наугад выбранного студента из некоторой группы студентов (ве­личина Х₂), имеется принципиальное различие, а именно: для величины X₁, можно перечислить все ее возможные значения (1, 2, 3, 4, 5, 6, . ), тогда как для величины Х₂ этого сделать нельзя, поскольку эта величина в результате измерения может принять любое значение из отрезка [h_min, h_max], где h_min и h_max — соответ­ственно минимальный и максимальный рост студентов группы. Случайные величины принято обозначать прописными буква­ми латинского алфавита — X, Y, Z и т. д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами с числовыми индексами. Например, значения случайной величины X обозна­чают следующим образом: х₁, х₂, х₃ и т. д.

8.2.1. Понятие дискретных и непрерывных случайных величин

Определение. Случайная величина называется дискретной, если совокупность всех ее возможных значений представляет собой конечное или бесконечное, но обязательно счетное множество значений, т. е. такое множество, все элементы которого могут быть (по крайней мере теоретически) пронумерованы и выписаны в соответствующей последовательности. Определение. Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений представляет собой не­который конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Исходя из этих определений, такие из перечисленных выше случайных величин, как количество очков, выпадающих при бро­сании игрального кубика, число посетителей аптеки в течение дня, количество яблок на дереве, являются дискретными случай­ными величинами, а такие, как температура больного в фикси­рованное время суток, масса наугад выбранной таблетки некото­рого препарата, рост наугад выбранного студента, – непрерывными величинами.

8.2.3. Основные числовые характеристики дискретной случайной величины

Как уже отмечалось, закон распределения дискретной случайной величины позволяет получить исчерпывающую информацию об этой величине. На практике закон распределения изучаемой величины часто неизвестен, но даже и в тех случаях, когда он известен, для описания определенных особенностей этой величины используют ее так называемые основные числовые характеристики, из ко­торых рассмотрим математическое ожидание, дисперсию и сред­нее квадратическое отклонение (стандарт). Определение. Математическим ожиданием М(Х) (часто ис­пользуется также обозначение «ц») дискретной случайной ве­личины X называется сумма произведений каждого из всех ее возможных значений на соответствующие вероятности: М(Х)= μ= ∑x_ip_i= x₁p₁+x₂p₂+…x_np_n (8.13) где индекс г принимает значения 1, 2, 3, . п. Пример 8.7. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины X, определяемой как количество студентов в наугад выбранной группе, используя данные табл. 8.3 (см. при­мер 8.6). Решение. Подставляя данные табл. 8.3 в формулу (8.13), по­лучим: μ = 8*0,2 + 9*0,1 + 10*0,3+ 11*0,2+ 12*0,2=10,1. Основной смысл математического ожидания дискретной слу­чайной величины состоит в том, что оно представляет собой среднее значение данной величины. Иными словами, если произведено некоторое количество испытаний и по результатам этих испыта­ний вычислено среднее арифметическое всех наблюдавшихся значений дискретной случайной величины X, то это среднее ариф­метическое значение приближенно равно (тем точнее, чем больше количество испытаний) математическому ожиданию данной слу­чайной величины. Некоторые свойства математического ожидания: 1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной величине: М(С) = С. 2. Математическое ожидание произведения постоянного мно­жителя на дискретную случайную величину равно произведе­нию этого постоянного множителя на математическое ожида­ние данной случайной величины: М(kХ)=k*M(X) 3. Математическое ожидание суммы двух случайных вели­чин равно сумме математических ожиданий этих величин: М(Х +Y) = М(Х) + М(Y). Для характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математическо­го ожидания вводят понятие дисперсии дискретной случайной величины. Определение. Дисперсией D(Х) (часто используется также обо­значение «σ 2 ») дискретной случайной величины называется ма­тематическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания: D(Х) = σ 2 =М((Х- μ) 2 ). (8.14) Следует, однако, отметить, что на практике дисперсию часто удобнее вычислять по формуле D(Х) = σ 2 =М( X 2 )-μ 2 (8.15) Пример 8.8. Вычислить дисперсию дискретной случайной величины X, определяемой как число студентов в наугад выбран­ной группе, используя данные табл. 8.3, а также результаты примера 8.7. Решение. Используя данные, приведенные в табл. 8.3, вычис­лим сначала математическое ожидание величины X 2 : M(X 2 )= ∑x_i 2 p_i= x₁ 2 p₁+ x₂ 2 p₂+ …+x_n 2 p_n=64*0,2 + 81*0,1 + 100*0,3 + 121*0,2 + 144*0,2 = 103,9. Подставляя это значение, а также найденное в примере 8.7 значение математического ожидания в формулу (8.15), получим: σ 2 =103,9-10,1 2 = 1,89. Некоторые свойства дисперсии. 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:D(C)=0 2. Дисперсия произведения постоянного множителя Ь на дис­кретную случайную величину равна произведению квадрата этого постоянного множителя на дисперсию данной случайной величины: D(kX)=k 2 *D(X) Как следует из определения дисперсии дискретной случайной величины, ее размерность равна квадрату размерности самой случайной величины. Например, размерность дисперсии, вычис­ленной в примере 8.8, есть «студент 2 ». Наряду с дисперсией в качестве числовой характеристики степени разброса возможных значений дискретной случайной величины относительно ее математического ожидания часто ис­пользуют ее среднее квадратическое отклонение (иногда назы­ваемое стандартным отклонением или просто стандартом), размерность которого совпадает с размерностью случайной вели­чины. Определение. Средним квадратическим отклонением диск­ретной случайной величины называется квадратный корень из ее дисперсии: σ(X)= √D(X) (8.16) Пример 8.9. Вычислить среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины X, определяемой как число сту­дентов в наугад выбранной группе (см. пример 8.6), используя результаты примера 8.8. Решение. Подставляя величину дисперсии, найденную в примере 8.8, в формулу (8.16), найдем искомое среднее квадра­тическое отклонение: σ (Х) =√1,89≈1,37.

Глава 2 Случайные величины

В этой главе рассматривается еще одно из важнейших понятий теории вероятностей — случайные величины. Основная цель главы — рассмотреть особенности случайных величин, законы распределения и показать, как их применяют на практике. Изложен закон больших чисел в обобщенной форме и для частного случая, в форме Бернулли.

П. 2.1. Примеры случайных величин, взятых из сельскохозяйственного производства

1. годовой удой от одной коровы в литрах;
2. число яиц, полученных от одной несушки за год;

1. продолжительность лактации данной коровы в днях;

1. число растений спелой ржи на 1м 2 ;
2. глубина заделки семян при посеве;
3. масса одного растения к началу 10-й недели его развития;
4. процент жира в молоке;
5. количество осадков, выпавших в некоторой местности в июле месяце.

П. 2.2. Дискретная случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Определение. Законом распределения случайной величины называется соответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями. Пример. Отмечено, что в некоторой местности в течение ряда лет в июне 30% дождливых дней. Составить закон распределения случайной величины X — числа дождливых дней в течение одной недели июня месяца. События, состоящие в том, что в 1-й день недели дождь, во 2-й день дождь, в третий день дождь и т. д., считать независимыми. Возможные значения случайной величины X таковы: x₁ = 0, х₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3, х₅ = 4, x₆ = 5, x₇, = 6, х₈ = 7. Вероятности этих значений соответственно равны: Закон распределения представим в виде следующей таблицы. Таблица 2.1

X	0	1	2	3	4	5	6	7
Pi	0,0824	0,2472	0,3128	0,2263	0,0973	0,0250	0,0036	0,0002

Наибольшую вероятность имеет событие, состоящее в том, что на неделе будет два дождливых дня. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Закон распределения случайной величины полностью характеризует случайную величину. Наиболее важные свойства случайной величины, используемые при решении задач, характеризуются несколькими постоянными величинами — их числовыми характеристиками. Важнейшими из них являются математическое ожидание M(Х) и дисперсия D(X). 1. Математическое ожидание. Определение. Математическим ожиданием M(Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений каждого значения этой величины на соответствующую вероятность (2.2.1) Смысл математического ожидания можно уточнить, установив его связь со средним арифметическим значением. Положим, что испытание проведено N раз, при этом случайная величина X приняла значение x₁ m₁ раз, х₂ m₂ раз, . x_k m_k раз. Ясно, что Термин «математическое ожидание» возник в связи с применением вероятностных методов в страховом деле, когда необходимо было определить ожидаемую (предполагаемую) величину выплат по страховым договорам. В практических задачах за математическое ожидание принимается среднее значение случайной величины. Свойства математического ожидания случайной величины. 1 °. Математическое ожидание постоянной величины С равно самой постоянной величине. Доказательство. Случайная величина будет постоянной, если она принимает одно значение, равное С, с вероятностью р=1. Тогда, по определению, M (C) = C∙1=C. (2.2.2) 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е. M (CX) = CM (X) (2.2.3) Доказательство. Возможные значения случайной величины СХ таковы: Сх₁, Сх₂, Сх₃, . Cx_k, а соответствующие вероятности следующие: р₁ р₂, p₃ …, p_k. Тогда 3°. Математическое ожидание случайной величины заключено между ее возможными наименьшим и наибольшим значениями. Доказательство. Пусть а и b — соответственно наименьшее и наибольшее из всех возможных значений x₁, x₂, x₃, . x_k с вероятностями p_l, р₂, р₃, . p_k. Тогда ap₁ + ap₂ + … + ap_k ≤ x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_kp_k ≤ bp₁ + bp₂ + … + bp_k, преобразуя, имеем Так как p₁ + p₂ + … + p_k = 1, то A ≤ M (X) ≤ b (2.2.4) Приведем без доказательства еще два свойства. 4°. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин ровно сумме математических ожиданий этих величин, т. е. M (X+Y)=M (X)+M (Y) (2.2.5) Замечание. Прежде чем перейти к рассмотрению следующего свойства случайных величин, сформулируем понятие независимости случайных величин. Случайные величины X и Y называются независимыми, если закон распределения одной их них не зависит от того, какие значения приняла другая величина. 5°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий M (XY) = M (X)∙M (Y) (2.2.6) 2. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины. Еще одной важной характеристикой случайной величины является дисперсия. Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины около ее математического ожидания. Это очень важная характеристика. В приложениях теории вероятностей приходится сравнивать две однородные случайные величины. Из двух величин с равными математическими ожиданиями та считается «лучшей», которая имеет меньший разброс. За меру разброса можно было бы принять среднее значение абсолютных величин отклонений , но такая характеристика не всегда удобно и не дает хорошей оценки, так как большие отклонения становятся «мало ощутимы». Поэтому вычисляют отклонения возможных значений случайной величины отМ (Х), возводят их в квадрат, умножают на вероятности р_i и складывают полученные произведения. Определение. Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной X и ее математическим ожиданием D (X) = M (X – M (X)) 2 (2.2.7) Составим закон распределения случайной величины (X – М(X)) 2 в виде табл. 2.2. Таблица 2.2

(xi–M (X)) 2	(x1–M (X)) 2	(x2–M (X)) 2	(x3–M (X)) 2	…	(xk–M (X)) 2
pi	p1	p2	p3	pk

По определениям дисперсии и математического ожидания случайной величины получим D (X) = M (X – M (X)) 2 или D (X) = (2.2.8) Для практического применения используют следующую формулу: D (X) = M (X) 2 – (M (X)) 2 (2.2.9) Таким образом, дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом математического ожидания. Свойства дисперсии. 1°. Если случайная величина X принимает только одно возможное значение С с вероятностью р=1, то D (X) = 0, т. е. дисперсия постоянной величины равна нулю. Доказательство. Имеем D (X) = D (C) = M (C–C) 2 = M (0) = 0 (2.2.10) 2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат, D (CX) = C 2 D (X). (2.2.11) 3°. Дисперсия суммы или разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий D (X±Y) = D (X) + D (Y) (2.2.12) Доказательство. По формуле (2.2.9) получаем D (X ± Y) = M (X±Y) 2 — [M (X ± Y)] 2 . Раскрывая скобки и используя свойства имеем D (X ± Y) = M (X 2 ± 2 XY+Y 2 ) – [M (X) ± M (Y)] 2 = = M (X 2 ) ± 2M (X) M (Y) + M (Y 2 ) – (M (X)) 2 ± 2M (X) M (Y) – (M (Y)) 2 = = M (X 2 ) – (M (X)) 2 + M (Y 2 ) – (M (Y)) 2 = D (X) + D (Y) В случае суммы большего числа независимых случайных величин свойство формулируется аналогично. Следствие. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины D(C+X) = D(X) (2.2.13) Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины. Естественно желание иметь показатель рассеяния случайной величины той же размерности, что и размерность случайной величины. Для этого извлекают корень квадратный из дисперсии. Определение. Корень квадратный из дисперсии случайной величины называется средним квадратическим отклонением и обозначается σ(Х) или σ_х: (2.2.14)

Какие из перечисленных величин являются случайными величинами

6.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.

Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами X , Y , Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x , y , z . Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: , , .

Итак, примерами случайных величин могут быть:

1) количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:

2) число тузов, при взятии из колоды 6 карт;

3) количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;

4) число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;

5) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;

6) рост случайно взятого человека.

Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а, b ).

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.

При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы записываются возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие значениям вероятности: