Задача 70497 Найти все значения параметра a, при.
Найти все значения параметра a, при которых уравнение имеет единственное решение на отрезке [0; p].
p=9.
математика ВУЗ 238
Решение
30.03.2023 19:39:20
Дробь равна 0 ⇔ [m]\left\x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0\\x^2-10x+9 ≠ 0\end \right.[/m]
При каких значениях параметра a
[m]\left\x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0\\x ≠ 1 \\x ≠9 \end \right.[/m]
система имеет единственное решение на отрезке [0; 9].
Квадратное уравнение [m]x^2-(3a-1)x+2a^2-2=0[/m] — уравнение с параметром
D=(3a-1)^2-4*(2a^2-2)=9a^2-6a+1-8a^2+8=a^2-6a+9=(a-3)^2=0 ⇒
уравнение имеет [b]один корень[/b] или два корня [b]два корня[/b] и этот корень x ≠ 1 и x ≠9
1)
если
[b]D=0[/b]
то
a-3=0
a=3
уравнение имеет единственный корень
4 ≠ 1
4 ≠ 9
4 ∈ [0;9]
при a=3 уравнение имеет один корень и этот корень принадлежит отрезку [0;9]
а) один из корней не принадлежит отрезку [0;9]
второй корень принадлежит этому отрезку, но отличен от 1 и от 9
обе систему не имеют решений
О т в е т. a ∈ (-1;0)U (0;1)UU (5,5;8)
Показательные уравнения
Задача 1. При каких значениях параметра p уравнение 4 x – (5p – 3) · 2x + 4p 2 – 3p = 0 (1) имеет единственное решение?
Решение. Введем замену 2 x = t, t > 0, тогда уравнение (1) примет вид t 2 – (5p – 3)t + 4p 2 – 3p = 0. (2)
Дискриминант уравнения (2) D = (5p – 3) 2 – 4(4p 2 – 3p) = 9(p – 1) 2 .
Уравнение (1) имеет единственное решение, если уравнение (2) имеет один положительный корень. Это возможно в следующих случаях.
1. Если D = 0, то есть p = 1, тогда уравнение (2) примет вид t 2 – 2t + 1 = 0, отсюда t = 1, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение x = 0.
2. Если p № 1, то 9(p – 1) 2 > 0, тогда уравнение (2) имеет два различных корня t1 = p, t2 = 4p – 3. Условию задачи удовлетворяет совокупность систем
Подставляя t1 и t2 в системы, имеем
Рассмотрим более общую задачу.
Задача 2. Сколько корней имеет уравнение в зависимости от параметра a?
Решение. Пусть тогда уравнение (3) примет вид t 2 – 6t – a = 0. (4)
Найдем значения параметра a, при которых хотя бы один корень уравнения (4) удовлетворяет условию t > 0.
Введем функцию f(t) = t 2 – 6t – a. Возможны следующие случаи.
Случай 1. Уравнение (4) имеет два различных положительных корня, если выполнятся условия
где t0 — абсцисса вершины параболы и D — дискриминант квадратного трехчлена f(t);
Случай 2. Уравнение (4) имеет единственное положительное решение, если
D = 0, если a = – 9, тогда уравнение (4) примет вид (t – 3) 2 = 0, t = 3, x = – 1.
Случай 3. Уравнение (4) имеет два корня, но один из них не удовлетворяет неравенству t > 0. Это возможно, если
Таким образом, при a і 0 уравнение (4) имеет единственный положительный корень . Тогда уравнение (3) имеет единственное решение
Сравним способы решения уравнений (1) и (3). Отметим, что при решении уравнение (1) было сведено к квадратному уравнению, дискриминант которого — полный квадрат; тем самым корни уравнения (2) сразу были вычислены по формуле корней квадратного уравнения, а далее относительно этих корней были сделаны выводы. Уравнение (3) было сведено к квадратному уравнению (4), дискриминант которого не является полным квадратом, поэтому при решении уравнения (3) целесообразно использовать теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и графическую модель. Заметим, что уравнение (4) можно решить, используя теорему Виета.
Решим более сложные уравнения.
Задача 3. Решите уравнение
Решение. ОДЗ: x № 1, x № 2.
Введем замену. Пусть 2 x = t, t > 0, тогда в результате преобразований уравнение примет вид
Найдем значения a, при которых хотя бы один корень уравнения (*) удовлетворяет условию t > 0.
Рассмотрим функцию f(t) = t 2 + 2t – 13 – a. Возможны случаи.
Случай 1. Для того чтобы оба корня уравнения (*) удовлетворяли неравенству t > 0, должны выполняться условия
где t0 — абсцисса вершины f(t) = t 2 + 2t – 13 – a, D — дискриминант квадратного трехчлена f(t).
Система решений не имеет.
Случай 2. Для того чтобы только один корень уравнения (*) удовлетворял неравенству t > 0, должно быть выполнено условие f(0) < 0, то есть a > – 13.
Случай 3. Найдем значения a, когда t № 2, t № 4.
Ответ: если a > – 13, a № 11, a № 5, то если a Ј – 13, a = 11, a = 5, то корней нет.
Задачи для самостоятельного решения
1. При каких значениях параметра a уравнение 36 x + (a – 1)6 x + a – 2a 2 = 0 имеет два действительных различных корня?
Указание. Пусть 6x = t, тогда уравнение примет вид t 2 + (a – 1)t + a – 2a 2 = 0, откуда t1 = a, t2 = 1 – 2a. Уравнение имеет два разных корня, если выполняется
2. При каких значениях параметра a уравнение 9 x – 3 x+1 – a 2 + 5a – 4 = 0
имеет один действительный корень?
Указание. Смотреть решение задач 1, 2.
3. При каких значениях параметра a уравнение 49 x + (a – 1)7 x – 2a 2 + 4a – 2 = 0
не имеет ни одного действительного корня?
4. При каких значениях параметра a уравнение 16 x – (5 – a)4 x + 6 – 2a = 0имеет два действительных различных корня?
5. При каких значениях параметра p уравнение имеет единственное решение?
Указание. Воспользоваться решением задачи 1.
6. При каких значениях параметра p уравнение 25 –x – (p + 8)5 –x – 2p 2 – 2p + 7 = 0 имеет единственное решение?
7. Найдите все значения a, при которых уравнение 4 x – a · 2 x – a + 3 = 0 имеет хотя бы одно решение.
Указание. Свести уравнение к виду t 2 – at – a + 3 = 0, где t = 2 x .
8. Решите уравнение относительно x.
Указание. Пусть 2 x = t, t > 0, тогда . Полученное уравнение равносильно системе
Так как t > 0, то
Далее нужно найти значения параметра a, при которых хотя бы один корень полученного уравнения системы удовлетворяет условию 0 < t < 1; при всех других значениях параметра a исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: если 0 < a Ј 1, то x = log2 a, при остальных a решений нет.
9. Решите уравнение
Указание. Пусть 2 x = t, t > 0, полученное уравнение равносильно системе
Ответ: если то при других a решений нет.
$ AlexLat $
У становить, при каких значениях параметра a уравнения
x² – (2a + 1)x + a + 1 =0, 2x² – (4a – 1)x + 1 = 0
имеют общий корень. Найти соответствующий корень.
Задачи с параметрами | Просмотров: 460 | Загрузок: 0 | Добавил: alexlat | Дата: 25.10.2013 | Комментарии (0)
Н айти множество значений a, при которых уравнение
x² – (3a – 4)x + 2a² – 5a + 3/√x + 1 = 0
имеет единственное решение.
Решение уравнений | Просмотров: 347 | Загрузок: 0 | Добавил: alexlat | Дата: 25.10.2013 | Комментарии (0)
Н айти действительные значения k, при которых неравенство
x² – (k + 1)x + k + 1 > 0
верно для всех значений x, удовлетворяющих условию |x| ≤ 1.
Решение неравенств | Просмотров: 211 | Загрузок: 0 | Добавил: alexlat | Дата: 25.10.2013 | Комментарии (0)
Н айти действительные значения k, при которых неравенство
x² – (k + 1)x + k + 1 > 0
верно для всех значений x, удовлетворяющих условию |x| ≤ 1.
Решение неравенств | Просмотров: 207 | Загрузок: 0 | Добавил: alexlat | Дата: 25.10.2013 | Комментарии (0)
П ри каких значениях параметра a корни уравнения
x² – 2(a – 1)x + 2a + 1 = 0
имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4?
Решение неравенств | Просмотров: 1397 | Загрузок: 0 | Добавил: alexlat | Дата: 25.10.2013 | Комментарии (0)
П ри каких значениях параметра m корни уравнения
x² – 2(m + 2)x + m² + 12 = 0
принадлежат отрезку [–1; 4]?
Задачи с параметрами | Просмотров: 265 | Загрузок: 0 | Добавил: alexlat | Дата: 25.10.2013 | Комментарии (0)
Найти все значения параметра а при которых уравнение (x^2)-|x|+a=0 имеет единственное решение
Вывод: Не существует такое значение параметра а при котором данное уравнение имеет единственное решение .
Ответ: а ∈∅
* * * a = 0 ⇒ |x| ( |x| -1) = 0 ⇒ x₁ =0 ; x₂= -1 ; x₃ = 1 три решения * * *
* * * a = 1/4 |x|²- |x| + 1/4 =0 ⇔ ( |x|- 1/2)² =0 ⇔ |x| = 1/2
a ∈ ( 0 ; 0,25 ) ; 4 решение