Верхний предел
Частичным пределом последовательности называется предел какой-либо её подпоследовательности, если существует хотя бы одна подпоследовательность, имеющая предел. Очевидно, что только предельная точка множества элементов последовательности может быть её частичным пределом, а также обратное (для доказательства будем брать δn = 1 / n и, выбирая в каждой δ -окрестности предельной точки член последовательности, построим таким образом сходящуюся к этой точке подпоследовательность).
Нижним пределом последовательности (обозначается >» width=»» height=»» />) называется наименьший элемент множества частичных пределов последовательности, а верхним пределом (>» width=»» height=»» />) — наибольший элемент.
Не во всяком множестве существуют наибольший или наименьший элемент; примером может служить интервал (0,1) . Однако утверждается, что у ограниченной последовательности верхний и нижний пределы существуют.
Докажем это утверждение для верхнего предела. По теореме Больцано — Вейерштрасса множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть s — верхняя грань множества A частичных пределов. Тогда заметим, что , а это означает, что в любой окрестности точки a1 находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого , мы можем сказать, что в любой окрестности точки s содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку a1 ). Значит, s по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.
множество всех ее частичных пределов (конечных и бесконечных) на расширенной числовой прямой (т. е. в множестве действительных чисел, пополненном символами ) не пусто и имеет как наибольший, так и наименьший элементы (конечный пли бесконечный). Наибольший элемент множества частичных пределов наз. верхним пределом (в. п.) последовательности и обозначается
наименьший элемент — нижним пределом (н. п.) н обозначается
У всякой последовательности существует в. п. (н. п.), при этом, если последовательность ограничена cверху (снизу), то ее в. п. (н. п.) конечен. Для того чтобы число а было в. п. (соответственно н. п.) последовательности необходимо н достаточно, чтобы для любого выполнялись условия: а) существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство ; б) для любого номера пД существует такой номер , что Условие а) означает существование при любом фиксированном в последовательности лишь конечного числа таких членов , что . Условие б) означает существование бесконечного множества таких членов , что . Понятие н. п. сводится к понятию в. п. с помощью изменения знака у членов последовательности:
Для того чтобы последовательность имела предел (конечный или бесконечный, равный одному из символов ), необходимо и достаточно, чтобы
2) В. п. (н. п.) функции в точке — предел верхних (нижних) граней множеств значений функции в окрестности точки , когда эти окрестности стягиваются к точке . Он обозначается
Пусть функция определена на метрич. пространстве и принимает действительные значения на Если есть -окрестность точки то
В каждой точке у функции существуют как в. п. так и н. п. (конечные или бесконечные). Функция полунепрерывна сверху, а функция полунепрерывна снизу на пространстве (в смысле понятия полунепрерывности функций, принимающих значения из расширенной числовой прямой).
Для того чтобы функция в точке имела предел, (конечный или бесконечный, равный одному из символов ), необходимо п достаточно, чтобы
Естественным образом понятие в.. п. (н. п.) функции в точке переносится на действительные функции, определенные на топологич. пространствах.
3) В. п. (н. п.) последовательности множеств множество
состоящее из таких элементов , к-рые принадлежат бесконечному числу множеств ; соответственно, множество
таких элементов , к-рые принадлежат всем множествам , начиная с нек-рого номера . Очевидно,
Лит.:[1] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., т. 1, М., 1971; [2] Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976; ГЗ] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М., 1973: [4] Никольский С. М., Курс математического анализа, т. 1, М., 1973; [5] Хаусдорф Ф., Теория множеств, пер. с нем., М., 1937. Л. Д. Кудрявцев.
Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977—1985 .
- ВЕРТОР
- ВЕРХНИХ И НИЖНИХ ФУНКЦИЙ МЕТОД
2.Верхний и нижний пределы последовательности
Определение. (Наибольший частичный предел последовательности xn> называется ее верхним пределом, , гдеX – множество всех частичных пределов. Можно показать, что .Аналогично, определяется нижний предел . Замечание. Если , (число или символ), то. Это является непосредственным следствием теоремы 1. Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы. (без доказательства) 1) Если последовательность неограниченна сверху, то 2) Ограничена сверху. A- множество частичных пределов . Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов xn>.
3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.
Условие Коши:>0Nn>Np😐xn+p — xn| Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши. Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность xn> сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна. Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть >0 . Для =/2Nn>N😐xn —a|/2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |xn+p —a| /2. Таким образом, для n>Np😐xn+p — xn| |xn+p — a|+|a — xn| /2+/2=. Достаточность. Пусть >0. Для =/2N1n>N1p😐xn+p — xn|/2 (1) Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N1+1 оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность, пусть . Для ранее выбранного (2). Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N1, тогда число N=nm будет больше N1 и, согласно (1) n>N😐xn — xN|/2 , (3) с другой стороны из (2) (4) Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено |xn—a| ч.т.д.
§4. Свойства последовательностей
1.Операции над последовательностями. Свойства пределов, связанные с операциями
Определения операций. Сумма двух последовательностей, умножение на число. Последовательность n называется бесконечно малой (б.м.), если . Последовательность n называется бесконечно большой (б.б.), если 1) n> б.м. |n| б.м. 2) n+n> б.м. , если n , n б.м. Следствие. n+n+…+n> б.м. если n , n ,… б.м. Определение. Произведением двух последовательностей xk>, yk> называется последовательность xkyk>. 3) б.м. на ограниченную является б.м. Следствие. Произведение конечного числа б.м. Является б.м.. 4) n> б.б., если n> б.м. n0 n> б.м., если n> б.б., n0 5)Ранее отмечалось, что существование конечного предела равносильно существованию б.м. n> такой, что . 6) xn>,yn> сходятся, то сходится xn+yn> и Следствие. Свойство 6) распространяется и на конечные суммы. Замечание. Свойство 6) нарушается, если хотя бы один из пределов равен 7) xn>,yn> сходятся, то сходится xnyn> и . Доказательство. Следствие 1.Если xn> сходятся, то сходится xn> и Следствие 2. xna 8) xna |xn||a| 9) xna, ynb, yn0, b0 Лемма. Если ynb, yn0, b0, то |1/yn| ограничена. Доказательство: , тогда для таким образом, Доказательство свойства 9) . Последовательность по лемме ограничена, последовательность — бесконечно малая.
Научный форум dxdy
Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».
Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.
Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.
Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.
Верхний и нижний пределы последовательности множеств
Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 19:50
Цитата:
Верхний предел последовательности множеств — множество, элементы которого принадлежат бесконечному числу множеств последовательности.
Нижний предел последовательности множеств — множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого).
Прошу вас помочь разобраться в определениях.
С нижним переделом вроде как понятно.
Верхний . рассуждаю так: бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или «подпоследовательность» или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.
Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? .
P.S. исхожу из того, что минимально возможная мощность «бесконечного» множества счётно.
Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 20:01
Rashitovich в сообщении #784160 писал(а):
или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.
То есть сама последовательность за вычетом конечного числа членов — не подпоследовательность? (:
Цитата:
Тогда я прихожу к определению нижнего предела. Это как? .
Я тоже не понял, объясните как вы из этого
Цитата:
Бесконечное число множеств последовательности как множество является счётным (как подмножество последовательности), т.е. это или «подпоследовательность» или же сама последовательность за вычетом конечного числа членов.
перешли к этому
Цитата:
Нижний предел последовательности множеств — множество, элементы которого принадлежат всем множествам последовательности, за исключением конечного их числа (= начиная с некоторого) .
Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
03.11.2013, 20:25
Заслуженный участник |
Пардон, каша какая-то.
Рассмотрите для начала . Какие у нее верхний и нижний предел?
Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 04:03
Заслуженный участник |
Rashitovich в сообщении #784200 писал(а):
верхний предел — это элементы из А или Б
нижний предел — это элементы Б
Тоже пардон, хотелось бы понять, что за вопрос задаёт ТС. Разумеется, . Вопрос-то в чём?
Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 11:38
Последний раз редактировалось Rashitovich 04.11.2013, 11:43, всего редактировалось 1 раз.
- Получается, определения и могут быть такими:
- — множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности ; поэтому может быть несколько.
- — множество, элементы которого принадлежат множествам из за исключением конечного их числа.
Это так? При этом истинно.
-
- ?
- К сожалению, не даёт мне представления об этих объектах.
P.S. да, действительно каша у меня какая-то в голове (читаю «Теория меры» Халмоша).
Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 12:19
Заслуженный участник |
Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):
- Получается, определения и могут быть такими:
- — множество, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности ; поэтому может быть несколько.
Последний вывод непонятен и неверен. — множество, каждый элемент которого принадлежит некоторой подпоследовательности множеств. Одно множество, а не несколько. По-русски: тогда и только тогда, когда для всякого найдётся такое, что .
З.Ы. Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.
Re: Верхний и нижний пределы последовательности множеств
04.11.2013, 14:45
Заслуженный участник |
Последний раз редактировалось ewert 04.11.2013, 14:47, всего редактировалось 1 раз.
—mS— в сообщении #784468 писал(а):
Ровно это и написано в формуле через объединение пересечений.
(только наоборот, естественно)
Не ровно. Формулировки выглядят совершенно по-разному, и их эквивалентность надо доказывать.
Rashitovich в сообщении #784450 писал(а):
, элементы которого принадлежат какой-либо подпоследовательности множеств исходной последовательности
Элемент не может принадлежать «подпоследовательности множеств». Но он может принадлежать пересечению всех множеств, входящих в подпоследовательность. Т.е. принадлежать каждому множеству из этой подпоследовательности. Так вот: существование такой подпоследовательности множеств для данного элемента равносильно тому, что этот элемент принадлежит для каждого . Т.е. равносильно его принадлежности