Какие строки в треугольнике паскаля состоят только из нечетных чисел
При каких значениях n все коэффициенты в разложении бинома Ньютона ( a + b ) n нечётны?
Решение
Назовём строку треугольника Паскаля хорошей, если в ней все числа, кроме крайних, чётны. Пусть n-я строка хорошая. Это значит, что
(x + 1) n = x n + 1 + 2f(x), где f(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Возведя это равенство в квадрат, убедимся, что (x + 1) 2n имеет тот же вид, то есть 2n-я строка тоже хорошая. Отсюда следует, что хороши все строки с номерами вида 2 k .
Пусть n = 2 k , то есть n-я строка хорошая. Тогда из построения треугольника Паскаля следует, что в предыдущей строке (с номером 2k – 1) все числа одной чётности, то есть все они нечётны. Кроме того, в n-й строке стоит группа из n – 1 чётных чисел подряд. Поэтому в (n+1)-й строке под ней образуется группа из n – 2 чётных чисел, в (n+2)-й – группа из n – 3 чётных чисел, …, в (2n–2)-й – одно чётное число (в середине). Таким образом, во всех строках с номерами от 2 k + 1 до 2 k – 2 чётные числа есть.
Ответ
Замечания
См. также задачу 32881.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Комбинаторика |
| Тема | Комбинаторика |
| параграф | |
| Номер | 3 |
| Название | Размещения, перестановки и сочетания |
| Тема | Классическая комбинаторика |
| задача | |
| Номер | 02.077 |
Проект осуществляется при поддержке и .
математика — Треугольник Паскаля.
1)В каких строках треугольника Паскаля все числа нечетные(сформулировать и доказать). 2)Какие строки треугольника Паскаля состоят целиком (не считая краев) из четных чисел?(сформулировать и доказать) 3)Какие строки треугольника Паскаля состоят целиком (не считая краев) из чисел, делящихся на 3?(сформулировать и доказать)
задан 3 Мар ’17 18:46
(3 Мар ’17 18:58) knop
Здравствуйте
Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
задан
3 Мар ’17 18:46
показан
1410 раз
обновлен
3 Мар ’17 18:58
Какие строки в треугольнике паскаля состоят только из нечетных чисел
Руководитель Евгений Александрович Асташов
2014/2015 учебный год
Занятие 7. Треугольник Паскаля
- в вершине и вдоль боковых сторон стоят единицы;
- в каждой следующей строке на одно число больше, чем в предыдущей;
- каждое число, кроме уже написанных единиц, равно сумме двух чисел, стоящих в предыдущей строке чуть левее и чуть правее.
1. Выпишите треугольник Паскаля до десятой строки включительно (первой считаем строку, состоящую из двух единиц). 2. Сколько чисел в 2014–й строке треугольника Паскаля? 3. Докажите, что в каждой строке треугольника Паскаля числа до середины идут по возрастанию, а от середины — по убыванию.
(Подсказка: докажите, что если это верно для строки с номером n , то это верно и для строки с номером n + 1.) 4. a) Встречается ли в треугольнике Паскаля число 2014? б) Сколько раз в треугольнике Паскаля встречается число 10? в) Приведите пример натурального числа, большего единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля больше четырёх раз. 5. a) Во сколько раз сумма чисел в шестой строке треугольника Паскаля больше суммы чисел в его пятой строке? б) Тот же вопрос про 2014-ю и 2015-ю строки. 6 a) Поставим знаки «+» и «−» между числами в 99–й строке треугольника Паскаля. Между первым и вторым числом поставим знак «−», между вторым и третьим «+», между третьим и четвёртым «−», потом опять «+», и так далее. Докажите, что значение полученного выражения равно нулю. б) То же верно и для 100–й строки. Докажите! 7 Сколькими способами, двигаясь по таблице (см. рисунок ниже) от буквы к букве, можно прочитать слово МЕХМАТ? От каждой буквы можно переходить только к букве, стоящей в следующей строке чуть правее или чуть левее.
М Е Е Х Х Х М М М М А А А А А Т Т Т Т Т Т
8 Чему равна сумма чисел, стоящих: a) в третьей строке; б) в четвёртой строке; в) в седьмой строке; г) в n -й строке треугольника Паскаля? 9 Будем двигаться по треугольнику Паскаля по тем же правилам, что в задаче 7. Докажите, что количество способов дойти по таким правилам от самой верхней единицы до любого числа n в треугольнике Паскаля в точности равно n . 10 a) Какие строки треугольника Паскаля состоят целиком из чётных чисел (не считая единиц в начале и конце строки)? б) А какие целиком из нечётных чисел?
- ЗАДАЧИ
- 8 класс
- Письменная работа
- Математика вокруг нас
- Просто о простых
- НОД и НОК
- Алгоритм Евклида
- Игра ‘+5 -2’
- Сумма углов треугольника
- Треугольник Паскаля
- Биномиальные коэффициенты
- История про футболки и сочетания
- От противного
- Средняя линия треугольника
- Математическая драка
- Формулы сокращённого умножения
- Неравенство о среднем
- Мини-повторение
- Построение отрезков
- ММО-1
- ММО-2 (геометрия)
- Равные площади
- Цэ-шесть
- По шагам
| Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter! | |
Глава 10. Треугольник Паскаля
Построение и некоторые свойства треугольника Паскаля
В верхней строчке треугольника располагается одинокая единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей этажом выше — слева и справа. Если какой-то из соседей отсутствует, он считается равным нулю. Треугольник бесконечно простирается вниз; мы приводим лишь восемь верхних строчек: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …
Обозначим буквой n номер строки треугольника, а буквой k — номер числа в строке (нумерация начинается в обоих случаях с нуля). Чаще всего число в n -ой строке и на k -ом месте в этой строке обозначается C n k , реже — n k .
Назовём лишь некоторые факты, относящиеся к треугольнику Паскаля.
Числа в n -ой строке треугольника являются биномиальными коэффициентами, то есть коэффициентами в разложении n -ой степени бинома Ньютона: a + b n = ∑ k = 0 n C n k a k b n − k .
Сумма всех чисел в n -ой строке равна n -ой степени двойки: ∑ k = 0 n C n k = 2 n . Эта формула получается из формулы бинома, если положить a = b = 1 .
Можно доказать явную формулу для вычисления биномиального коэффициента: C n k = n ! k ! n − k ! .
Треугольник Паскаля и числа Фибоначчи
Треугольники Паскаля и Серпинского
Если раскрасить нечётные числа в треугольнике Паскаля в один цвет, а чётные — в другой, получится такая картина (на рисунке 10.1. «Треугольник Паскаля — Серпинского» указанным образом раскрашены числа в первых 128 строчках):
Рисунок 10.1. Треугольник Паскаля — Серпинского
Похожее изображение можно построить следующим образом. В закрашенном треугольнике перекрасим в другой цвет его серединный треугольник (образованный серединами сторон исходного). Три маленьких треугольника, расположенные по углам большого, останутся закрашенными в прежний цвет. Поступим с каждым из них точно так же, как мы поступили с большим, то есть перекрасим в каждом серединный треугольник. То же самое сделаем с оставшимися треугольниками старого цвета. Если эту процедуру проделывать до бесконечности, на месте исходного треугольника останется двухцветная фигура. Та её часть, которая не перекрашена, называется треугольником Серпинского. Несколько первых этапов построения треугольника Серпинского показаны на рисунке 10.2. «Построение треугольника Серпинского».
Рисунок 10.2. Построение треугольника Серпинского
Треугольник Паскаля и простые числа
О таинственной связи треугольника Паскаля с простыми числами мы вычитали в книге [9] в небольшой заметке Ю. Матиясевича . Заменим в треугольнике Паскаля числа на их остатки от деления на номер строки. Расположим строки в полученном треугольнике таким образом, чтобы следующая строка начиналась на две колонки правее начала предыдущей (см. рисунок 10.3. «Связь треугольника Паскаля с простыми числами»). Тогда столбцы с простыми номерами будут состоять из одних нулей, а в столбцах, чьи номера составные, найдётся ненулевое число.
Рисунок 10.3. Связь треугольника Паскаля с простыми числами
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 3 2 3 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 4 0 6 0 4 0 1 1 0 0 3 0 0 3 0 0 1 1 0 5 0 0 2 0 0 5 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 6 4 3 0 0 0 3 4 6 0 1 …
| Готовая программа | Постановка задачи |