Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1
Задание 19. Четыре натуральных числа a, b, c и d таковы, что .
а) Могут ли все эти числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 7?
в) Найдите все возможные наборы таких чисел, среди которых есть равные.
а) Да, могут. Возьмем в качестве первых трех чисел a, b, c числа 2, 3, 7 и вычислим последнее значение d:
получаем различные числа 2, 3, 7 и 42.
б) Предположим, что число . Величины и возьмем по порядку, например, 2 и 3, получим:
откуда следует, что
Таким образом, числа 7, 2, 3, 42 дают искомое равенство.
в) Пусть два каких-либо значения равно , для остальных двух получим:
Найдем величины при , получим
Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1
Четыре натуральных числа таковы, что квадрат суммы любых двух из них делится на произведение двух оставшихся.
Докажите, что по крайней мере три из этих чисел равны между собой.
Решение
Набор натуральных чисел, удовлетворяющий условию задачи, условимся называть хорошим. Ясно, что если (a, b, c, d) – хороший набор, то и
( a /k, b /k, c /k, d /k) – тоже хороший набор, где k = НОД(a, b, c, d). Поэтому в дальнейшем считаем, что НОД(a, b, c, d) = 1. (1)
Пусть одно из данных чисел, например a, имеет нечётный простой делитель p. Тогда суммы b + c, c + d, b + d и, следовательно, сами числа b, c и d делятся на p (ибо, например, 2d = (b + d) + (c + d) – (b + c)), что противоречит условию (1). Значит, числа a, b, c, d – степени двойки. Упорядочив данные числа в порядке возрастания, получим a = 2 m , b = 2 n , c = 2 r , d = 2 s , где 0 = m ≤ n ≤ r ≤ s, r ≥ 1 (иначе m = n = r = 0, значит, a = b = c). Но тогда число (a + c)² = (1 + 2 r )² нечётно и не может делиться на чётное число bd. Противоречие.
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Всероссийская олимпиада по математике |
| год | |
| Год | 1999 |
| Этап | |
| Вариант | 5 |
| Класс | |
| Класс | 11 |
| задача | |
| Номер | 99.5.11.5 |
Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1
Задание 19. Четыре натуральных числа таковы, что .
а) Могут ли все числа быть попарно различны?
б) Может ли одно из этих чисел равняться 9?
в) Найдите все возможные наборы чисел, среди которых ровно два числа равны.
а) Да, могут. Предположим, что , , получим
и пусть , тогда . Получили попарно равные числа (3,3,6,6).
б) Предположим, что , тогда методом подбора можно найти остальные числа , и
в) Пусть два каких-либо значения равно , для остальных двух получим:
Найдем величины при , получим
Четыре натуральных числа a b c d таковы что 1 a 1 b 1 c 1 d 1
Натуральные числа а, b, c и d таковы, что ab = cd . Может ли число a + b + c + d оказаться простым?
Решение
Первый способ. a + b + c + d = a + b + c + = = = .
Полученное число – натуральное, при этом а + с > c и b + c > c . Следовательно, при сокращении дроби получится произведение двух множителей, отличных от 1, то есть составное число.
Второй способ. Согласно задаче 98256 найдутся такие натуральные u, v, w, z , что a = uv, b = wz, c = uw, d = vz . Тогда
a + b + c + d = uv + wz + uw + vz = ( u + z )( v + w ). Оба множителя больше единицы, значит, число a + b + c + d – составное.
Ответ
Замечания
Источники и прецеденты использования
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 58 |
| Год | 1995 |
| вариант | |
| Класс | 9 |
| задача | |
| Номер | 4 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Номер | 16 |
| Дата | 1994/1995 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 8-9 класс |
| Задача | |
| Номер | 4 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая регата |
| год | |
| Год | 2011/12 |
| класс | |
| Класс | 7 |
| задача | |
| Номер | 7.4.3 |
Проект осуществляется при поддержке и .