формул Крамера
Рассмотрим неоднородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:
Теорема (теорема Крамера). Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля ( ), то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
, где — главный определитель, — j -й вспомогательный определитель, который получен из определителя заменой j -го столбца столбцом свободных членов.
Если главный определитель равен нулю и хотя бы один их вспомогательных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет.
Если главный определитель и все вспомогательные определители равны нулю, то система имеет бесконечно много решений.
Что делать если определитель матрицы равен 0
Многие свойства определителей основаны на соответствующих свойствах перестановок и транспозиций.
Применение свойств определителей позволяет значительно упростить процедуру их вычисления.
.
Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число: 
Пусть A и B – квадратные матрицы одного и того же порядка. Тогда определитель произведения матриц равен произведению определителей:
Что делать если определитель матрицы равен 0
Свойство 1 . Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы: .
Доказательство. Согласно определению,
(1)
Свойство 2 . Умножение всех элементов строки или столбца определителя на некоторое число λ равносильно умножееию определителя на это число:
.
Свойство 3 . Если в определителе переставить местами любые две строки или два столбца, то определитель изменяет свой знак на противоположный.
Свойство 4 . Если матрица содержит нулевую строку (столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.
Свойство 5 . Если две строки (столбца) матрицы равны между собой, то определитель этой матрицы равен нулю.
Свойство 6 . Если две строки (столбца) матрицы пропорциональны друг другу, то определитель этой матрицы равен нулю.
Свойство 7 . Определитель матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
.
Свойство 8 . Если все элементы k-ой строки (столбца) определителя представлены в виде сумм ak j + bk j, то определитель можно представить в виде суммы соответствующих определителей:
.
Доказательство. Преобразуем исходный определитель:
.
Свойство 9 . Определитель не изменится, если к элементам любой его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или соответствующего столбца), умноженные на одно и тоже число.
Доказательство. Определитель, стоящий в правой части этого равенства, можно представить в виде суммы двух определителей, один из которых является исходным, а второй имеет две пропорциональные друг другу строки и, следовательно, равен нулю.
Что делать если определитель матрицы равен 0
Рассмотрим матрицу \(A\) типа \((m,n)\). Пусть, для определенности, \(m \leq n\). Возьмем \(m\) строк и выберем \(m\) столбцов матрицы \(A\), на пересечении этих строк и столбцов получится квадратная матрица порядка \(m\), определитель которой называют минором порядка \(m\) матрицы \(A\). Если этот минор отличен от 0, его называют базисным минором и говорят, что ранг матрицы \(A\) равен \(m\). Если же этот определитель равен 0, то выбирают другие \(m\) столбцов, на их пересечении стоят элементы, образующие другой минор порядка \(m\). Если минор равен 0, продолжаем процедуру. Если среди всех возможных миноров порядка \(m\) нет отличных от нуля, мы выбираем \(m-1\) cтрок и столбцов из матрицы \(A\), на их пересечении возникает квадратная матрица порядка \(m-1\), ее определитель называется минором порядка \(m-1\) исходной матрицы. Продолжая процедуру, ищем ненулевой минор, перебирая все возможные миноры, понижая их порядок.
Ненулевой минор данной матрицы наивысшего порядка называется базисным минором исходной матрицы, его порядок называется рангом матрицы \(A\), строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называются базисныи строками и столбцами. Ранг матрицы обозначается \(rang(A)\).
Из этого определения следуют простые свойства ранга матрицы: это целое число, причем ранг ненулевой матрицы удовлетворяет неравенствам: \(1 \leq rang(A) \leq \min(m,n)\).
Как изменится ранг матрицы, если вычеркнуть какую-нибудь строку? Добавить какую-нибудь строку?
Проверить ответ
1) Ранг может уменьшиться на 1.
2) Ранг может увеличиться на 1.
Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы
Пусть \(A\) — матрица типа \((m,n)\). Рассмотрим столбцы матрицы \(A\) — это столбцы из \(m\) чисел каждый. Обозначим их \(A_1,A_2. A_n\). Пусть \(c_1,c_2. c_n\) — какие-то числа.
Столбец \[ D=c_1A_1+c_2A_2+. +c_nA_n = \sum _^nc_mA_m \] называется линейной комбинацией столбцов \(A_1,A_2. A_n\), числа \(c_1,c_2. c_n\) называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Пусть дано \(p\) столбцов \(A_1, A_2, . A_p\). Если существуют такие числа \(c_1,c_2. c_p\), что
1. не все эти числа равны нулю,
2. линейная комбинация \(c_1A_1+c_2A_2+. +c_pA_p =\sum _^pc_mA_m\) равна нулевому столбцу (т.е. столбцу, все элементы которого нули), то говорят, что столбцы \(A_1, A_2, . A_p\) линейно зависимы. Если для данного набора столбцов таких чисел \(c_1,c_2. c_n\) не существует, столбцы называются линейно независимыми.
\[ A_1=\left( \begin 1 \\ 0 \end \right), A_2=\left( \begin 0 \\ 1 \end \right), \] тогда для любых чисел \(c_1,c_2\) имеем: \[ c_1A_1+c_2A_2=c_1\left( \begin 1 \\ 0 \end \right)+c_2\left( \begin 0 \\ 1 \end \right)=\left( \begin c_1 \\ c_2 \end \right). \]
Эта линейная комбинация равна нулевому столбцу тогда и только тогда, когда оба числа \(c_1,c_2\) равны нулю. Таким образом, эти столбцы линейно независимы.
Для того, чтобы столбцы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.
Пусть столбцы \(A_1,A_2. A_m\) линейно зависимы, т.е. для некоторых констант \(\lambda _1, \lambda _2. \lambda _m\), не все из которых равны 0, выполняется: \[ \sum _
Теорема о базисном миноре
Для любой ненулевой матрицы \(A\) справедливо следующее:
1. Базисные столбцы линейно независимы.
2. Любой столбец матрицы является линейной комбинацией его базисных столбцов.
(Аналогичное верно и для строк).
Пусть, для определенности, \((m,n)\) — тип матрицы \(A\), \(rang(A)=r \leq n\) и базисный минор расположен в первых \(r\) строках и столбцах матрицы \(A\). Пусть \(s\) — любое число между 1 и \(m\), \(k\) — любое число между 1 и \(n\). Рассмотрим минор следующего вида: \[ D=\left| \begin a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ \dots &\ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ a_ & a_ & \ldots & a_ & a_ \\ \end \right| , \] т.е. мы к базисному минору приписали \(s-\)ый столбец и \(k-\)ую строку. По определению ранга матрицы этот определитель равен нулю (если мы выбрали \(s\leq r\) или \(k \leq r\) , значит в этом миноре 2 одинаковых столбца или 2 одинаковых строки, если \(s>r\) и \(k>r\) — по определению ранга минор размера больше \(r\) обращается в ноль). Разложим этот определитель по последней строке, получим: \[ a_A_+a_A_+. +a_A_+a_A_=0. \quad \quad(16) \]
Здесь числа \(A_\) — алгебраические дополнения элементов из нижней строки \(D\). Их величины не зависят от \(k\), т.к. образуются с помощью элементов из первых \(r\) строк. При этом величина \(A_\) — это базисный минор, отличный от 0. Обозначим \(A_=c_1,A_=c_2. A_=c_s \neq 0\). Перепишем в новых обозначениях (16): \[ c_1a_+c_2a_+. +c_ra_+c_sa_=0, \] или, разделив на \(c_s\), \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \quad \lambda _p=-c_p/c_s. \] Это равенство справедливо для любого значения \(k\), так что \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \] \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_, \] \[ . \] \[ a_=\lambda_1a_+\lambda_2a_+. +\lambda_ra_. \] Итак, \(s-\)ый столбец является линейной комбинацией первых \(r\) столбцов. Теорема доказана.
Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы равен числу ее линейно независимых столбцов (которое равно числу линейно независимых строк).
Если определитель равен нулю, то у него есть столбец, который является линейной комбинацией остальных столбцов.
Если ранг матрицы меньше числа столбцов, то столбцы матрицы линейно зависимы.
Вычисление ранга матрицы и нахождение базисного минора
Некоторые преобразования матрицы не меняют ее ранг. Такие преобразования можно назвать элементарными. Соответствующие факты нетрудно проверить с помощью свойств определителей и определения ранга матрицы.
1. Перестановка столбцов.
2. Умножение элементов какого-нибудь столбца на ненулевой множитель.
3. Прибавление к столбцу любого другого столбца, умноженного на произвольное число.
4. Вычеркивание нулевого столбца.
Аналогичное верно и для строк.
С помощью этих преобразований матрицу можно преобразовать к так называемой «трапециевидной» форме — матрице, под главной диагональю которой располагаются только нули. Для «трапециевидной» матрицы ранг — это число ненулевых элементов на главной диагонали, и базисный минор — минор, диагональ которого совпадает с набором ненулевых элементов на главной диагонали преобразованной матрицы.
\[ A=\left( \begin 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right). \] Будем преобразовывать ее с помощью указанных выше преобразований. \[ A=\left( \begin 2 &1 & 11 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right) \mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 2 & 1 & 11 & 2 \\ 11 & 4 & 56 & 5 \\ 2 & -1 & 5 & -6 \end \right) \mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 12 & 16 \\ 0 & -1 & -3 & -4 \end \right) \mapsto \] \[ \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end \right)\mapsto \left( \begin 1 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \end\right). \]
Здесь мы последовательно делаем следующие шаги: 1) переставляем вторую строку наверх, 2) вычитаем первую строку из остальных с подходящим множителем, 3) вычитаем вторую строку из третьей 4 раза, прибавляем вторую строку к четвертой, 4) вычеркиваем нулевые строки — третью и четвертую. Наша итоговая матрица прибрела желаемую форму: на главной диагонали стоят ненулевые числа, под главной диагональю — нули. После этого процедура останавливается и число ненулевых элементов на главной диагонали равно рангу матрицы. Базисный минор при этом — две первые строки и два первых столбца. На их пересечении стоит матрица порядка 2 с ненулевым определителем. При этом, возвращаясь по цепочке преобразований в обратную сторону, можно проследить, откуда возникла та или иная строка (тот или иной столбец) в конечной матрице, т.е. определить базисные строки и столбцы в исходной матрице. В данном случае первые две строки и первые два столбца образуют базисный минор.
Пусть \(A\) — матрица типа \((m,n)\) ранга \(r_1\), \(B\) — матрица типа \((p,n)\) ранга \(r_2\). Объединим их строки — получим матрицу \(C\). Можно ли дать двустороннюю оценку ранга матрицы \(C\)?
Проверить ответ
\(max(r_1, r_2) \leq rang(C) \leq \min(n, r_1 + r_2)\)
1. Вычислить ранг матрицы
а) \[ \left( \begin 1 &2 &1 & 1 \\ 2& 4 & 2 & 2\\ 3 & 6& 3& 5 \end \right) . \]
б) \[ \left( \begin 1 &7 &7 & 9 \\ 7& 5 & 1 & -1\\ 4 & 2& -1& -3 \\ -1 & 1 & 3 &5 \end \right) . \]
в) \[ \left( \begin 2 & 1 &11 & 2 \\ 1& 0 & 4 & -1\\ 11 & 4& 56& 5 \\ 2 & -1 & 5 &- 6 \end \right) . \]
г) \[ \left( \begin 5 & 4 & 1 & 3 \\ 2& 1 & 1 & 4\\ 3 & 2& 1& 1 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \end \right) . \]
2. Доказать равенство \(rang(A)=rang(A^T)\).
3. Пусть \(A\) и \(B\) — матрицы с одинаковым числом строк. Доказать, что \[ rang\left( \begin A & B\\ 2A & 3B \end \right)=rang(A)+rang(B). \]