1. Арксинус и уравнение sin x = a
Что же такое arcsin a ? Арксинус в переводе с латинского означает «дуга и синус». Это обратная функция.
Если a ≤ 1 , то arcsin a (арксинус a ) — это такое число из отрезка − π 2 ; π 2 , синус которого равен a .
Говоря иначе:
arcsin a = x ⇒ sin x = a , a ≤ 1, x ∈ − π 2 ; π 2 .
Рассмотрим данную теорию на примере.
найти arcsin 1 2 .
Выражение arcsin 1 2 показывает, что синус угла x равен 1 2 , т. е. sin x = 1 2 .
Далее просто находим точку этого синуса на числовой окружности, что и является ответом:
точка 1 2 , находящаяся на оси y , соответствует точке π 6 на числовой окружности.
Значит, arcsin 1 2 = π 6 .
Обрати внимание!
Если sin π 6 = 1 2 , то arcsin 1 2 = π 6 .
В первом случае по точке на числовой окружности находим значение синуса, а во втором — наоборот, по значению синуса находим точку на числовой окружности. Движение в обратную сторону. Это и есть арксинус.
2. Формулы двойного аргумента (профильный уровень)
Выражения \(sin\)\(2x\), \(cos\)\(2x\), \(tg\)\(2x\) можно выразить через \(sin\)\(x\), \(cos\)\(x\), \( tg\)\( x\). Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента .
Задано выражение \(sin\)\(2x\). Представим аргумент \(2x\) в виде суммы \(x+x\). Тогда можно воспользоваться формулой синуса суммы для выражения \(sin(x+x)\):
sin 2 x = sin ( x + x ) = sin x ⋅ cos x + cos x ⋅ sin x = 2 sin x ⋅ cos x .
Задано выражение \(cos\)\(2x\). Представим аргумент \(2x\) в виде суммы \(x+x\). Таким образом, можно использовать формулу косинуса суммы двух аргументов:
cos 2 x = cos ( x + x ) = cos x ⋅ cos x − sin x ⋅ sin x = cos 2 x − sin 2 x .
Дано выражение \(tg\)\(2x\). Представим аргумент \(2x\) в виде суммы \(x+x\). Тогда можно воспользоваться формулой «тангенс суммы» для выражения \(tg(x+x)\):
tg 2 x = tg ( x + x ) = tg x + tg x 1 − tg x ⋅ tg x = 2 tg x 1 − tg 2 x .
Обрати внимание!
Формулы двойного аргумента синуса и косинуса выполняются для любых значений аргумента. Однако, формула тангенса двойного аргумента выполняется только при \(x\), для которых определены \(tg\)\(x\), \(tg\)\(2x\), а также не равен нулю знаменатель дроби, т. е. 1 − tg 2 x ≠ 0 .
Производная синуса: (sin x)′
Представлено доказательство и вывод формулы для производной синуса — sin(x). Примеры вычисления производных от sin 2x, синуса в квадрате и кубе. Вывод формулы для производной синуса n-го порядка.
Производная по переменной x от синуса x равна косинусу x:
( sin x )′ = cos x .
Доказательство
Для вывода формулы производной синуса, мы воспользуемся определением производной:
.
Чтобы найти этот предел, нам нужно преобразовать выражение таким образом, чтобы свести его к известным законам, свойствам и правилам. Для этого нам нужно знать четыре свойства.
1) Значение первого замечательного предела:
(1) ;
2) Непрерывность функции косинус:
(2) ;
3) Тригонометрические формулы. Нам понадобится следующая формула:
(3) ;
4) Арифметические свойства предела функции:
Если и , то
(4) .
Применяем эти правила к нашему пределу. Сначала преобразуем алгебраическое выражение
.
Для этого применим формулу
(3) .
В нашем случае
; . Тогда
;
;
;
.
Теперь сделаем подстановку . При , . Применим первый замечательный предел (1):
.
Сделаем такую же подстановку и используем свойство непрерывности (2):
.
Поскольку пределы, вычисленные выше, существуют, то применяем свойство (4):
.
Формула производной синуса доказана.
Примеры
Рассмотрим простые примеры нахождения производных от функций, содержащих синус. Мы найдем производные от следующих функций:
y = sin 2x , y = sin 2 x и y = sin 3 x .
Пример 1
Найти производную от sin 2x.
Сначала найдем производную от самой простой части:
( 2x )′ = 2( x )′ = 2 · 1 = 2.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
( sin 2x )′ = 2 cos 2x.
Пример 2
Найти производную от синуса в квадрате:
y = sin 2 x .
Перепишем исходную функцию в более понятном виде:
.
Найдем производную от самой простой части:
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь .
Можно применить одну из формул тригонометрии. Тогда
.
Пример 3
Найти производную от синуса в кубе:
y = sin 3 x .
Производные высших порядков
Заметим, что производную от sin x первого порядка можно выразить через синус следующим образом:
.
Найдем производную второго порядка, используя формулу производной сложной функции:
.
Здесь .
Теперь мы можем заметить, что дифференцирование sin x приводит к увеличению его аргумента на . Тогда производная n-го порядка имеет вид:
(5) .
Докажем это, применяя метод математической индукции.
Мы уже проверили, что при , формула (5) справедлива.
Предположим, что формула (5) справедлива при некотором значении . Докажем, что из этого следует, что формула (5) выполняется для .
Выпишем формулу (5) при :
.
Дифференцируем это уравнение, применяя правило дифференцирования сложной функции:
.
Здесь .
Итак, мы нашли:
.
Если подставить , то эта формула примет вид (5).
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 04-03-2017
Как выразить икс из синуса
Формулы двойного аргумента (двойного угла)
Выражения sin 2x, cos 2x, tg 2x можно выразить через sin x, cos x, tg x. Эти преобразующие формулы называются формулами двойного аргумента (или двойного угла).
Логику преобразования можно понять на примере выражения sin 2x.
Представим это выражение в виде sin (x + x).
Тогда мы легко можем применить формулу синуса суммы аргументов:
sin (x + x) = sin x cos x + cos x sin x = 2 sin x cos x.
Мы получили первую из формул двойного аргумента. А вот все формулы:
cos 2x = 1 – 2 sin 2 x
В первых строках мы показали, как была получена первая формула из таблицы. Вычислим остальные три.
Здесь так же представляем 2х в виде х + х и применяем формулу косинуса сложения аргументов:
cos 2x = cos (x + x) = cos x cos x – sin x sin x = cos 2 x – sin 2 x.
3) cos 2x = 1 – 2 sin 2 x.
Здесь мы просто продолжим преобразовывать предыдущую формулу.
Используем для этого основное тригонометрическое тождество cos 2 x + sin 2 x = 1.
Из этого тождества следует, что cos 2 x = 1 – sin 2 x. Итак, выпишем предыдущую формулу, вставим значение cos 2 x, сведем подобные члены и получим результат:
cos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – sin 2 x – sin 2 x = 1 – 2sin 2 x.
Способов, как прийти к такому тождеству, два.
Первый способ . Здесь нам поможет формула тангенса сложения аргументов. Для этого представим tg 2x в виде tg (x + х). Итак:
tg х + tg х 2 tg х
tg 2x = tg (x + х) = —————— = —————
1 – tg х tg х 1 – tg 2 х
Второй способ . Он сложнее. Сначала применяем формулы синуса и косинуса сложения аргументов:
Теперь, чтобы упростить выражение, делим все его части на cos x cos х, сокращаем подобные члены и приходим к решению:
При решении конкретных задач важно помнить, что задача имеет смысл лишь в том случае, если в процессе решения знаменатели нигде не оказываются равны нулю.
Теперь для наглядности решим несколько примеров по теме.
Пример 1 . Упростить выражение:
sin 2α 2 sin α cos α
——— = —————— = 2 cos α
sin α sin α
Пример 2 . Пусть tg α = 3/4 и 180º < α < 270º.
В первую очередь, отмечаем, что угол находится в третьей четверти. Значит, синус будет со знаком минус.
1
1) Значение синуса мы могли бы найти через формулу 1 + ctg 2 α = ———.
sin 2 α
Значит, нам надо сначала вычислить значение котангенса. Мы знаем, что tg α · ctg α = 1. Следовательно:
1 1 4
ctg α = —— = —— = ——
tg α 3/4 3
2) Теперь находим значение синуса:
1 1 1 1 9
sin 2 α = ————— = ————— = ———— = —— = ——
1 + ctg 2 α 1 + (4/3) 2 1 + 16/9 25/9 25
3) Мы знаем, что sin 2α = 2 sin α cos α. Значит, находим еще косинус (по формуле cos 2 α + sin 2 α = 1). При этом опять не забываем, что угол – в третьей четверти и косинус должен быть со знаком минус. Итак:
9 16
cos 2 α = 1 – sin 2 α = 1 – —— = ——
25 25
4) Осталось применить формулу двойного угла:
3 4 2 · 3 · 4 24
sin 2α = 2 · (– ——) · (– ——) = ———— = —— = 0,96.
5 5 5 · 5 25
Пример 3 : Вычислить
π π
cos 2 — – sin 2 —
8 8
Это выражение соответствует правой части формулы косинуса двойного
аргумента (cos 2x = cos 2 x – sin 2 x). Значит, просто приравняем его к левой части. Для этого замечаем, что
Остается ввести в формулу это значение х и решить уравнение:
π π π 2π π √2
cos 2 —— – sin 2 —— = cos 2 ∙ —— = cos —— = cos —— = —— .
8 8 8 8 4 2