какое из следующих неравенств не следует из неравенства c>b-a1) a+c>b2) -a04)a-b+c>0
Требуется найти из приведённых неравенств те, которые не следуют из неравенства (1). Для этого преобразуем каждое из следующих неравенств относительно с.
1) a + c > b; c > b — а. Данное неравенство следует из неравенства (1).
c > a — b; но если умножить (a — b) на (-1), то получим
3) b — a — c > 0; b — a > с. c > b — а- следует.
4)a — b + c > 0, c > b — a — следует.
Неравенства для строго положительно определённых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»
ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ФУНКЦИИ / ТЕОРЕМА БОХТТЕРА / НЕРАВЕНСТВО М.Г. КРЕЙТТА / ГАУССИАТТ / ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ СДВИГИ / POSITIVE DEFINITE FUNCTIONS / BOCHNER»S THEOREM / M.G.KREIN»S INEQUALITY / GAUSSIAN / INTEGER SHIFTS
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Певный А.Б., Ситник С.М.
При исследовании математических моделей задачи обычно сводятся к конечномерным, для которых возникает необходимость обоснования их корректности, и, в частности, установлению однозначной разрешимости линейных систем с матрицами коэффициентов специального вида. В работе для решения этой задачи вводится класс вещественных положительно определённых функций и доказываются неравенства для них. Рассматривается приложение техники положительно определённых функций к доказательству однозначной разрешимости конечномерных моделей, возникающих при разложении сигналов по целочисленным сдвигам гауссианов.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Певный А.Б., Ситник С.М.
Строго положительно определённые функции, неравенства М. Г. Крейна и Е. А. Горина
Компьютерный анализ математической модели разложения цифровых сигналов по целочисленным сдвигам функции Гаусса
Метод конечномерных приближений в задачах квадратичной экспоненциальной интерполяции
Метод функций Грина в математических моделях для двухточечных краевых задач
Вычислительные аспекты метода квадратичной экспоненциальной интерполяции в задачах теории сигналов
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
On studying mathematical models problems are usually reduced to finite dimensional ones and it is necessary to prove their correctness, specially, to establish uniqueness and existence of solutions of linear systems with special matrices. In the paper to solve such problems, it is a class of strictly positive definite functions and some important inequalities are proved for them. Some applications of this functional class are proposed for proving correctness of models in the problem of signal approximations by integer shifts of Gaussians.
Текст научной работы на тему «Неравенства для строго положительно определённых функций»
106 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СТРОГО ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЁННЫХ ФУНКЦИЙ
А.Б. Певный, С.М. Ситник
Сыктывкарский государственный университет,
Октябрьский пр., 55, Сыктывкар, респ. Коми, 167001, Россия, e-mail: pevnyi@syktsu.ru
Воронежский институт МВД России, пр. Патриотов, 53, Воронеж, 394065, Россия, e-mail: mathsms@yandex.ru
Аннотация. При исследовании математических моделей задачи обычно сводятся к конечномерным, для которых возникает необходимость обоснования их корректности, и, в частности, установлению однозначной разрешимости линейных систем с матрицами коэффициентов специального вида. В работе для решения этой задачи вводится класс вещественных положительно определённых функций и доказываются неравенства для них. Рассматривается приложение техники положительно определённых функций к доказательству однозначной разрешимости конечномерных моделей, возникающих при разложении сигналов по целочисленным сдвигам гауссианов.
Ключевые слова: положительно определённые функции, теорема Бохнера, неравенство М.Г. Крейна, гауссиан, целочисленные сдвиги.
1. Вещественные положительно определённые функции и неравенства
для них. Теория положительно определённых функций (п.о.ф.) возникла в начале 20 века на стыке нескольких разделов математики: линейной алгебры, теории функций, преобразования и рядов Фурье, интегральных и дифференциальных уравнений, теории групп. Из литературы по п.о.ф. отметим одну из первых оригинальных работ [1], содержащую по существу все современные определения, обзоры [2-3], из монографий особенно выделим очень качественно написанную книгу [4], а также [5-7]. В настоящей работе вводится понятие вещественной положительно определённой функции (в.п.о.ф.), определение для которых отличается от классического использованием только вещественных, а не комплексных последовательностей. Для этого класса функций доказываются варианты известных неравенств М.Г. Крейна и Е.А. Горина. В качестве приложения рассматривается доказательство однозначной разрешимости конечномерной линейной системы, возникающей в задаче о разложении сигнала по целочисленным сдвигам гауссианов [8].
Отметим, что для авторов инициирующей послужила статья Е.А. Горина [9].
Будем рассматривать действительные функции от действительного аргумента на всей оси f (x) : R ^ R. Дадим два определения для положительно определённых функций: вещественной положительно определённой функции (в.п.о.ф.) и классическое определение положительно определённой функции (п.о.ф.) и установим их эквивалентность.
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 107
Определение 1. Функция f : R ^ R называется вещественной положителвно определённой функцией (в.п.о.ф.), если выполнены два условия:
1) функция f чётная, f (-x) = f (x) , x E R;
2) для любого N, для любых точек x\. ,xN E R н любой вещественной носледо-вателвности ai. ,aN E R выполнено неравенство
У f (xk — xj) akaj > 0 . (1)
Определение 2 (классическое). Функция f : R ^ R называется положителвно определённой функцией (п.о.ф.), если для любого N, любых xi>.. .xN E R и любой последовательности комплексных чисел z\. ,zN E C выполнено неравенство
У f (xk — xj) ZkZj > 0. (2)
Покажем, что для вещественной функции f (x) определения 1 и 2 равносильны.
Установим, что 1 =^ 2. Пусть zk = £k + ipk. Тогда сумма S’ в (2) в силу чётности
S = У f (xk — xj) (£k£j + nkVj)
и нужное неравенство S > 0 следует из (1).
Теперь покажем, что 2 =^ 1. только чётность f (x) Для этого
положим в (2) N = 2, xi = 0, x2 = x > 0, zk = £k + ink. Тогда сумма S в (2) равна
S = f (0) (|zi|2 + |z212) + f (-x) zz + f (x)z2zi .
Отсюда получаем для произвольных чисел Д, £2 , ni,V2
Im S = (ni£2 — £iV2) [f (-x) — f (x)] = 0 ,
Следовательно, f (-x) = f (x).
Будем рассматривать вещественные строго п.о.ф., для которых неравенство (1) выполняется со знаком «строго больше», если последовательность ai>. aN ненулевая и точки xi>. ,xN попарно различны.
Рассмотрим некоторые свойства вещественных строго положительно определённых функций.
Ai = f (xi — xi) = f (0) > 0
108 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
f (0) f (x1 — Х2) f (x2 — xl) f (0)
Отсюда получаем важное свойство
f 2 (0) — f 2 (x1 — x2) > 0.
Следующее неравенство, которое мы перепишем для случая в.п.о.ф., в работах Е.А. Горина [9-10], а также в обзоре [3] названо неравенством М.Г. Крейна:
Доказательство приведено, например, в книге [1].
Следствие 1. Если f (T) = f (0) при некотором T > 0, то функция f (x) периодическая с периодом T.
Теорема 1. Для в.п.о.ф. f (x) справедливо неравенство
□ Можно считать, что f (0) = 1. Выберем в определении 1 значение N = 3 и три точки 0,x,y. Тогда матрица
I f (x) 1 f (x — y) I
неотрицательно определена, то есть (Au,u) > 0 для вс ex u € R3. Возьмё м u = (a, —1, —1)T- Тогда получаем
о2 + 2 — 2af (x) — 2af (y) + 2f (x — y) > 0 ,
2 + 2f (x — y) > —a2 + 2a [f (x) + f (y)]
Отсюда при a = f (x) + f (y) получим (5). U
Продолжая следовать традиции в названиях, теперь логично назвать неравенство (4) первым неравенством М.Г. Крейна, а неравенство (5) — вторым неравенством М.Г. Крейна. Отметим, что в статьях М.Г. Крейна [11-12] рассматривается проблема продолжения функции, положительно определенной на интервале (—R, R), на всю ось; при этом попутно устанавливается неравенство (4). Отметим, что в формулировках имеются некоторые неточности: в [11] при определении положительно определённых функций, а в [11-12] — при записи самого неравенства (4).
Следствие 2. Если f (x) является в.п.о.ф., и дополиителвио выполнено соотношение f (T) = —f (0) для некоторого T > 0, то справедливы равенства
f (x + T) = —f (x) , f (x + 2T) = f (x), x € R.
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 109
Действительно, при y = x + T в (5) получаем
Рассмотренные до сих пор неравенства являются двухточечными, теперь рассмотрим их многоточечные обобщения.
Е.А. Горин доказал в [9, теорема 1] неравенство, которое для непрерывной в.п.о.ф. f (x) принимает вид:
2nf (0) X! [f (0) — f (xk — Ук)]
для любых x1. ,xn,y1. ,yn. Неравенство М.Г. Крейна (4) получается отсюда как частный случай при п= 1.
Покажем, что приведённое неравенство Е.А. Горина допускает модификацию, которая является обобщением второго неравенства М.Г. Крейна (5).
Теорема 2. Пусть n — нечётное число. Тогда для любых x1. ,xn, y1. .yn Е R для непрерывной в.н.о.ф. f (x) справедливо неравенство
2-nf (0ДЁ [f (0) + f (xk — Ук)] .
Замечание. При чётном n неравенство (6) может не выполняться. Для примера выберем f (x) = cos x, x1 = x2 = 2n, y1 = y2 = п. Тогда неравенство (6) принимает вид 4 < 0, что неверно.
□ Доказательство теоремы 2 в основном повторяет доказательство Е.А. Горина из [9]. Не умаляя общности, можно считать, что f (0) = 1. По теореме Бохнера [9]
f (x) = [ eltx m (dt) ,
где m — вероятностная мера на R. Введём обозначения
ak = eitxk, bk = eityk , ck = — = elt
Тогда левая часть L неравенства (6) равна
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
По неравенству Коши-Буняковского,
a1 • • • an (1 + C1 • • • Cn) m (dt)
110 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
1 + С\ ■ ■ ■ Сп = 1 + Cl — Cl (1 + С2) + C1C2 (1 + Сз) — . + 0\ ■ ■ ■ Cn-i (1 + Cn) .
Знаки чередуются, но перед последним слагаемым знак + в силу нечётности п. Применим неравенство Коши-Буняковского для конечной суммы
Аналогично преобразуется правая часть R неравенства (6):
У^ Re (1 + ck) m (dt) .
Поскольку, ck = eip где p = t (yk — xk), то нетрудно проверить, что
11 + ck1 = 2 Re (1 + ck) .
2. Приложение теории в.п.о.ф. к разрешимости конечномерных
приближений интерполяционной задачи. Вещественные строго п.о.ф. могут быть использованы для доказательства однозначной разрешимости конечномерных линейных систем уравнений. Такие задачи возникают при решении различных интерполяционных задач. Рассмотрим приложение к одной из таких задач — разложению произвольного сигнала по целочисленным сдвигам гауссианов.
Пусть даны попарно различные узлы х1>. ,xN £ Ки набор измеренных значений цифрового сигнала у1>. ,yN £ К в этих узлах. Пусть выбрана вещественная строго п.о.ф. f (х). Будем интерполировать данные линейными комбинациями вида
S (х) = ak f (х — Xk) .
Требуется найти вектор коэффициентов вида a = (a1>. aN) так, чтобы обрабатываемый сигнал без ошибок восстанавливался на заданной системе узлов:
S (хт) = У] akf (хт — Xk) = ym , 1 < m < N. (7)
Систему (4) можно записать в виде Aa = у, где A—матрица с элементами Amk = f (хт — хk). В силу того, что f (х) является вещественной строго п.о.ф., эта матрица положительно определена, то есть
(Aa, a) = f (хт — Xk) amak > 0 , a £ RN , a = 0 .
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 111
У положительно определённой матрицы определитель det(A) строго положителен. Поэтому система (7) однозначно разрешима.
Восстановление непрерывного цифрового сигнала по системе дискретных отсчётов сводится к классической математической задаче об интерполяции функции по некоторому набору её значений. Для решения этой задачи разработано множество подходов: приближение полиномами, ортогональными системами, всплесками, сплайнами, фреймами, разложениями по синк-функциям, анализ Габора (разложения по когерентным состояниям) и другие методы, см., например, [13-16].
Рассмотрим задачу об интерполяции сигналов при помощи системы целочисленных сдвигов функции Гаусса
f (x) = e-ax , a> 0 . (8)
Несмотря на то, что данная система сдвигов не является ни фреймом, ни полной системой в L2(R), существует плодотворная теория для разложений этого класса, которые также находят важные практические приложения [16-19].
Для нас важно, что квадратичная экспонента или функция Гаусса (5) — это один из стандартных примеров функции из класса в.п.о.ф. В перечисленных работах рассматривается интерполяционная задача по бесконечной системе целочисленных сдвигов функции (5), в связи с чем строится узловая функция со свойством
d (x) = ^ dke-a(x-k , d (m) = S0m , m G Z , (9)
где 80m — символ Кронекера.
График узловой функции напоминает график sinc-функции. Поэтому в [8] была сформулирована такая
Гипотеза. Узловая функция (7) принадлежит классу вещественных строго п.о.ф.
Отметим, что эта гипотеза оказалась справедливой и доказана авторами, при этом использовались результаты работ [17-19], доказательство будет опубликовано в другой статье.
Явная формула для коэффициентов узловой функции dk получена в [16], они выражаются через тета-функции Якоби. Однако подобные формулы неприменимы при практических вычислениях, потому, что как показано в [18-19], они связаны с делением на чрезвычайно малые знаменатели и приводят к неприемлемым ошибкам.
В связи с перечисленными трудностями в работах [20-21] был предложен другой подход к нахождению численных приближений для узловой функции, при котором решение бесконечной системы уравнений сводится к конечной. В результате получается усечённая система
112 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
A — матрица с элементами Amk = q(m-k , —n < m,k < n.
Например, при n = 2 матрица A коэффициентов системы имеет размер 5 х 5 и представляется в виде
V q16 q9 q4 q 1 )
Теорема 3. Матрица A положительно определена при любом q Е [0,1).
□ При q = 0 матрица сводится к единичной, требуемое очевидно, поэтому пусть q Е (0,1). Напомним, что в этом случае q = e-a, a > 0. Тогда элементы рассматриваемой матрицы выражаются через функцию Гаусса
Amk = f (m — к) , f (x) = e-ax , a> 0 .
В силу принадлежности функции Гаусса классу строго п.о.ф. матрица A положительно определена. ■
Следствие 3. Система (10) однозначно разрешима.
Действительно, в силу положительной определённости матрицы системы, получаем det (A) > 0.
Отметим, что система (10) имеет вид свёртки, поэтому её можно решать при помощи ДПФ, аналогично методу, применённому в [18-19].
Следствие 4. Решение системы (10) симметрично, то есть c-k = ck при фиксированном n.
Действительно, рассмотрим произвольное решение. Нетрудно видеть, что если распространить по симметрии значения компонент с положительными индексами на компоненты с отрицательными индексами, то получится другое решение той же системы. Тогда, если исходное решение было бы несимметричным, то мы получили бы два различных решения, что невозможно в силу доказанной единственности. Следовательно, все решения симметричны.
На основании следствия 4 можно оставить в системе только половину уравнений, сократив размеры матрицы коэффициентов задачи вдвое, это даст существенное упрощение при вычислениях.
Заметим, что похожая матрица B с элементами
Bmk = g (m — к) , g (x) = e-ax cos (nx) , a = — ln(q),
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40 113
и проверить, что функция g(x) принадлежит классу строго п.о.ф.
3. Заключение. В работе рассматрен класс вещественных строго положительно определённых функций. Для этого класса доказываются обобщения известных неравенств М.Г. Крейна и Е.А. Горина. Рассматриваются приложения вещественных строго положительно определённых функций к установлению однозначной разрешимости в прикладной задаче о разложении функции сигнала по целочисленным сдвигам гаусси-анов.
1. Mathias М. Uber positive Fourier-Integrale // Math. Zeit. -1923. -16. -P.103-125.
2. Stewart J. Positive Definite Functions And Generalizations, An Historical Survey // Rocky Mountain Journal Of Mathematics. -1976. -6;3. -P.409-434.
3. Гурарий В.П. Групповые методы коммутативного гармонического анализа / ВИНИТИ. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, пробл. математики. Фундам. направления. -1988. — 25. -С.4-303.
4. Bhatia R. Positive Definite Matrices / Princeton University Press, 2007. -264 p.
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
5. Sasvari Z. Multivariate Characteristic and Correlation Functions / De Gruyter, 2013. -377 p.
6. Kosaki H. Positive definiteness of functions with applications to operator norm inequalities / Memoirs of the American Mathematical Society. — 2011. — 297. -93 p.
7. Fasshauer G.E. Meshfree Approximation Methods with Matlab / World Scientific Publishing, 2007. — 518 p.
8. Певный А.Б., Ситник C.M. Строго положительно определённые функции, неравенства М.Г. Крейна и Е.А. Горина // «Новые информационные технологии в автоматизированных системах». Материалы восемнадцатого научно-практического семинара. М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. -2015. -247. -С.247-254.
9. Горин Е.А. Положительно определённые функции как инструмент математического анализа // Фундамент, и прикл. матем. -2012. —17;7. -С.67-95.
10. Gorin Е.А., Norvidas S. Universal Symbols on Locally Compact Abelian Groups // Functional
Analysis and Its Applications. -2013. 17:1. -P.1-13.
11. Крейн М.Г. О представлении функций интегралами
Фурье-Стилтьеса // Учёные записки Куйбышевского государственного педагогического и учительского института им. В.В. Куйбышева. 1943. -7. (Цитируется по изданию: Крейн М.Г. Избранные труды. Киев, 1993. Том 1, С.16-48).
12. Крейн М.Г. Об измеримых эрмитово-положительных функциях // Матем. заметки. -1978. 23:1. 79-91.
13. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков / М.: Физматлит, 2006. -616 с.
14. Малозёмов В.И., Машарский С.М. Основы дискретного гармонического анализа / СПб.: Лань, 2012. -304 с.
15. Игнатов М.И., Певный А.Б. Натуральные сплайны многих переменных / Л.: Наука, 1991. -125 с.
16. Maz’ya V., Schmidt G. Approximate approximations / AMS Mathematical Surveys and Monographs. -2007. —141. -349 p.
17. Киселев E.A., Минин Л.А., Новиков И.Я., Ситник С.М. О константах Рисса для некоторых систем целочисленных сдвигов // Матем. заметки. -2014. -96;2. -С.239-250.
114 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2015. №17(214). Вып. 40
18. Журавлёв М.В., Киселев Е.А., Минин Л.А., Ситник С.М. Тета-функции Якоби и системы целочисленных сдвигов функций Гаусса // Современная математика и её приложения. -2010. 67. -С.107-116.
19. Журавлев М.В., Минин Л.А., Ситник С.М. О вычислиiо. н,ных особенностях интерполяции с помощвю целочисленнв1х сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. -2009. -17/2. -С.89-99.
20. Ситник С.М., Тимашов А.С. Расчёт конечномерной математической модели в задаче квадратичной экспоненциалвной интерполяции // Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика, Физика. -2013. -32. -С.184-186.
21. Ситник С.М., Тимашов А.С. Приложения экспоненциалвной аппроксимации по целочис-
леннвш сдвигам функций Гаусса // Вестник Воронежского государственного университета инженерных технологий. -2013. 2:56. -С.90-94.
INEQUALITIES OF STRICTLY POSITIVE DEFINITE FUNCTIONS
A.B. Pevnyi, S.M. Sitnik Syktyvkar State University,
October Av., 55, Syktyvkar, 167001, Russia, e-mail: pevnyi@syktsu.ru Voronezh Institute of the Russian Ministry of Internal Affairs,
Patriotov Av., 53, Voronezh, 394065, Russia, e-mail: mathsms@yandex.ru
Abstract. On studying mathematical models problems are usually reduced to finite dimensional ones and it is necessary to prove their correctness, specially, to establish uniqueness and existence of solutions of linear systems with special matrices. In the paper to solve such problems, it is a class of strictly positive definite functions and some important inequalities are proved for them. Some applications of this functional class are proposed for proving correctness of models in the problem of signal approximations by integer shifts of Gaussians.
Key words: positive definite functions, Bochner’s theorem, M.G.Krein’s inequality, Gaussian, integer shifts.
Какое из перечисленных неравенств следует из неравенства a b
Скачиваний:
Заказать учебную работу
Закажи выполнение студенческой работы и сдай на отлично
Временно скрыть
Больше не показывать
Консультант Анна
Помощник Анна
Только сегодня: скидка до 20% в подарок на первый заказ.
Какую работу нужно написать?
Другую работу
Помощник Анна
МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2014 РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (типовые задания С3)
| Прокофьев А.А. | Корянов А.Г. |
Прокофьев А.А. – доктор педагогических наук, заведующий кафедрой высшей математики №1 НИУ МИЭТ, учитель математики ГОУ лицей №1557 г. Зеленограда; e-mail: aaprokof@yandex.ru Корянов А.Г. – методист по математике Брянского городского информационнометодического Центра (БГИМЦ); e-mail: akoryanov@mail.ru МОСКВА & БРЯНСК 2013
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
Введение ……………………………… 2
| Основные понятия ………………….. | 4 |
| 1. Сравнение числовых выражений | 5 |
| 1.1. Методы сравнения числовых | |
| выражений………………………… | 6 |
| 1.2. Сравнение действительныхчисел | 8 |
| 1.3. Сравнение выражений, содер- | |
| жащих дроби……….……………… | 8 |
1.4. Сравнение выражений, содержащих степени …..……………….. 9 1.5. Сравнение выражений, содержащих корни натуральной степе- ни…………………………………… 9 1.6. Сравнение выражений, содержащих логарифмы…………………. 10 1.7. Сравнение выражений разного вида…………………………………. 12 2. Область определения выраже- ния (функции) ………………………. 13 3. Алгебраические методы реше- ния ……………………..…………….. 14 3.1. Сведение неравенства к равносильной системе или совокупности систем……………………………… 14
| 3.2. Метод замены………………… | 23 |
| 3.3. Разбиение области определе- | |
| ния неравенства на подмножества | 28 |
4. Функционально-графические ме- тоды решения …………………….. 30 4.1. Использование области определения функции………………….. 30 4.2. Использование непрерывности функции…………………………. 31 4.3. Использование ограниченно- сти функций………………………. 35 4.4. Использование монотонности функций…………………………… 39 4.5. Графический метод…………… 53 5. Геометрические методы решения 55 5.1. Расстояние между точками на координатной прямой…………….. 55 5.2. Расстояние между точками на координатной плоскости………….. 56 5.3. Векторная интерпретация не- равенства…………………………… 57 6. Решение неравенств разными способами …. ………..…. ………….. 58 7. Системы неравенств …. ……….. 61 Упражнения ………. ………………. 75 Ответы ………………. …………….. 88 Список и источники литературы . 92
Введение Приведем образцы заданий С3 из экзаменационных работ ЕГЭ 2010 – 2013 гг. ЕГЭ 2010. Решите неравенство:
| log 7 x 5 49 | 1 | . | |||||||||||||||||||
| log | x 5 ( 49 x ) | log | 7 | log | 1 | 7 x | |||||||||||||||
| 7 | |||||||||||||||||||||
| 7 | |||||||||||||||||||||
| ЕГЭ 2010. Решите неравенство: | |||||||||||||||||||||
| log 5 (7 | x 2 | 6) (7 | x 2 | 9 | 1) | log 5 | 7 x 2 | 6 | |||||||||||||
| 7 | x 2 9 | 1 | |||||||||||||||||||
| log 5 7 5 x 2 | 5 2 . | ||||||||||||||||||||
| *** | |||||||||||||||||||||
| ЕГЭ 2011. Решите неравенство: | |||||||||||||||||||||
| 2log 3 ( x 2 4 x ) | 1. | ||||||||||||||||||||
| log 3 x 2 | |||||||||||||||||||||
| ЕГЭ 2011. Решите неравенство: | |||||||||||||||||||||
| 9log 7 x 2 x 2 10 log 7 | ( x 1) 9 | . | |||||||||||||||||||
| x 2 | |||||||||||||||||||||
*** ЕГЭ 2012. Решите систему неравенств:
| x 2 | x | ||
| 2 3 | 27 3 | 87, | |
| 1 | 27 x 9 0. | ||
| log 3 x | log 3 | ||
| 27 | |||
ЕГЭ 2012. Решите систему неравенств:
| x | ||||||
| 160 4 | 5, | |||||
| x | ||||||
| 32 2 | ||||||
| 6 x | ||||||
| log | 1. | |||||
| 0,25 x 2 | ||||||
| 4 | ||||||
*** ЕГЭ 2013. Решите систему неравенств: log x 1 x 2 12 x 36 0, 4 x 2 35 2 x 4 6 0. ЕГЭ 2013. Решите систему неравенств:
| 4 x 2 | x | | | x | | 1, |
| 2 | 3 |
|2 x 1| 18 x 2 5 x . ЕГЭ 2013. Решите систему неравенств:
| x 6 | ||||
| log 4 x | 6, | |||
| ( x 4) | 6 | |||
| 40 x 2 2 x 10 | ||||
| 3 | 2 | |||
| x | 9 x | 2. | ||
| x 5 | ||||
2
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
Надо отдать должное составителям заданий, поскольку при решении логарифмических неравенств в заданиях С3 в диагностических, тренировочных, репетиционных работах и в итоговых вариантах ЕГЭ в основном было достаточно использования стандартных методов. К таковым методам можно отнести: метод равносильных переходов; решение неравенства на промежутках; метод замены; обобщенный метод интервалов. Кроме того, в ряде репетиционных ра- бот для решения неравенств использовались нестандартные методы: метод рационализации; метод оценки, в частности, использование классических неравенств. Разработчиками КИМов 2012-2013 года были предложены задания С3, в которых необходимо было решить систему неравенств (либо систему показательных и логарифмических неравенств, либо систему, содержащую рациональное неравенство и показательное или логарифмическое неравенство). При проверке задачи С3 в ЕГЭ 20122013 гг. выставление баллов производилось в соответствии со следующими критериями.
| Баллы | |
| Обоснованно получен верный ответ | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в | |
| обоих неравенствах исходной систе- | 2 |
| мы | |
| Обоснованно получен верный ответ в | |
| одном из неравенств исходной сис- | 1 |
| темы | |
| Решение не соответствует ни одному | 0 |
| из критериев, перечисленных выше | |
| Максимальный балл | 3 |
Отметим, что в 2010 году процент приступивших к выполнению задания С3 со- ставил 32,4%, в 2011 году – 43,4%, в 2012 году– 37,8%. При этом в 2010 годуот 1 до 3 баллов за задачу С3 смогли получить только 11,8% участников экзамена, в 2011 – 19,5% , а в 2012 году – 11,5%. Верно ре- шили задачу С3 лишь 1,5% участников
экзамена в 2010 году, 3,7% – в 2011 и 2,4% – в 2012 году. В данном пособии рассмотрены различные методы решения неравенств с одной переменной и их систем. В конце приведен большой набор упражнений, к которым приведены ответы и указания. Желаем успеха ! Авторы .
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
Основные понятия Прежде чем перейти к рассмотрению неравенств, остановимся на некоторых важных вопросах, имеющих непосредственное отношение к решению этих неравенств. Область определения выражения Основные ограничения на переменную, входящую в выражение, связаны с действием деления (деление на нуль не определено), действием извлечения корня четной степени (корень четной степени определен для неотрицательных чисел), действием нахождения логарифма (логарифм с положительным основанием, отличным от единицы, определен для положительных чисел). Из определения корня натуральной степени следует, что выражения вида 6 
4 , 2 
5 , 0 
8 не определены. Из определения логарифма следует, что выражения вида log 3 ( 4), log 7 0, log 6 5, log 0 9, log 1 15 не определены. Отметим, что решение неравенств с переменной включает в себя нахождение области определения данного неравенства или по-другому – области допустимых значений неизвестной неравенства. Следствие и равносильность Если множество решений неравенства A принадлежит множеству решений неравенства (системы, совокупности) B , то неравенство (система, совокупность) B называется следствием неравенства A , и это обозначают A B . Если множества решений неравенства A и неравенства (системы, совокупности) B совпадают, то эти неравенства (неравенство и система, неравенство и совокупность) называются равносильными , и это обозначают A B . Как правило, преобразования используют для того, чтобы в неравенстве освободиться от знаменателей, от знаков корней, от знаков модуля, от степеней, от знаков логарифма, и привести данное неравенство к более простым неравенствам. При этом выполняют преобразования над обеими частями неравенства, используя
свойство монотонности соответствующей функции, или преобразования отдельных выражений, входящих в неравенство, применяя формулы. Применение формулы для замены одного выражения другим может оказаться неравносильным для неравенства. Приведем примеры равносильных переходов. 1) log 3 x 1 log 3 x log 3 3 x 3. x 1 0, log 3 x 0, 2) ( x 1)log 3 x 0 x 1 0, log 3 x 0. 3) lg( x 2) lg(27 x ) 2 x 2 0,
| 27 x 0, | |||||||
| lg ( x 2)(27 x ) 2. | |||||||
| x 0, | |||||||
| 4) x 2 x x 2 0, | |||||||
| 2 | . | ||||||
| x 2 x | |||||||
| 2 | 2 | 7) 0, | |||||
| x 7 | |||||||
| 5) | 0 | ( x 4)( x | |||||
| x 4 | x 4. | ||||||
Системы неравенств и совокупности неравенств Решение неравенства с использованием равносильных преобразований часто приводит к решению системы или совокупности неравенств. При решении системы неравенств с одной переменной обычно решают каждое неравенство, затем находят пересечение полученных множеств решений. При решении совокупности неравенств с одной переменной обычно решают каждое неравенство, затем находят объединение полученных множеств решений. Две системы (совокупности) неравенств называются равносильными , если множества их решений совпадают. 4
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
Приведем примеры решения системы неравенств и совокупности неравенств.
| 1) | 6 x 2 4 x 24, | 2 x 22, | |||
| 2 x 1 x 7 | x 8 | ||||
| x 11, | 8 x 11. | ||||
| x 8 | |||||
| 2) | x 2 | 4 0, | ( x 2)( x 2) 0, | ||
| x 6 0 | x 6 | ||||
x 2, x 2, x ( ; ). x 6 Методы решения неравенств В зависимости от трактовки или интерпретации неравенства различают алгебраический, функциональный или геометрический подходы в решении неравенств. Первые два подхода различаются в понятии неравенства, которое рассматривается либо как сравнение двух выражений, либо как сравнение двух функций. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие (над обеими частями неравенства) или частичные преобразования неравенств (отдельных выражений, входящих в неравенство). При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.), входящих в данное неравенство. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемы. Это можно проследить, начиная с определения неравенства. Поэтому далее в преобразованиях неравенства мы используем утверждения, придерживаясь алгебраической или функциональной линии. Например, утверждение «Если обе части неравенства g ( x ) h ( x ) возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим неравенство g 2 n 1 ( x ) h 2 n 1 ( x ), равносильное данному» можно заменить другим утверждением «По свойству строго возрастающей функции y t 2 n 1 , n , на неравенства g ( x ) h ( x ) и g 2 n 1 ( x ) h 2 n 1 ( x ) равносильны».
Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве, что позволяет перейти к равносильным неравенствам, опираясь на геометрические утверждения. Сравнение чисел Иногда при решении неравенств одним из трудоемких этапов является сравнение значений чисел для правильного расположения их относительно друг друга на числовой прямой. Это возникает в случае объединения или пересечения промежутков, числовые значения концов которых выражаются через радикалы, логарифмы и т.д. Приходится сталкиваться с необходимостью сравнения чисел без помощи микрокалькулятора. Рассмотрим некоторые подходы к решению задач такого типа. 1. Сравнение числовых выражений При решении различных неравенств и их систем на этапе получения ответа, в частности нанесения их решений на одну числовую прямую, приходится сравнивать числовые значения, соответствующие концам промежутков, из которых состоят соответствующие множества решений. Довольно часто подобное сравнение является не очевидным и представляет ключевой этап решения задачи. На помощь приходит использование свойств числовых неравенств (к обеим частям можно прибавлять одно и то же число; можно умножать обе части неравенства на положительное число и т.д.), а также некоторые специальные приемы. Здесь не требуется находить значения чисел с точностью до определенного десятичного знака после запятой. Но с другой стороны, для старшеклассника считается известным десятичные знаки после запятой некоторых чисел (
2 1,41. ;
| 3 1,73. | ; e 2,71. ; | 3,14. ), кото- |
рые он вправе использовать при сравнении чисел, точно так же, как знание степеней некоторых чисел (11 2 121; 6 3 216; 2 10 1024 и т.д.). 5
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
1.1. Методы сравнения числовых выражений При сравнении числовых выражений A и B используют следующие общие методы. Метод сравнения с нулем разности выражений В этом случае сравнивают разность
| выражений с нулем. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Если A B 0 , то A B ; | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| если A B 0 , то | A B ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| если A B 0 , то | A B . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Пример 1. Сравнить числа | 1 | 1 | и | 4 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Решение. Найдем разность | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | 4 | 1 | 1 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 1 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 5 | 6 | 5 | 5 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Так как 5 | 0 и | 5 | 0, | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 25 | 6 | 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| то | 5 | 0 и | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 1 | 1 | 4 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 6 | 6 | 5 | 1 | 4 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ответ : | 1 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Метод сравнения с единицей отношения выражений Если выражения A и B положительны, то для определения большего из них можно сравнить их отношение с единицей. Если A 1, то A B ; B если A 1, то A B ; B если A 1, то A B . B Пример 2. Сравнить числа
| 2 2012 | 1 | и | 2 2013 | 1 | . | ||
| 2 2013 | 1 | 2 2014 | 1 | ||||
Решение. Пусть A – первое выражение, а B – второе. Поскольку они оба положительны, то рассмотрим их частное
| A | 2 2012 | 1 | 2 2013 | 1 | 2 4026 5 2 2012 | 1 | . | ||||
| : | |||||||||||
| 2 2013 | 2 2014 | 2 4026 4 2 2012 | 1 | ||||||||
| B | 1 | 1 | |||||||||
Так как числитель получившейся дроби
| больше знаменателя, то | A | 1. | Отсюда | ||||||
| следует, что A B . | B | ||||||||
| Ответ : | 2 2012 | 1 | 2 2013 | 1 | . | ||||
| 2 2013 | 2 2014 | 1 | |||||||
| 1 | |||||||||
Метод разделения выражений Если удается показать, что одно из сравниваемых выражений А больше некоторого числа (или выражения) С , а второе В наоборот меньше него, то первое выражение будет больше второго, т.е. из неравенств A C B следует неравенство A B . Пример 3. Сравнить числа log 2 5 и log 3 6.
| Решение. | Заметим, что | log 2 5 |
| log 2 4 2, | а log 3 6 log 3 9 2. | Следо- |
| вательно, имеем | ||
| log 2 5 2 | log 3 6 log 2 5 log 3 6. | |
| Ответ : log 2 5 log 3 6. | ||
Метод использования параметра Пример 4. Сравнить числа 3 
60 и 2 3 
7 . Решение. Представим первое число
| следующим образом 3 60 3 | 4(8 7) . |
Пусть a 2 и b 3 
7 . Сравним выражения: 3 
4( a 3 b 3 ) a b 4( a 3 b 3 ) ( a b ) 3 3( a 3 b 3 ) 3 ab ( a b ) a 2 ab b 2 ab ( a b ) 2 0. Так как a b , то ( a b ) 2 0 и тогда 3 
60 2 3 
7 . Ответ : 3 
60 2 3 
7 .
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
Метод использования свойств функций В этом случае для сравнения выражений используют монотонность или выпуклость функций на промежутках. Пример 5. Сравнить числа e и e . Решение. Заметим, что e e ln e ln e ln e e ln ln e ln .
| e | ||
| Рассмотрим функцию f ( x ) | ln x | и срав- |
| x | ||
ним числа f ( e ) и f ( ). Функция f ( x )
| определена | при | x 0 . Ее | производная | |||||||
| 1 ln x | ||||||||||
| равна | ( x ) | x 2 | . | Так как | ||||||
| f | f ( x ) 0 | |||||||||
| при | x e , | f | при | 0 x e и | ||||||
| ( x ) 0 | ||||||||||
| при | x e , | то функция при | ||||||||
| f ( x ) 0 | ||||||||||
x e принимает наибольшее значение на всей области определения. Значит, f ( e ) f ( ), откуда следует, что e e . Ответ : e e . Графический метод Графический метод удобно использовать при сравнении двух выражений, которые частично одинаковы (равные показатели степеней, равные основания степеней, равные показатели корней, равные подкоренные числа, равные основания логарифмов, равные подлогарифмические числа и т.д.). Пример 6. Сравнить числа log 3 6 и log 4 6. Решение. Построим схематично графики функций y log 3 x и y log 4 x (см. рис. 1).
| y | |||
| 2 | 3 | ||
| 1 | 4 | ||
| O | 1 | 6 | x |
| 2 |
Рис. 1
Сравнивая значения функций при x 6 , получаем log 3 6 log 4 6. Ответ : log 3 6 log 4 6. Метод использования классических неравенств Обычно достаточно знания следующих классических неравенств: неравенство Коши : при любом n для неотрицательных чисел a 1 , a 2 . a n
| a 1 a 2 . a n | n | ; | |
| a a | 2 | . a | n |
| n | 1 | ||
неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел a 1 и a 2 (слу- чай n 2 в неравенстве Коши):
| a 1 a 2 | ; | |
| a a | 2 | |
| 2 | 1 | |
неравенство для суммы двух взаимно обратных чисел : a 1 2; a неравенство Бернулли : для любого n при x 1 (1 x ) n 1 nx . Пример 7. Сравнить числа :
| а) | 1 | 1 | и 2; б) 200 | и 1,005. | |
| 2 | |||||
| log 2 5 | log 5 2 | ||||
Решение. а) Заметим, что log 5 2 0 и
| 1 | 1 | log | 5 | 2 | 1 | . |
| log 2 5 | log 5 2 | |||||
| log 5 2 | ||||||
Выражение в правой части равенства представляет собой сумму двух взаимно обратных положительных чисел, отличных от единицы. Значит,
| log 5 2 | 1 | 2. |
| log 5 2 | ||
б) Возводя оба числа в двухсотую степень, получим: 200 
2 1,005 2 (1,005) 200 . Используя неравенство Бернулли, имеем:
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
(1,005) 200 (1 0,005) 200 1 200 0,005 2. Значит второе число больше первого.
| Ответ : а) | 1 | 1 | 2; |
| log 2 5 | log 5 2 | ||
б) 1,005 200 
2 . 1.2. Сравнение действительных чисел При сравнении действительных чисел используют следующие правила. ● Всякое положительное число больше нуля и больше отрицательного числа. ● Всякое отрицательное число меньше нуля. ● Из двух положительных действительных чисел больше то, у которого целая часть больше. Если целые части равны, большим считается то число, у которого первый из неравных десятичных знаков в их записи в виде десятичной дроби больший, а все предшествующие одинаковы. ● Из двух отрицательных чисел больше то, у которого абсолютная величина меньше. Пример 8. Сравнить числа , 
10 и 3,14(15).
| Решение. | Так | как 3,14159. | , | |
| 3,16227 | и | 3,14(15) 3,141515 | , | |
| 10 | ||||
то видим, что совпадают целые части и цифры десятых, а цифра сотых у числа 
10 больше, чем у числа и 3,14(15). Следовательно, 
10 и 
10 3,14(15). Соответственно, у чисел и 3,14(15) совпадают первые четыре цифры после запятой, а пятая больше у числа . Следовательно, 3,14(15) . Замечание. Данный пример приведен для раскрытия правила сравнения действительных чисел, записанных в виде бесконечных десятичных дробей до определенного знака. Ответ : 
10 3,14(15).
1.3. Сравнение выражений, содержащих дроби При сравнении двух обыкновенных дробей используют следующие правила. ● Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та дробь больше, у которой больший числитель. ● Из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, у которой знаменатель меньше. При сравнении двух обыкновенных дробей с разными числителями и знаменателями их можно привести к общему знаменателю (или умножить обе части сравнения на общий знаменатель). Пример 9. Сравнить числа 15 и 23 . 17 26 Решение. Приводя дроби к общему знаменателю и используя первое правило, получаем
| 15 | 23 | 15 | 26 | 23 17 | |
| 17 | 26 | 17 | 26 | 26 17 | |
15 26 23 17 390 391 . Отсюда следует, что 15 23 . 17 26 Ответ : 15 23 . 17 26 Для сравнения дробей часто используют метод сравнения с нулем разности выражений или метод сравнения с единицей отношения выражений. Пример 10. Сравнить числа 131 и 179 . 273 235 Решение. Рассмотрим частное данных чисел 131 : 179 131 235 131 235 1, 273 235 273 179 179 273 так как каждая из дробей меньше 1. Зна- чит, 131 179 . 273 235 Второй способ состоит в применении неравенств 131 131 1 179 179 . 273 262 2 358 235 Ответ : 131 179 . 273 235 8
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
1.4. Сравнение выражений, содержащих степени При сравнении двух степеней с одинаковыми показателями или одинаковыми основаниями, используют следующие правила. ● Если натуральное число n нечетно и a b , то a n b n . ● Если натуральное число n четно и a b , то:
| а) для положительных a и b | имеем | |
| a n b n ; | ||
| б) для отрицательных a и | b | имеем |
| a n b n . | ||
| ● Если a 1 и m n , то a m | a n . | |
| ● Если 0 a 1 и m n , то a m | a n . | |
При сравнении двух степеней с разными показателями и основаниями обычно в них выделяют одинаковое основание или одинаковый показатель. Пример 11. Сравнить числа:
| и 8 20 ; б) | 2 30 и 4 14 ; | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||
| а) 5 60 | в) 2,5 | 6 | и | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,4 0,5 ; г) 7 30 и 4 40 ; д) 3 21 и 2 31 . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Решение. а) Так как 8 20 2 60 | и 5 2 , | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| то 5 60 2 60 | и 5 60 8 20 . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| б) | Так | как | 4 14 2 28 | и | 30 28 , | то | |||||||||||||||||||||||||||||
| 2 30 | 2 28 | и | 2 30 | 4 14 . | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| в) | Заметим, | что | 6 | , | а | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 2,5 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,5 | 2 | 0,5 | 5 | 0,5 | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 0,4 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Теперь | сравним | показатели | степени | ||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | и | 0,5. | Так | как | 3, | то | |||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3 | 0,5. Следовательно, | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 6 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 0,5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 6 | 5 | , т.е. | 0,5 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||
| 2,5 6 | 0,4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 2 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| г) | 1 -й | способ. | Заметим, | что | |||||||||||||||||||||||||||||||
| 7 30 | (7 3 ) 10 | 343 10 и | 4 40 | (4 4 ) 10 256 10 . | |||||||||||||||||||||||||||||||
Так как 343 256 , то из свойств степеней следует 343 10 256 10 или 7 30 4 40 .
2- й способ. Представим степень 7 30 как степень с основанием 4. В силу основного логарифмического тождества 7 4 log 4 7 . Поэтому 7 30 4 30log 4 7 . Теперь сравним число 30 log 4 7 с числом 40. Учитывая свойство возрастающей функции y log 4 t , имеем
| 30 log 4 7 10 log 4 7 3 | 10 log 4 343 | |||||||
| 10 log 4 256 40. | ||||||||
| Следовательно, в силу того, что функ- | ||||||||
| ция y 4 t | возрастающая | (или | в силу | |||||
| свойства степеней), получим 7 30 | > 4 40 . | |||||||
| д) Имеем | ||||||||
| 3 21 3 20 3 9 10 3 и 2 31 2 30 2 8 10 2 . | ||||||||
| Так как 9 10 | 8 10 и 3 2 , то | 9 10 | 3 8 10 2 | |||||
| и 3 21 2 31 . | ||||||||
| Ответ : а) 5 60 | 8 20 | ; б) | 2 30 4 14 ; | |||||
| в) 2,5 | 5 | 0,4 0,5 ; г) 7 30 | 4 40 ; д) | 3 21 2 31 . | ||||
| 6 | ||||||||
Пример 12. Сравнить числа 13 5 и 23 4 . Решение. Воспользуемся формулой ( a 1) 5 a 5 5 a 4 10 a 3 10 a 2 5 a 1. Тогда 13 5 (12 1) 5 12 5 5 12 4 12 4 (12 5) 17 12 4 16 12 4 2 4 12 4 24 4 23 4 . Ответ : 13 5 23 4 . 1.5. Сравнение выражений, содержащих корни натуральной степени При сравнении двух выражений, содержащих одинаковые корни натуральных степеней, используют следующие правила. ● Если натуральное число n 1 нечетно и a b , то n 
a n 
b . ● Если натуральное число n 1 четно и a b 0 , то n 
a n 
b . При сравнении двух выражений, содержащих разные корни натуральных степеней обычно их приводят к корням с одинаковыми показателями, либо возводят в степень для избавления от корней. 9
9.09.2013 . www.alexlarin.net
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Решение неравенств с одной переменной
| Пример 13. Сравнить числа: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| и 5 | ; | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| а) | 15 | 16 | б) 12 | и 3 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 623 | 5 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 16 | 17 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Решение. а) Сравним подкоренные | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| числа | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 15 | 16 | 15 17 16 16 | 1 | 0. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 16 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 17 | 16 17 | 16 17 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Отсюда следует, что | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 15 | 16 | 5 | . | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| и 5 | 15 | 16 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 16 | 17 | 16 | 17 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| б) По свойству арифметических кор- | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ней имеем | 3 | 12 5 4 | 12 | . | Так как | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5 | 625 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 623 625 , то 12 | 12 | и 12 | 3 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 623 | 625 | 623 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Ответ : а) 5 | 15 | 5 | 16 | ; б) 12 | 3 | . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 623 | 5 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 16 | 17 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 14. Сравнить числа 
7 
5 и 
15 
12 . Решение. Так как оба числа положительны, то можем сравнить их натуральные степени (квадраты). При этом знак сравнения не меняется. 
7 
5 
15 
12 (
7 
5) 2 (
15 
12) 2 12 2
35 27 2
180 (уменьшаем теперь каждое число на 12) 2
35 15 2
180 (прибавляем к каждому из полученных
между числами 5041 и 5040. Так как 5041 5040 , то 
7 
5 
15 
12 . Ответ . 
7 
5 
15 
12 . Иногда удобно умножать сравниваемые выражения на одно и то же выражение, например, для выделения разности квадратов. Для неотрицательных чисел a и b справедлива формула ( 
a 
b ) ( 
a 
b ) a b . Выражения 
a 
b и 
a 
b назы- ваются сопряженными . Пример 15. Сравнить числа 
8 
6 и 
13 
11. Решение. Домножив и поделив каждое выражение на сопряженное к нему, получим:
| 8 | 6 | 13 | 11 ( 8 | 6)( | 8 | 6) | ||
| 8 | 6 | |||||||
| ( 13 | 11)( | 13 11) | ||||||
| 13 | 11 | |||||||
| 2 | 2 | 11 | . | |||||
| 8 | 6 | 13 | ||||||
Знаменатель второй дроби больше, поэтому вторая дробь меньше. Соответст- венно получаем, что 
8 
6 
13 
11. Ответ : 
8 
6 
13 
11. 1.6. Сравнение выражений, содержащих логарифмы
чисел сумму 2
35 2
180 ) 2
180 15 2
35 (так как оба числа положительны, то сравниваем их квадраты) 720 365 60
35 (поделим оба числа на 5) 144 73 12
35 71 12
35 (еще раз возведем, полученные числа в квадрат) 71 2 (12
35) 2 5041 5040 . В итоге, выполнив ряд преобразований, мы получили, что знак неравенства между исходными числами тот же, что и
При сравнении двух выражений, содержащих логарифмы, используют следующие правила, вытекающие из свойств функции y log a x . ● Если a 1 и M N 0 , то log a M log a N . ● Если 0 a 1 и M N 0 , то
| log a M log a N . | |||
| В частности: | |||
| а) Если a 1 | и M 1, то log a M 0. | ||
| б) Если a 1 | и 0 M 1 , то log a | M 0. | |
| в) Если 0 a 1 | и M 1, то log a | M 0. | |
| г) Если 0 a 1 | и 0 M 1 , то log a M 0. | ||
Разработка системы тестов для обучения и контроля обучающихся 9 классов при подготовке к ОГЭ по математике
3.Рабочая программа для подготовки к итоговой аттестации учащихся 9 классов.
В свете модернизации системы образования и введения ОГЭ выявилась явная необходимость в специальной дополнительной подготовке учащихся к экзаменам в режиме тестирования. Безусловно, ее следует начинать в основной школе. Начинать подготовку необходимо уже с пятых классов в рамках изучения курса математики, на элективных курсах и дополнительных занятиях.
Изменения, происходящие сегодня в современном обществе, в значительной степени определяют особенности и необходимость внесения изменений в деятельность педагога. В современных условиях, в образовательной деятельности важна ориентация на развитие познавательной самостоятельности учащихся. Решить эту проблему традиционными методами невозможно. Главной организационной формой обучения в средней школе является урок, потому что только на нем реализуется учебная программа. Для того чтобы подготовиться и успешно сдать ОГЭ (ЕГЭ), необходимо представлять уровень требований, возможную его структуру и особенности тестовых заданий. Активная работа с компьютером формирует у учащихся более высокий уровень образовательных навыков и умений – самостоятельного анализа и структурирования получаемой информации. Следует обратить внимание, что интерактивные средства обучения в сочетании со стандартными методами обучения в школе дают высокий коэффициент эффективности при подготовке к итоговой аттестации.
Всё это побудило меня к разработке своей системы по подготовке к ОГЭ по математике для девятиклассников, направленной на повышение качества знаний учащихся, развития их способностей посредством сочетания традиционных и новых информационных технологий.
Цель работы : дифференциация процесса подготовки к итоговой аттестации с целью повышения качества знаний, умений и навыков учащихся, качественная подготовка к ОГЭ.
Противоречия
Трудности подготовки к итоговой аттестации по математике обусловлены следующими объективно существующими противоречиями:
— между отсутствием у части школьников мотивации к изучению математики и необходимостью сдачи экзамена в формате ОГЭ.
— между возрастающей сложностью и насыщенностью школьной программы и неспособностью ученика освоить весь объем предлагаемых ему сведений.
Задачи
Для разрешения сложившихся противоречий и эффективной подготовки учащихся к ОГЭ необходимо решить следующие задачи:
— изучение индивидуальных особенностей каждого учащегося;
— развитие его логического мышления, внимания;
— совершенствование у учащихся навыков самостоятельной работы;
— ликвидация пробелов по основным темам курса математики;
— отработка математических навыков в соответствии с требованием стандартов образования;
— формирование навыка оформления экзаменационных работ;
— выработка у школьников умения концентрироваться и продуктивно работать в условиях экзамена.
Ожидаемые результаты
— формирование системы работы по подготовке учащихся к итоговой аттестации;
— повышение уровня знаний, умений и навыков учащихся;
— успешная сдача экзамена в формате ОГЭ.
1. Теоретическая технология подготовки к итоговой аттестации по математике.
Активная работа с компьютером формирует у учащихся более высокий уровень самообразовательных навыков и умений — анализа и структурирования получаемой информации. Следует обратить внимание, что интерактивные средства обучения в сочетании со стандартными методами обучения в школе дают высокий коэффициент эффективности по подготовке к ОГЭ.
Система работы по подготовке к ОГЭ по математике в 9 классе включает следующие компоненты:
1. Включать в изучение текущего учебного материала задания, соответствующие экзаменационным заданиям.
2. В содержание текущего контроля включать экзаменационные задачи.
3. Изменить систему контроля над уровнем знаний учащихся по математике.
4. Итоговое повторение построить исключительно на отработке умений и навыков, требующихся для получения положительной отметки на экзамене.
В своей работе много внимания уделяю устным вычислениям, начиная с пятого класса. Устные вычисления развивают понимание, наблюдательность и смекалку у учащихся. Проведение устных вычислений помогает учителю дисциплинировать учащихся, восстановить у них навыки самостоятельности, умение ценить и экономить время. Во время устного счета учитель вырабатывает у учащихся полезные навыки, определяет знания учащихся по той или иной теме, принимает меры для устранения замеченных недостатков.
Состав методических средств, подготовленных для обучения общим методам, должен включать такие компоненты:
Идея самого метода:
— примеры задач, решаемых этим методом;
— система упражнений на усвоение метода (для каждого класса, начиная с 5-го класса);
— средства самоконтроля деятельности по реализации данного метода.
Познавательный интерес учащихся, качество знаний во многом зависит от умения учителя научить школьников рациональным методам работы с учебником, книгой, справочным материалом.
При подготовке к ОГЭ по математике считаю необходимостью систематизации знаний учащихся. Поэтому я структурно разбиваю всю подготовку к экзамену на разделы:
— задачи с практическим содержанием;
— выражения и преобразования;
— системы уравнений и неравенств;
— задачи с параметрами.
При работе с каждым разделом делаю акцент на повторение и отработку общих методов решения задач (решение задачи по известному алгоритму, замена задачи, разбиение решения задач на решение системы задач, использование аналогий, ассоциаций). Так же, при подготовке учащихся к итоговой аттестации разумно соблюдать привило «спирали» — от простых типовых заданий до заданий 2 части.
2. Реализация проекта.
Как строить систему подготовки?
— Наиболее эффективно выстраивать подготовку по тематическому принципу. Не следует стараться решить как можно больше вариантов заданий предыдущих лет. Такой путь, как правило, неперспективен. Во-первых, варианты не повторяются. Во-вторых, в этом случае у школьника не формируется устойчивый общий способ деятельности с заданиями соответствующих видов, т.е. через несколько недель он не может вспомнить, как он решал это задание, причём он пытается именно вспомнить решение, а не применить общий подход к заданиям такого типа.
— Запомнить все решения всех заданий невозможно, поэтому разумнее учить школьников общим универсальным приёмам и подходам к решению задач соответствующих типов.
— Должен соблюдаться следующий принцип: правильно решенное предыдущее задание готовит к пониманию смысла следующего.
— Переход к комплексному тестированию разумен только в конце года (апрель-май), когда все темы изучены и у учеников накоплен запас общих подходов к основным типам заданий.
— Все тренировочные тесты следует проводить в режиме «теста скорости», т.е. с жестким ограничением времени. Можно всё время громко фиксировать время, чтобы ученик понял, что он успевает или не успевает выполнять за данный промежуток времени.
Эффективные методические приёмы.
— Очень эффективен приём показа учителем мысленного поиска способа решения задачи. Учитель должен быть готов раскрыть перед учащимися ход своих мыслей, которые у него возникали, когда он готовился к уроку, даже если эти мысли были неверными. Целесообразно развернуть перед учениками всю картину поиска решения, вплоть до показа своих черновых записей.
— Хороший результат получается, когда учитель инсценирует «тупик» в процессе решения задачи, в этом случае дети должны уметь найти место, с которого пошёл «тупиковый» вариант, чтобы, вернувшись к нему, найти другой вариант решения.
Принцип дифференциации.
Необходимо осуществлять одинаковую нагрузку как по содержанию, так и по времени, для всех школьников (сильных и слабых) в равной мере. Содержание КИМов ставит всех учеников в равные условия и предполагает объективный контроль результатов, т.е. слабый ученик не получит скидку на то, что он слабый. Дифференциация на ОГЭ предполагается только при выставлении количества баллов за правильно выполненное задание, а это количество, как известно, зависит от уровня трудности. Поэтому при подготовке к ОГЭ следует осуществлять дифференциацию таким же образом.
Особенности работы с заданиями первой части
— Первая часть направлена на проверку овладения содержанием курса на уровне базовой подготовки, она обеспечивает получение тройки.
— Задания даны в тестовой форме (8 заданий на выбор из четырех предложенных вариантов, 1 задание на установление соответствия, 7 заданий на краткий ответ).
— Непривычные формулировки ряда задач (с дополнительным логическим вопросом или непривычно сложные формулировки).
— Решений задач первой части предъявлять не нужно, поэтому не надо оформлять решение подробно, но на черновике лучше писать все промежуточные выкладки, чтобы исключить ошибки.
Типичные ошибки при выполнении заданий первой части
— Невнимательное чтение условия (путают выбор правильного ответа при решении неравенств методом интервалов или квадратичных неравенств, часто не знают, что вынести в ответ и т. п.).
— Арифметические ошибки (в первую очередь работа с отрицательными числами и дробями).
— Элементарная невнимательность при переносе ответа в бланк.
Особенности выполнения заданий 2 части
— 2 часть работы направлена на проверку овладения материалом на повышенных уровнях;
— дифференцировать хорошо успевающих учеников по уровню подготовки.
— требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений учащегося.
— оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным.
Обучение постоянному жёсткому контролю времени.
На консультациях, пробных и репетиционных тестированиях необходимо постоянно обращать внимание учащихся на то, сколько времени необходимо тратить на то или иное задание. Например, если на выполнение 1 части (16 заданий) рекомендован 1 час, то на выполнение одного задания 1 части необходимо затратить не более 3- 4 минут. Таким образом, если ученик не укладывается в этот временной промежуток, то ему целесообразно перейти к другому заданию, а к этому заданию можно вернуться после выполнения всей 1 части.
Точно также должен действовать ученик, планирующий получить «хорошую» четвёрку или пятёрку, и со второй частью экзаменационной работы: всю 1 часть «уложить» в 1 час, а остальные 3 часа посвятить 2 части работы.
Выдержать этот график может только тот, кто приучен 3-4 часа заниматься математикой с полной отдачей. Отсутствие привычки «напрягаться» в математике несколько часов подряд – одна из причин низкого качеств выполнения работы.
Обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий. Ученики обычно сами знают, какие задания для них являются наиболее сложными. Таких «слабых» мест следует избегать при выполнении теста. Сначала нужно выполнять задания, в которых школьник ориентируется хорошо. Задача учителя состоит в том, чтобы школьник самостоятельно сумел набрать максимально возможное для него количество баллов, поэтому изречение «лучше меньше, да лучше» здесь оказывается вполне справедливым.
Обучение прикидке границ результатов, анализу ответа на предмет соответствия действительности, минимальной подстановке как приёму проверки ответа. Следует учить школьников простым для проверки результатов сразу, а не «если останется время». Необходимо после решения задания приучать учеников внимательно перечитывать условие и вопрос (что нужно было найти?).
Поскольку в учебниках дополнительных действий с ответами (например, найти сумму корней, а не сами корни) практически не встречается, многие школьники не обращают на них внимания, записывая при верно решённом задании неправильный ответ.
Необходимо учить технике выбора ответа методом «исключения» явно неверного ответа. Особое внимание следует уделять заданиям, в которых формулировка звучит как «Выберите из данных выражений те, которые можно (или нельзя) преобразовать к виду…..».
Самое главное здесь обратить внимание на ключевые слова «можно» или «нельзя», иначе ответ может получиться совершенно противоположным.
Обучение приёму «спирального движения» по тесту. Ученик, просматривая тест от начала до конца, отмечает для себя задания, которые кажутся ему простыми и понятными и выполняются сходу, без особых раздумий. Именно их школьник выполняет первыми.
Затем необходимо «пробежать» глазами 1 часть работы и отметить 1-2 задания, которые поняли сразу, в этой части есть задания (например, №17), которые «средний» ученик решает без особого напряжения. К ним можно перейти, когда будет в основном закончена 1 часть работы.
Затем можно перейти вновь к 1 части работы и попробовать выполнить задания, которые не «поддались» сразу. Если ученик не может и после этого выполнить какое-то задание 1 части, то после контроля времени (3-4 минуты), следует перейти к другому заданию сначала 1 части, а затем 2 части работы.
Некоторые задания могут вызывать у учащихся затруднения, поэтому им нужна помощь учителя, нужна его консультация. Я провожу разные виды консультаций:
— консультации для слабых учащихся (решение 1 части);
— консультации для сильных ребят (решение заданий 2 части );
Консультации по группам – 1 раз в неделю.
Примерные экзаменационные работы беру из различных сборников для подготовки к ГИА (прошлых лет и новые с геометрическим материалом)
Геометрия – один из самых трудных учебных предметов в школе.
Применение учебных презентаций способствует решению развивающих целей, которые мы ставим на уроках геометрии:
— развивать логическое мышление, пространственное воображение, образное мышление учащихся;
— формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
— совершенствовать графическую культуру.
Компьютерные презентации позволяют насладиться красочными чертежами. Не всегда, выполняя чертеж на доске, ученики получают эстетическое удовольствие от собственной работы. Выполнить красивый чертеж, показать образец хорошего чертежа поможет компьютер.
Устное решение задач (по готовым чертежам)
Несомненно, что компьютер — помощник при организации дистанционной работы. Используя визуальные подсказки, можно дать возможность осмыслить задачу самостоятельно.
Решение текстовых задач.
Можно показать способ работы над «переводом» задачи с русского языка на язык чертежа. Раскрывая текст по одной фразе, ученик научается размышлять над шагами построения схемы. Рассматривая теоретический материал можно показать разные способы решения задачи, что удобно тоже сделать дистанционно, а потом повторить на уроке.
Времени на подготовку таких курсов у учителя уходит несомненно очень много на первом этапе. Но если подобные курсы – это результат многолетней работы по созданию презентаций, видеоуроков, флэш-роликов, то постепенно накапливается опыт и методическая база, созданная учителем, что значительно облегчает их подготовку в дальнейшем . Компьютер – хранитель информации, накопленной учителем за годы работы.
Все материалы для теоретической подготовки выкладываю на своем персональном сайте, а также выкладываю ссылки на интернет уроки и видеоразборы различных заданий.
Контроль за усвоением знаний осуществляю средствами создания тестов на сайте Дмитрия Гущина «Сдам ОГЭ». Этот ресурс позволяет создавать как тематические, так и комплексные работы. Данный сайт помогает ученикам работать самостоятельно, следить за временем и в тоже время исключает возможность подсмотреть правильное решение. Результаты работы учеников доступны только учителю. У учителя ведется классный журнал, накапливается статистика как по работам в целом, так и по отдельным заданиям. Все это дает возможность педагогу корректировать свою деятельность направленную на подготовку к ОГЭ.
Рабочая программа для подготовки к итоговой аттестации учащихся 9 классов.
Пояснительная записка
Цель: подготовить учащихся к успешной сдаче ОГЭ в соответствии с требованиями, предъявляемыми новыми образовательными стандартами.
Повторение играет важную роль на всех этапах обучения – овладение новыми знаниями и навыками не может осуществляться без опоры на прежний опыт.
Главной дидактической целью уроков повторения курса алгебры является обобщение и систематизация знаний, полученных учащимися в VII-IX классах. На этих уроках учащиеся должны усвоить связи и отношения между понятиями, получить целостное представление об изученном материале, решить ряд комбинированных задач и упражнений. Особую роль в математике отводят вопросам итогового повторения, в ходе которого осуществляется систематизация знаний изученного курса алгебры 7-9 классов и подготовка к итоговой аттестации.
Контроль полученных знаний и умений на этих уроках целесообразно проводить в тестовой форме, которая позволяет:
1. Эффективно повторить курс алгебры основной школы
2. Значительно сэкономить время как при оформлении, так и при проверке работ
3. Отработать навыки выполнения заданий ОГЭ
Принципы построения системы итогового повторения:
1. Итоговое повторение учебного материала необходимо проводить, используя блочно-модульное структурирование учебного материала, укрупнение учебных единиц.
2. На первом уроке повторения темы необходимо провести контрольный срез в тестовой форме по выявлению пробелов в знаниях учащихся для дальнейшей их ликвидации.
3. Выстраивать повторение, соблюдая “правило спирали” – от простых заданий до заданий повышенного и высокого уровня сложности.
4. Тренировочные тесты необходимо проводить с жестким ограничением во времени.
Темп проведения теста учитель должен задавать сразу и держать его на протяжении всего времени.
5. Подготовка к итоговой аттестации не должна подменять систематическое изучение математики. Подготовка к экзаменам должна быть обеспечена планомерным повторением, обобщением и систематизацией знаний из различных разделов курса математики, варьированием стандартных условий задачи, рассмотрением новых типов заданий.
Структура курса
Курс рассчитан на 34 занятия. Включенный в программу материал предполагает повторение и углубление следующих разделов алгебры:
- Числа и выражения.
- Алгебраические выражения.
- Уравнения и системы уравнений.
- Неравенства и системы неравенств.
- Последовательности и прогрессии.
- Функции и графики.
- Текстовые задачи.
Контроль и система оценивания
Текущий контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися самостоятельных, практических и контрольных работ. Присутствует как качественная, так и количественная оценка деятельности.
Качественная оценка базируется на анализе уровня мотивации учащихся, их общественном поведении, самостоятельности в организации учебного труда, а так же оценке уровня адаптации к предложенной жизненной ситуации (сдачи экзамена по алгебре в форме ОГЭ). Количественная оценка предназначена для снабжения учащихся объективной информацией об овладении ими учебным материалом и производится по пятибалльной системе. Итоговый контроль реализуется в форме итоговой тестовой работы.
Примерное планирование итогового повторения курса алгебры 7–9-х классов
Количество часов – 34.
Вводный тест (диагностический)
Числа и выражения
Уравнения, системы уравнений
Неравенства, системы неравенств
Последовательности и прогрессии
Функции и графики
Текстовые задачи (классификация)
Обобщающая тестовая работа
Анализ обобщающей тестовой работы
Вводный тест (диагностический)
1. Найдите область определения функции
1) х ≥ 5; 2) х ≥ -5; 3) х ≥ 0; 4) х ≤ 5.
2. Разложите квадратный трёхчлен 5х 2 – 6х + 1 на множители
1) 5(х – 1)(5х – 1); 2) (х – 1)(5х – 1); 3) (х – 1)(х – 0,2); 4) (5х – 1)(х – 0,2).
3. Найдите координаты вершины параболы, заданной формулой у = 2х 2 – 8х + 6
1) (2; -2); 2) (-2; 30); 3) (2; 18); 4) (4; 6).
4. Решите неравенство 3х 2 – 4х – 7 < 0
1) 
2) (– ∞; +∞); 3) 
; 4) 
.
5. Ордината вершины параболы у = – (х + 6) 2 + 5 равна
1) – 5; 2) 5; 3) – 6; 4) 6.
6. Решением системы является пара чисел
1) (–5; –3); 2) (1; 3) и (–2; 0); 3) (1; –3); 4) (2; 0).
7. Шестой член арифметической прогрессии 1; –2; –5… равен
1) –14; 2) 12; 3) –15; 4) 16.
9. Знаменатель геометрической прогрессии 4; 12; 36… равен
1) 48; 2) 3; 3) – 8; 4) 8.
10. Найдите значение разности
1) – 63; 2) 3; 3) – 135; 4) – 3.
11. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Одна первая труба наполняет
бассейн на 5 часов быстрее, чем вторая. За какое время каждая труба, действуя
отдельно, может наполнить бассейн? Ответ________
Тест №1. «Числа и выражения»
1. Расположить числа в порядке убывания:
; – 0,75; 
; 0,55
1) – 0,75; ; 
; 0,55 2) ; 0,55; ; – 0,75 3) ; 0,55; – 0,75; 
2. Расположить числа в порядке возрастания:
; 
; 0,7; 0,3
1) ; ; 0,3; 0,7 2) 0,3; ; ; 0,7 3) 0,3; ; ; 0,7
3. Какому из данных промежутков принадлежит число ?
1) [0,4; 0,5] 2) [0,5; 0,6] 3) [0,6; 0,7] [0,7; 0,8]
4. Какое из чисел 
, 
, 
является иррациональным?
1) 2) 3) 
4) все эти числа
5. На координатной прямой отмечены числа а и b . Какое из следующих утверждений является верным?
1) ab › 0; 2) a + b ‹ 0; 3) b(b – a) ‹ 0; 4) a(a + b) ‹ 0.
6. Значение какого выражения меньше 1?
1) 
+ 
; 2) 
+ 
; 3) 0,75 + 
; 4) 0,9 + 
.
7. На коробке с тортом имеется надпись, гарантирующая, что масса торта равна 500 ± 15 г. Какую массу при этом условии не может иметь торт?
1) 505 г 2) 483 г 3) 515 г 4) 495 г
8. Найдите десятичную дробь, равную 56,48 · 10 -6 .
1) 0,05648 2) 0,005648 3) 0,00005648 4) 0,0000005648
9. Вычислите
1) 120; 2) 30; 3) 20; 4) 60.
10 . Какое из данных выражений не равно выражению ?
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
.
11. Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты.
А) 0,006 Б) В) 
Г) 0,06
1) 6% 2) 28% 3) 80% 4) 0,6%
12. Результаты районной контрольной работы по физике в 9 классе представили в виде диаграммы. Сколько учащихся получили отметку «2», если всего работу писали 400 девятиклассников?
13. Вычислить (5,5 
2 
) : 4 
1.
1) 
; 2) ; 3) 
; 4) 9 
.
Тест № 2. «Алгебраические выражения»
1. Найти значение выражения при а = 0,25; в = 0,05.
2. При каком из указанных значений х выражение не имеет смысла?
1) х = 4 2) х = 5 3) х = 5 4) х = 3
3. Для каждого выражения укажите его область определения
4. При каком значении переменной x выражение не имеет смысла?
1) 1; 2) 3; 3) 5; 4) 0.
5. Из формулы s = s 0 + vt выразите переменную v .
1) v = 
; 2) v = 
6. Из формулы 
выразить t .
1) 
2) ± 3) ± 
.
7. Для каждого выражения из первой строки укажите тождественно равное ему выражение из второй строки.
8. Представьте выражение в виде степени.
1) a 2 2) a -4 3) a 8 4) a -2
9. Найти значение выражения
10. Найдите значение выражения (2,4 · 10 -3 )·(3·10 -2 ).
1)7200000 2) 0,00072 3) 0,000072 4) 0,0000072
11. У Оли х открыток, у Тани у открыток, у Кати z открыток. Когда Оля и Катя сложили свои открытки вместе, оказалось, что их в 2 раза больше, чем у Тани. Составить буквенное выражение по условию задачи.
1) x + z = 2 y 2) x + 2 y = z 3 ) x – 2 y = z
12. В гараже выделили помещение для мойки машин (на рисунке оно показано штриховкой).Какова площадь S оставшейся части гаража?
A ) 
Б) 
В) 
13. Упростите выражение 
: 
.
1) 
2) – 
3) – 
4) 
14. Сократите дробь 
.
1) 
2) 
3) 
4) 
Тест № 3. «Уравнения, системы уравнений»
1. Какое из чисел является корнем уравнения х 3 – 2х 2 – 4х + 5 = 0?
1) 0 2) 1 3) 5 4) –1
2. Решите уравнение 4х 2 – 13х – 12 =0.
1) 0,75; 4 2) – 0,75; 4 3) 0,75; – 4 4) – 0,75; – 4
3. Решить уравнение .
1) – 9 2) – 6 3) 36
4. Соотнести квадратные уравнения и их корни.
А) 4х 2 + 4х – 15 = 0 Б) 2х 2 + 7= 0 В) 4х 2 – 9 = 0
1) –2,5; 1,5 2) –1,5; 1,5 3) 1,5; –2,5 4) корней нет
5. Найти значение р, если число –3 является корнем уравнения х 2 + рх – 12 = 0.
1) 9 2) –1 3) 1
6. Расстояние между пристанями на реке 12 км. Катер проплыл от одной пристани до другой и вернулся обратно, затратив на весь путь 2 ч 30 мин. Какова скорость течения реки (в км/ч), если собственная скорость катера равна 10 км/ч?
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначена скорость течения реки (в км/ч).
1) 
2) х = 
3) 
4) 
7. Найдите решение системы уравнений
1) (–2; 1) 2) нет решений 3) (–2; –1) 4) (1; –2)
8. Найдите координаты точки пересечения параболы у = х 2 – 5х и прямой у = 16 + х.
9. Сколько воды нужно добавить к 400 г 80%-ного раствора спирта, чтобы получить
50%-ный раствор спирта?
1) 200 2) 240 3) 160 4) 400
10. Цену товара сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20%, после чего она стала 6720 рублей. Найдите первоначальную цену товара.
Ответ:__________
11. Решите уравнение х 4 – 3х 3 + 4х 2 – 12х = 0
Тест 
№ 4. «Неравенства и системы неравенств»
1. На координатной прямой отмечены числа х, у и z . Какая из следующих разностей отрицательна?
1) х – у 2) у – х 3) z – у 4) z – х
2.Какое из перечисленных ниже неравенств не следует из неравенства ?
1) 
2) 
3) 
4) 
3. Решите неравенство 20 – 3(х + 5) < 1 – 7 x
4. Решите систему неравенств
5. На рисунке изображен график функции у = х 2 +2х.
Используя график, решите неравенство х 2 > – 2х
1) ( – 2; 0) 2) ( – ∞; – 2) 
(0; + ∞)
6. Решите неравенство 3х 2 – 7х + 2 > 0
1) решений нет 2) (– ∞; ) U (2; +∞) 3) ( ; 2) 4) (– ∞; 2)
7. Укажите неравенство, которое не имеет решений.
1) 
+ 5 ≥ 0 2) 
+ 5 ≤ 0
3) – 5 ≤ 0 4) – 5 ≥ 0
8. Решите неравенство
9. Найдите область определения выражения Ответ: —————————
Тест № 5. «Последовательности и прогрессии»
1. Последовательность чисел 
задана равенствами 
и 
при всех
n ≥ 2. Какое из указанных ниже чисел является членом этой последовательности?
1) 152 2) 55 3) 35 4) 25
2. Каждой последовательности, заданной формулой n -го члена, поставьте в соответствие верное утверждение.
А. xn = Б. yn = –5 + 2 n В. zn = 5 n +3
1) последовательность – геометрическая прогрессия
2) последовательность – арифметическая прогрессия
3) последовательность не является ни арифметической, ни геометрической прогрессией
3. Укажите, какая из нижеперечисленных последовательностей является арифметической прогрессией.
1) 2; 7; 11; 16;… 2) 5; 8; 11; 13;… 3) 7; 9; 10; 12;… 4) 10; 20; 30; 40;…
4. Геометрическая прогрессия ( bn ) задана условиями: b 1 , и bn +1 = bn· . Определите формулу n -го члена этой прогрессии.
1) bn = 
2) bn = 
3) bn = 
4) bn = 
5. За первый день работы рабочий изготовил 11 деталей. Каждый следующий день он изготавливал на 3 детали больше, чем за предыдущий. Сколько деталей изготовил рабочий за n -ый день?
6. В геометрической прогрессии b 1 = – 81 , q = . В каком случае при сравнении членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?
7. Сколько положительных членов в последовательности (с n ), заданной формулой
1) 4 2) 8 3) 9 4) 17
8. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 112, а сумма следующих трех ее членов равна 14. Найдите седьмой член прогрессии.
Ответ:______________
9. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 9 и не превосходящих 520?
10. Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходили на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?
Ответ:____________
Тест № 6 по теме «Функции и графики »
1. На рисунке изображён график функции y = f ( x ), областью определения, которой является промежуток [–4;4]. Используя рисунок, выясните, какое из утверждений неверно.
1) Если x = –2, то f(x) = 3
2) F ( – 3) f(3)
3) Наибольшее значение функции равно 4;
4) функция возрастает на промежутке [ – 4; – 1]
2. Функция задана формулой y = – 5 – 8 
Найдите значение функции при x = –1.
3. Найдите область определения функции
1) ( – ∞; 4) (4; +∞)
2) ( – ∞; – 4) ( – 4; +∞)
3) ( – ∞; – 4) ( – 4; 4) (4; +∞)
4. Найдите область определения функции у = .
1) х # 1 2) х # –1 3) х # 1 4) х – любое число
5. Укажите убывающую функцию на всей области определения:
6. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой.
А) y = ; Б) y = 2 – x 2 ; В) y = 2 x ; Г) y = 2 x +2.
1) 
2) 
3) 
4) 
6. . График какой из функций изображен на рисунке ?
у
1 
7. Укажите координаты вершины параболы y = x 2 – 6 x –7
1) (3; 16) 2) (– 3; 20) 3) (– 3; – 20) 4) (3; – 16)
8. Найдите сумму координат точки пересечения графиков функций
у = 
и у = 
.
9. На тренировке в 50-метровом бассейне пловец проплыл 200-метровую дистанцию. На рисунке изображен график зависимости расстояния s (в метрах) между пловцом и точкой старта от времени движения t (в секундах) пловца.
Определите по графику, за какое время пловец преодолел 130 метров.
10. Балкон имеет форму прямоугольника. С двух меньших сторон он утеплён одним слоем утеплителя, а с третьей стороны – двумя слоями. Площадь всего балкона у м 2 является функцией толщины слоя утеплителя х м. После утепления балкон имеет размеры
3,6 м х 1,8 м. Задайте эту функцию формулой и выберите её из предложенных формул.
1) у = (2х + 3,6)(1,8 + х)
2) у = (х + 3,6)(х + 1,8)
4) у = (2х + 3,6)(2х + 1,8).
При выполнении заданий 11-13 запишите решение.
11. Постройте график функции . Укажите наименьшее значение этой функции.
12. Найдите координаты точек пересечения параболы y = x 2 – 3 x + 2 с осями координат.
13. Определите графически число корней уравнения
Обобщающая тестовая работа в 9 классе (на 2 часа)
При выполнении заданий 1-16 необходимо указать только ответы.
1. Чему равно значение выражения (1,8∙10 -3 ) ∙ ( 3∙10 5 ) ?
1) 5400 2) 540 3) 54 4) 5,4
2. Какое из приведённых чисел является лучшим приближением числа ?
1) 3,1 2) 3,2 3)3,3 4)3,4
3. В саду растут 74 дерева. Из них 21 яблоня. Сколько примерно процентов яблонь растут в саду?
1) 35% 2) 28% 3) 3,5% 4) 0,28%
4. Найдите значение выражения при х = 0,04, у = 0,49.
5. Из формулы pV = RT выразите M
6. Найдите значение выражения ( m -6 ) -2 m -14 при m =
7. Упростите выражение
8. Найдите второй множитель в разложении на множители квадратного трехчлена:
4х 2 + 5х – 1 = (х + 1)(…)
9. Решите уравнение 2 x 2 – 5 x = 7
10. От турбазы до станции турист доехал на велосипеде за 4 ч. На мопеде он смог бы проехать это расстояние за 2 ч. Известно, что на мопеде он едет со скоростью, на 9 км/ч большей, чем на велосипеде. Чему равно расстояние от турбазы до станции?
Выберите уравнение, соответствующее условию задачи, если буквой х обозначено расстояние (в км) от турбазы до станции.
1) 4(х – 9) = 2х 2) 4х = 2(х + 9) 3) 
4) 
11. На координатной прямой отмечены числа c и d . Какое из следующих утверждений верно?
1) c + d > 0 2) cd > 0 3) c ( c + d ) > 0 4) d ( c + d ) >0
12. На рисунке изображены графики функций y = 3 − x 2 и y = −2x . Вычислите координаты точки B.
13. Для каждой системы неравенств укажите номер рисунка, на котором изображено множество её решений.
А) 
1) 
2)
Б)
3)
В) 
4) 
14. Решите неравенство 8х + 12 > 4 – 3(4 – х).
1) х > – 4 2) х < – 4 3) х > – 5,6 4) х < – 5,6
15. Для каждой арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена, укажите ее разность d. (В таблице под каждой буквой запишите номер ответа, под которым указана соответствующая разность).
1) d = – 7 2) d = 10 3) d = 4 4) d = 3
16. Укажите прямую, которая имеет две общие точки с графиком функции y = x 2 + 1.
17. Фирма «Связь» выпустила в продажу две новые модели телефонов – модель А и модель В. На графиках показано, как эти модели продавались в течении года. (По горизонтальной оси откладывается время, прошедшее с начала продаж – в месяцах, а по вертикальной – число телефонов, проданных за это время – в тыс. шт. ). Сколько всего телефонов этих двух моделей было продано за последние 4 месяца?
При выполнении заданий 18 – 20 запишите решение.
18. Сократите дробь 
19. Решите систему уравнений 
20. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором – 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
Важным условием успешной подготовки к экзаменам является не только тщательность в отслеживании результатов учеников по всем темам и в своевременной коррекции уровня усвоения учебного материала, но и мотивация учеников и их родителей. Обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий. Ученики обычно сами знают, какие задания для них являются наиболее сложными. Таких «слабых» мест следует избегать при выполнении теста. Сначала нужно выполнять задания, в которых школьник ориентируется хорошо. Задача учителя состоит в том, чтобы школьник самостоятельно сумел набрать максимально возможное для него количество баллов, поэтому изречение «лучше меньше, да лучше» здесь оказывается вполне справедливым. Обучение прикидке границ результатов, анализу ответа на предмет соответствия действительности, минимальной подстановке как приёму проверки ответа. Следует учить школьников простым для проверки результатов сразу, а не «если останется время». Необходимо после решения задания приучать учеников внимательно перечитывать условие и вопрос (что нужно было найти?). Поскольку в учебниках дополнительных действий с ответами (например, найти сумму корней, а не сами корни) практически не встречается, многие школьники не обращают на них внимания, записывая при верно решённом задании неправильный ответ. Необходимо учить технике выбора ответа методом «исключения» явно неверного ответа. Особое внимание следует уделять заданиям, в которых формулировка звучит как «Выберите из данных выражений те, которые можно (или нельзя) преобразовать к виду…..». Самое главное здесь обратить внимание на ключевые слова «можно» или «нельзя», иначе ответ может получиться совершенно противоположным. Обучение приёму «спирального движения» по тесту. Ученик, просматривая тест от начала до конца, отмечает для себя задания, которые кажутся ему простыми и понятными и выполняются сходу, без особых раздумий. Именно их школьник выполняет первыми. Затем необходимо «пробежать» глазами 2 часть работы и отметить 1-2 задания, которые поняли сразу, в этой части есть задания (например, №17), которые «средний» ученик решает без особого напряжения. К ним можно перейти, когда будет в основном закончена 1 часть работы. Затем можно перейти вновь к 1 части работы и попробовать выполнить задания, которые не «поддались» сразу. Если ученик не может и после этого выполнить какое-то задание 1 части, то после контроля времени (3-4 минуты), следует перейти к другому заданию сначала 1 части, а затем 2 части работы. Так необходимо делать несколько раз «по спирали» и делать то, что «созрело» к данному моменту. Подготовка ко второй части работы осуществляется как на уроках, так и во внеурочное время . Используются сборники для подготовки к экзаменам, рекомендованные ФИПИ , а также мы сотрудничаем с Московским институтом открытого образования (МИОО) в рамках системы СтатГрад. В своей работе активно использую ИКТ технологии (цифровые образовательные ресурсы, а также Интернет ресурсы), тесты в режиме он- лайн, которые очень эффективно помогают в подготовке к экзамену и мне, как учителю и моим ученикам. Неотъемлемым элементом подготовки к ОГЭ является обучение заполнению бланков. Учащиеся даже к концу 11 класса допускают ошибки при их заполнении во время предэкзаменационных работ, кто от волнения, кто по невнимательности. Конечно же, данная система требует большего количества времени учителя на подготовку к урокам, на проверку работ, на проведение дополнительных занятий. Но, если учитель заинтересован в результатах своего труда, то ему в любом случае необходимо совершенствовать систему контроля над уровнем знаний и умений учащихся.
Как показывает опыт работы, промежуточные результаты диагностики мало отличаются от результатов итоговой аттестации. Поэтому, основываясь на полученной информации, можно прогнозировать результаты ГИА каждого ученика и класса.
1. Математика: «Суперрепетитор», М: Издательство: Эксмо. 2006г. Авторы: Дорофеев Г.В., Седова Е.А., Шестоков Е.А.
2. Успешный старт. Алгоритмы – ключ к решению задач по алгебре 10-11 класс. М. Просвещение, 2009. Книга для учащихся общеобразовательных учреждений в 2 –х частях. Автор: Ж.Н. Михайлова.
3. Математика. Подготовка к ЕГЭ. Издательство Лицей. Саратов, 2004г. Автор: Алексеев И.Г.
4. Домашний репетитор. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Издательство Айрис ПРЕСС. г. Москва, 2007г.
5. Математика. Подготовка без репетитора. Авторы: А.А. Прокофьев, И.Б. Копсухов. Издательство «Махаон» г. Москва, 2006г.
6. Математика. ЕГЭ – 2010. Под редакцией Лысенко Ф.Ф. Тематические тесты. Издательство: «Легион». Ростов на Дону.
7. Федеральный институт педагогических измерений. ЕГЭ Математика — 2010г. Учебно – тренировочные материалы для подготовки учащихся. М: Издательство «Интеллект-Центр». Авторы: Денищева Л.О., Глазков Ю.А., Краснянская К.А., и др.