Когда можно делить уравнение

Однородные уравнения и неравенства

Слагаемые, которые делают уравнения (неравенства) не однородными – подчеркнуты.

Решение однородных уравнений

Хотя однородные уравнения и выглядят «большими» и «страшными», решить их не сложнее, чем биквадратные. Надо знать лишь об одной «фишке»: если поделить однородное уравнение на одночлен (без коэффициента ), то потом можно легко сделать замену переменных.

Пример. Решить уравнение \(\sin⁡x=\sqrt\cos⁡x\).

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Если \(\cos⁡x=0\), то \(\sin⁡x=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cos⁡x\)

Когда можно делить уравнение

Однородные уравнения

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х — cos х = 0,
sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0,
cos 2 х — sin х cos х = 0.

Это такие уравнения, все члены которых имеют одну и ту же общую степень относительно sin x и cos x. Например, все члены первого уравнения имеют общую степень 1, а все члены других двух уравнений — общую степень 2.

Решим уравнение sin х — cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, в данном случае
cos х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на cos 2 х. В результате получим tg x — 1 = 0, откуда

tg x = 1, х = π /₄ + 2nπ

Аналогично решается и уравнение sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos 2 х, получим:

tg 2 х — 5 tg х + 6 = 0; (tg x)₁ = 2; (tg x)₂ = 3.

x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos 2 х — sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на
cos 2 х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, sin х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin 2 х. В результате получим:

ctg 2 х — ctg х = 0,

откуда (ctg х)₁ = 0; (ctg х)₂ = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:

х = π /₂ + nπ и х = π /₄ + kπ

Некоторые тригонометрические уравнения, не являясь однородными, легко сводятся к однородным.

Например, если в уравнении

sin х cos x = 0,5

представить 0,5 в виде 0,5 (sin 2 х +cos 2 х), то получится однородное уравнение
sin х cos x = 0,5 sin 2 х + 0,5 cos 2 х Это уравнение предлагаем учащимся решить самостоятельно.

Упражнения

Решить уравнения:

1). 3 sin x — \ / 3 cos x = 0.
2). 2 cos x — \ / 2 sin x = 0.
3). 3sin x + 5 cos x = 0.
4). sin 2 x — (1 + \ / 3 ) sin x cos x + \ / 3 cos 2 x = 0.
5). sin 2 x — 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0.
6). \ / 3 sin 2 x — 4 sin x cos x + \ / 3 cos 2 x = 0.
7). 2sin x — cos x sin x = 0.
8). \ / 3 cos x + cos x sin x = 0.
9). cos x sin x = 1 /_{\ / 3} cos 2 x.
10). cos 2 x — 3 cos x sin x + 1 = 0.
11). sin 2 x + 3 cos 2 x — 2 sin x cos x = 5 — \ / 3 / ₂
12). sin x cos x = — 0,25.
13). sin x + cos x = \ / 2 .

Когда можно делить уравнение

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 4. Дополнительные замечания о решении уравнений.

Выше было сказано, что обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же количество. Говоря это, мы понимаем возможность этих действий в том смысле, что, производя их над данным уравнением, мы получаем новое уравнение, совместное с данным. Заметим теперь, что это указание верно только в том случае, когда множитель или делитель есть или явное количество, или хотя и неявное, но не содержит в себе той самой неизвестной буквы, которая входит в уравнение. Если дано выражение, содержащее то же неизвестное, как и в уравнении, то, вообще говоря, нельзя ни помножать уравнение на это выражение, ни делить на него. Поясним это на примерах:

Возьмем уравнение х = 2, которое очевидно имеет один только корень 2. Если мы умножим обе части его на х, то новое уравнение х 2 =2х не будет уже совместно с данным, потому что кроме прежнего корня 2, оно будет иметь еще корень 0, что обнаруживается и прямо из самаго уравнения, а также при решении полученного уравнения, если заменить его уравнением х 2 —2х=0 и написать последное в виде х(х—2)=0. Подобно этому, умножая данное уравнение х = 2 на выражение х—1, получаем новое уравнение
х 2 —2х=2х —2, совместное с уравнением (х—1)(х—2)=0 и имеющее два корня, прежний 2 и новый 1. Вообще при умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, в это уравнение вводятся посторонние корни, а именно те, которые обращают множитель в нуль.

ІІонятно, наоборот, что если мы имеем, напр., уравнение х 2 =3х , корни которого суть 0 и 3 и сократим его на х, то полученное от этого сокращеиия уравнение не будет совместно с данным, потому что оно имеет только один корень 3. Подобно этому, имея уравнение (х—2) 2 =2х—4, корни которого суть 2 и 4, и сократив обе части на х—2, мы теряем корень 2 и получаем уравнение х—2 = 2, имеющее только один корень 4. Вообще при со-кращении обеих частей уравнения на их общий множитель, содержащий неизвестное, теряются корни уравнения и именно те, которые обращают делитель в нуль.

В курсе алгебры доказывается, что уравнение можно умножать на множитель, содержащий неизвестное, только в том случае, когда этот множитель входит в знаменатель дроби, получившейся от соединения всех дробей, входящих в уравнение, в одну дробь, и после окончательного сокращения этой последней.Так, если уравнение имеет вид А+ В /_С=0, где А есть совокупность всех целых членов, а В /_С есть несократимая дробь, то, умножая на С, получим уравнение АС+В=0, совместное с данным. В противном случае, если дробь В /_С сократима, то необходимо сократить ее раньше уничтожения ее знаменателя, чтобы не внести в уравнение постороннего ему корня.

Обратно, только тогда можно разделить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, когда от этого получатся такие дроби, которые, будучи соединены все в одной части уравнения, дают в результате дробь, не сокращающуюся ни на какой множитель, содержащий неизвестное. В противном случае нужно при сокращении уравнения на делитель, заметить тот корень, который теряется при этом сокращении, и считать его в числе корней данного уравнения.

В нижеследующих задачах звездочкой обозначены те уравнения, при решении которых нужно принимать во внимаиие сделанные выше указания. Остальные задачи можно решать по обыкновенным правилам.

Уравнение: деление

“Уравнение с делением” — так называется тема, которую команда WoM Вам сегодня объяснит. Вспомним определение уравнения, компоненты деления и узнаем, как находить значение переменной в уравнении с делением.

Уравнение — это равенство, содержащее неизвестное число, которое обозначается буквой. Эта буква носит название “переменная”.
Решить уравнение — найти значение неизвестного числа, скрытого под переменной.

Вспомним, из каких компонентов состоит пример на деление:

10 : 2 = 5

10 — делимое;
2 — делитель;
5 — частное.

А теперь посмотрим, как может выглядеть уравнение с делением:

В данном уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, надо знать правило:

Если мы хотим найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Делимое — 14, частное — 7. Вычисляем.

Следующее действие — обязательная проверка. Вместо переменной ставим найденное число.

Всё сходится, значит, решение выполнено верно.

А вот несколько иной пример:

Здесь под переменной скрывается делимое. Для его нахождения правило, которым мы руководствовались в первом примере, не подойдёт. Потому что…

Для нахождения неизвестного делимого необходимо частное умножить на делитель.

Решение выполнено верно.

Чтобы закрепить знания по теме “Уравнение с делением”, предлагаем Вам решить следующие уравнения. Не забудьте про проверку!

х : 5 = 2 9 : х = 3
х : 6 = 3 21 : х = 7

Решить уравнения на умножение и деление Ваш ребёнок может в онлайн-школе математики World of Math. Педагоги с многолетним стажем, интерактивные уроки, подход к каждому ученику и заинтересованность в его прогрессе — положительные отзывы и результаты наших школьников подтверждают успешность принципов работы WoM.

Если Вы ещё не с нами — присоединяйтесь, как это сделали более 1400 учеников! Первый урок абсолютно бесплатный. Записаться на него можно здесь.