Особая точка (дифференциальные уравнения)
В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.
В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.
Особые точки векторных полей на плоскости
Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:
,
где 
— точка на плоскости, 
— матрица 
. Очевидно, точка 
в случае невырожденной матрицы является единственной особой точкой такого уравнения.
В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.
| Тип собственных значений | Тип особой точки | Тип фазовых траекторий | Вид фазовых траекторий |
|---|---|---|---|
| Чисто мнимые | Центр | окружности, эллипсы | |
| Комплексные с отрицательной действительной частью | Устойчивый фокус | Логарифмические спирали | |
| Комплексные с положительной действительной частью | Неустойчивый фокус | Логарифмические спирали | |
| Действительные отрицательные | Устойчивый узел | параболы | |
| Действительные положительные | Неустойчивый узел | параболы | |
| Действительные разных знаков | Седло | гиперболы |
- Дифференциальные уравнения
- Динамические системы
Wikimedia Foundation . 2010 .
11 Особые точки нелинейных систем на плоскости
В предыдущей главе мы обсудили, как устроены особые точки линейных систем на плоскости. Но что мы будем делать, если нам встретится нелинейное уравнение?
11.1 Линеаризация особой точки
Рассмотрим систему
˙ x = f ( x , y ) , ˙ y = g ( x , y ) . (11.1)
Пусть точка z ∗ = ( x ∗ , y ∗ ) является положением равновесия, то есть особой точкой нашей системы. В этом случае f ( x ∗ , y ∗ ) = 0 и g ( x ∗ , y ∗ ) = 0 . Чтобы не писать каждый раз две переменные, введём векторные обозначения: z = ( x , y ) и F ( z ) = ( f ( z ) , g ( z ) ) . Система принимает вид
˙ z = F ( z ) (11.2)
Мы предполагаем, что функции f и g по крайней мере C 1 -гладкие (то есть имеют непрерывные частные производные) и значит отображение F является дифференцируемым. Из определения производной для функции нескольких переменных следует, что
F ( z ) = F ( z ∗ ) + ∂ F ∂ z ∣ ∣ ∣ z = z ∗ ( z − z ∗ ) + o ( ∥ z − z ∗ ∥ ) . (11.3)
Здесь ∂ F ∂ z — матрица Якоби для отображения F , то есть матрица, составленная из частных производных функций f и g . Обозначим эту матрицу через A :
A = ( f ′ x ( x ∗ , y ∗ ) f ′ y ( x ∗ , y ∗ ) g ′ x ( x ∗ , y ∗ ) g ′ y ( x ∗ , y ∗ ) ) .
Заметим, что в (11.3) слагаемое F ( z ∗ ) равно нулю, поскольку z ∗ является особой точкой.
Сделаем замену переменных: w = ( u , v ) = z − z ∗ = ( x − x ∗ , y − y ∗ ) . Таким образом мы перенесли особую точку в начало координат. Соотношение (11.3) принимает вид
F ( z ∗ + w ) = A w + o ( ∥ w ∥ ) . (11.4)
И уравнение (11.2) записывается таким образом:
˙ w = A w + o ( ∥ w ∥ ) . (11.5)
Если отбросить второе слагаемое o ( ∥ w ∥ ) , малое по сравнению с первым, получится система
˙ w = A w , (11.6)
являющаяся линейной. Она называется линеаризацией нелинейной системы (11.2) в особой точке z = z ∗ .
Как связаны решения нелинейной системы с решениями её линеаризации в окрестности особой точки? Отброшенное при переходе к линеаризации слагаемое является очень маленьким, и чем ближе мы к особой точке, тем оно меньше. Можем ли мы им пренебречь, если нас интересует поведение системы вблизи особой точки, по крайней мере, на каком-то качественном уровне? Оказывается, ответ зависит от типа получившейся линейной особой точки.
11.2 Свойства нелинейных особых точек
Говорят, что нелинейная особая точка является, например, центром по линейным членам, если её линеаризация является центром. Аналогично с другими типами особых точек.
Если говорить коротко, то фазовые портреты особых точек, являющихся узлами, фокусами или сёдлами по линейным членам, очень похожи на фазовые портреты своих линеаризаций. Для точек с линеаризацией «центр» это утверждение неверно. Ниже мы сформулируем что это значит более строго.
11.2.1 Невырожденный узел
Фазовые портреты линейных узлов выглядят по-разному в зависимости от типа узла. Если узел невырожденный, то есть собственные значения различны и существуют два разных собственных вектора, то почти все траектории стремятся к особой точке (в прямом или обратном времени), касаясь того собственного вектора, чьё собственное значение меньше по модулю. Фазовые кривые похожи на ветви парабол. Исключение составляют траектории с начальными условиями, лежащими на том собственном векторе, у которого собственное значение больше по модулю.
Например, у системы
˙ x = x , ˙ y = 2 y
собственные векторы — ( 1 , 0 ) с собственным значением 1 и ( 0 , 1 ) с собственным значением 2. Решением является вектор-функция, задаваемая компонентами x ( t ) = x 0 e t , y ( t ) = y 0 e 2 t . При x 0 ≠ 0 траектория лежит на параболе
y = y 0 x 2 0 x 2
и стремится к началу координат в обратном времени (при t → − ∞ ), касаясь горизонтального направления (то есть направления собственного вектора с меньшим по модулю собственным значением). Исключением являются траектории с x 0 = 0 : они стремятся к нулю вдоль вертикального направления (то есть вдоль собственного вектора с большим собственным значением).
Теорема 1. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся невырожденным узлом по линейным членам, почти все фазовые кривые стремятся к особой точке, касаясь собственного вектора с меньшим по модулю собственным значением. Исключением является сама особая точка и ещё две специальные траектории, касающиеся другого собственного вектора.
Эту и следующие теоремы можно было бы вывести из так называемой теории нормальных форм, но это выходит за рамки нашего курса. Поэтому мы ограничимся примерами.
Пример 1. Построим фазовый портрет системы
< ˙ x = 2 x + 3 y + 0 , 3 x 2 + 0 , 2 y 2 ˙ y = x + 4 y + 0 , 1 x 2
вблизи особой точки ( 0 , 0 ) . Её линеаризация в этой точке имеет матрицу из примера 1 предыдущей главы.
Собственные значения 1 и 5 , собственные векторы ( − 3 , 1 ) и ( 1 , 1 ) . На рис. 11.1 видно, что почти все отмеченные траектории касаются вектора ( − 3 , 1 ) .
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.figure(figsize=(12, 6)) theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1) r = 3 u = 1.5 * np.cos(theta) * r v = 4 * np.sin(theta) * r C = np.array([[-3, 1], [1, 1]]) def linear(X, t=0): return np.array([2 * X[0] + 3 * X[1], X[0] + 4 * X[1]]) def non_linear(X, t=0, linear=linear): return linear(X) + np.array([0.3 * X[0]**2 + 0.2 * X[1]**2, 0.1 * X[0]**2]) plt.subplot(122) ob.axes4x4(labels=('x','y')) ob.phaseportrait(linear, (0.25 * C @ np.array([u, v])).T, [-2, 2], n=50, linewidth=1.5) plt.arrow(0,0,-3,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2) plt.arrow(0,0,1,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2) plt.subplot(121) ob.axes4x4(labels=('x','y')) ob.phaseportrait(non_linear, (0.25 * C @ np.array([u, v])).T, [-2, 0.3], n=50, linewidth=1.5) plt.arrow(0,0,-3,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2) plt.arrow(0,0,1,1,head_width=0.2, head_length=0.3,color='olive',lw=2)Рис. 11.1: Фазовые портреты нелинейного узла (слева) и его линеаризации (справа) в малой окрестности особой точки ( 0 , 0 ) .
Заметим, что фазовые портреты похожи только в небольшой окрестности особой точки. Если мы удаляемся от особой точки, то нелинейные слагаемые начинают играть всё большую роль, и фазовые портреты сильно различаются, см. рис. 11.2 .
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py def linear(X, t=0): return np.array([2 * X[0] + 3 * X[1], X[0] + 4 * X[1]]) def non_linear(X, t=0, linear=linear): return linear(X) + np.array([0.3 * X[0]**2 + 0.2 * X[1]**2, 0.1 * X[0]**2]) plt.figure(figsize=(12, 6)) xmin, xmax, ymin, ymax = -10, 10, -10, 10 x = np.linspace(xmin, xmax, 500) y = np.linspace(ymin, ymax, 500) X, Y = np.meshgrid(x, y) U, V = linear([X, Y]) plt.subplot(121) ob.axes4x4(labels=('x', 'y'), xmin=xmin, xmax=xmax, ymin=ymin, ymax=ymax, fontsize=14) plt.streamplot(x, y, U, V) plt.subplot(122) ob.axes4x4(labels=('x', 'y'), xmin=xmin, xmax=xmax, ymin=ymin, ymax=ymax, fontsize=14) U_, V_ = non_linear([X, Y]) plt.streamplot(x, y, U_, V_)Рис. 11.2: Фазовые портреты нелинейной системы (справа) и её линеаризации (слева) в большой окрестности начала координат
11.2.2 Дикритический узел: скалярная матрица
Если собственные значения совпадают и матрица линеаризации является скалярной (то есть тождественной умноженной на число), то все фазовые траектории (кроме особой точки) — лучи прямых, каждая стремится к особой точке под собственным углом. Для соответствующей нелинейной системы траектории не обязаны быть лучами прямых, но характеристическое свойство — стремиться к особой точке под своим собственным углом — у них сохраняется.
Теорема 2. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся дикритическим узлом по линейным членам, все траектории (кроме самой особой точки) стремятся к особой точке, каждая под своим собственным углом. Для всякого ненулевого вектора, приложенного к началу координат, существует единственная траектория, касающееся этого вектора при t → + ∞ или t → − ∞ .
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.figure(figsize=(12, 6)) theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1) r = 4 x = np.cos(theta) * r y = np.sin(theta) * r plt.subplot(122) ob.axes4x4(labels=('x', 'y')) ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0], X[1]]), np.array([x, y]).T, [-4, 2], n=50, linewidth=1.5) plt.subplot(121) ob.axes4x4(labels=('x', 'y')) ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([X[0] - 0.2*X[0]**2, X[1]]), np.array([x, y]).T, [-4, 0.2], n=50, linewidth=1.5)Рис. 11.3: Нелинейный дикритический узел (слева) и его линеаризация (справа).
11.2.3 Вырожденный узел: жорданова клетка
Если собственные значения совпадают, но матрица не является скалярной, то она в некотором базисе является жордановой клеткой. У неё есть единственный собственный вектор и все траектории такой системы, кроме особой точки, стремятся к особой точке, касаясь этого собственного вектора.
Теорема 3. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся вырожденным узлом по линейным членам, все траектории (кроме самой особой точки) стремятся к особой точке, касаясь единственного собственного вектора матрицы линеаризации.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.figure(figsize=(12, 6)) y = np.linspace(-4, 4, 21) x = y * 0.2 plt.subplot(122) ob.axes4x4(labels=('x', 'y')) ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([- X[0] + 3 * X[1], -X[1]]), np.array([x, y]).T, [-2, 4], n=50, linewidth=1.5) plt.subplot(121) ob.axes4x4(labels=('x', 'y')) ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array([- X[0] + 3 * X[1] + 0.1*X[1]**2, -X[1] + 0.05 * X[0] ** 2]), np.array([x, y]).T, [-2, 4], n=50, linewidth=1.5)Рис. 11.4: Нелинейный вырожденный узел (слева) и его линеаризация (справа) в малой окрестности особой точки.
11.2.4 Фокус
В отличие от узлов, траектории фокусов стремятся к особой точке, не касаясь какого-то направления, а совершая бесконечное число оборотов вокруг особой точки. Аналогичное утверждение справедливо и для соответствующих нелинейных систем.
Теорема 4. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся фокусом по линейным членам, все траектории (кроме самой особой точки) являются спиралями, совершающими бесконечное число оборотов при при t → + ∞ или t → − ∞ .
11.2.5 Седло
У сёдел есть два вещественных собственных значения разных знаков и, соответственно, два собственных вектора. Их фазовые кривые — ветви гипербол, кроме самой особой точки и четырёх прямолинейных лучей, называющихся сепаратрисами. Две сепаратрисы стремятся к седлу при t → + ∞ вдоль собственного вектора с отрицательным собственным значениям (такие сепаратрисы называются входящими), две другие сепаратрисы стремятся к седлу при t → − ∞ вдоль собственного вектора с положительным собственным значением (это исходящие сепаратрисы).
Например, для простейшего случая
˙ x = x , ˙ y = − y
входящие сепаратрисы — лучи x = 0 , y > 0 и x = 0 , y < 0 , а исходящие — лучи x >0 , y = 0 и x < 0 , y = 0 .
У соответствующей нелинейной особой точки также существуют сепаратрисы. Они не обязаны быть прямыми, но обязаны касаться собственных векторов.
Теорема 5. Вблизи нелинейной особой точки, являющейся седлом по линейным членам, существуют две траектории, стремящиеся к особой точке при t → + ∞ , касаясь собственного вектора с отрицательным собственным значением, и ещё две траектории, стремящиеся к особой точке при t → − ∞ , касаясь собственного вектора с положительным собственным значением. Эти траектории называются сепаратрисами нелинейного седла.
Это — знаменитая теорема Адамара — Перрона, первый результат так называемой гиперболической динамики.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py from itertools import product from scipy.integrate import odeint from scipy.optimize import bisect C = np.array([[2, 1], [1, -1]]) A = C @ np.diag([1, -1]) @ np.linalg.inv(C) def find_sep(f, init_func, test_func, T=10): def my_test(s): init = init_func(s) out = odeint(f, init, [0, T])[1] return test_func(out) return init_func(bisect(my_test, 0, 1)) def linear_homotopy(A, B, s): return A*(1-s) + B*s def linear(X, t=0): return np.tensordot(A, X, axes=(1, 0)) def non_linearity(X): return np.array([0.2*X[0]**2, -0.1*X[0]**2]) def non_linear(X, t=0): return linear(X) + non_linearity(X) def draw_seps(field): stable_sep_inits = [find_sep(field, lambda s: linear_homotopy(*endpoints, s), lambda X: X[0] + X[1], T=20) for endpoints in np.array([[[-3, 0], [0, 3]], [[0, -3], [3, 0]]])] unstable_sep_inits = [find_sep(lambda X, t: -field(X, t), lambda s: linear_homotopy(*endpoints, s), lambda X: X[0] - X[1], T=20) for endpoints in np.array([[[-3, 0], [0, -3]], [[0, 3], [3, 0]]])] ob.phaseportrait(field, stable_sep_inits, t=(-1, 5), color='green') ob.phaseportrait(field, unstable_sep_inits, t=(-5, 1), color='red') plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.subplot(122) ob.axes4x4(labels=('x','y'), fontsize=14) x = np.linspace(-4, 4) y = np.linspace(-4, 4) Z = np.meshgrid(x, y) W = linear(Z) plt.streamplot(*Z, *W) draw_seps(linear) plt.subplot(121) ob.axes4x4(labels=('x','y'), fontsize=14) W_ = non_linear(Z) plt.streamplot(*Z, *W_) draw_seps(non_linear)Рис. 11.5: Фазовый портрет нелинейного седла (слева) и его линеаризации (справа). Зелёным выделены входящие сепаратрисы, красным исходящие.
11.2.6 Центр
Во всех предыдущих примерах было справедливо неформальное утверждение «фазовый портрет вблизи нелинейной особой точки качественно похож на фазовый портрет линеаризации». Для центров это утверждение неверно. Фазовые кривые линейного центра обязательно замкнуты. Фазовые кривые соответствующей нелинейной особой точки могут быть спиралями.
Пример 2. Рассмотрим систему
< ˙ x = y − ( x 2 + y 2 ) x ˙ y = − x − ( x 2 + y 2 ) y (11.7) Её линеаризация в нуле имеет матрицу с собственными значениями + i и − i , то есть соответствует центру.
Чтобы построить фазовый портрет системы, перейдём в полярные координаты. Нам будет проще работать не с полярным радиусом, а с его квадратом: ρ = x 2 + y 2 . Вычислим производную функции ρ вдоль векторного поля, заданного системой (11.7) :
˙ ρ = 2 x ˙ x + 2 y ˙ y = 2 x ( y − ( x 2 + y 2 ) x ) + 2 y ( − x − ( x 2 − y 2 ) y ) = − ( x 2 + y 2 ) 2 = ρ 2 .
Таким образом, имеем уравнение на ρ :
Решение этого уравнения можно найти явно, но нам достаточно того факта, что правая часть всегда отрицательна (кроме точки ρ = 0 ) и следовательно ρ будет монотонно убывать. То есть траектория будет приближаться к началу координат.
Можно также найти уравнение на полярный угол θ = arctan ( y / x ) . Напоминим, что ( arctan z ) ′ = 1 / ( 1 + z 2 ) . Значит по теореме о производной сложной функции: ˙ θ = ˙ y x − ˙ x y x 2 ⋅ 1 1 + y 2 x 2 = = ( − x − ( x 2 + y 2 ) y ) x − ( y − ( x 2 + y 2 ) x ) y x 2 + y 2 = − x 2 − y 2 x 2 + y 2 = − 1 Уравнение на θ имеет вид
Таким образом, двигаясь по траектории, точка приближается к началу координат, при этом её полярный угол равномерно уменьшается. Значит, эта траектория — спираль, наматывающаяся на особую точку, см. рис. 11.6 .
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.figure(figsize=(6, 6)) ob.axes4x4(labels=("x", "y"), xmin=-1, xmax=1, ymin=-1, ymax=1) theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 4 * 5 + 1) r = 1 x = np.cos(theta) * r y = np.sin(theta) * r c = 1 ob.phaseportrait(lambda X, t=0: np.array( [-X[1] - c*X[0]*(X[0]**2 + X[1]**2), X[0] - c*X[1]*(X[0]**2 + X[1]**2)]), np.array([x, y]).T, t=(-0.09, 200), n=5000, head_width=0.04, head_length=0.07, linewidth=1.5) plt.plot([0], [0], marker='o', mew=2, lw=0, markersize=5, markerfacecolor='white', markeredgecolor='steelblue')Рис. 11.6: Медленный фокус.
Такая особая точка похожа на фокус, хотя её линеаризация является центром. Она называется медленным фокусом.
11.3 Пример исследования нелинейной особой точки
Рассмотрим систему
< ˙ x = ln ( x 2 / 8 + 1 / 2 ) ˙ y = arctan ( x + y + 1 ) (11.8) Найдём её особые точки. Приравнивая правые части к нулю, получаем такую систему: < ln ( x 2 / 8 + 1 / 2 ) = 0 arctan ( x + y + 1 ) = 0 (11.9)
Из первого уравнения мгновенно следует, что x = ± 2 . Подставляя эти значения для x во второе уравнение находим y и видим, что у системы есть две особые точки: ( 2 , − 3 ) и ( − 2 , 1 ) . Матрица Якоби имеет вид:
⎛ ⎜ ⎝ x x 2 / 2 + 4 0 1 1 + ( x + y + 1 ) 2 1 1 + ( x + y + 1 ) 2 ⎞ ⎟ ⎠ (11.10)
Рассмотрим точку ( 2 , − 3 ) . Подставляя её в матрицу Якоби, получаем матрицу линаризации:
( 1 / 3 0 1 1 )
Эта матрица нижнетреугольная и значит её собственные значения стоят на диагонали. Они равны 1 / 3 и 1 . Следовательно соответствующая особая точка является неустойчивым узлом.
Собственные векторы равны ( − 2 , 3 ) и ( 0 , 1 ) . Первый из них имеет меньшее собственное значение, поэтому почти все траектории будут его касаться, стремясь к особой точке в обратном времени.
Вопрос 1. Какой тип имеет вторая особая точка?
Неверный ответ. А вот и нет
Неверный ответ. Нет, не фокус
Неверный ответ. Нет.
Верный ответ. Да! Собственные значения − 1 / 3 и 1 . А фазовый портрет в целом выглядит вот так.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.figure(figsize=(6, 6)) ob.axes4x4(labels=('x', 'y')) x = np.linspace(-4, 4) y = np.linspace(-4, 4) X, Y = np.meshgrid(x, y) plt.streamplot(x, y, np.log(X**2/8 + 0.5), np.arctan(Y+X+1)) plt.plot([-2, 2], [1, -3], marker='o', mew=2, lw=0, markersize=5, markerfacecolor='white', markeredgecolor='steelblue')Замечание 1. Представленный способ анализа нелинейных особых точек работает только в том случае, когда линаризация имеет невырожденную матрицу. Особые точки, матрица линеаризации которых вырождена, то есть имеет нулевые собственные значения, могут иметь более сложные фазовые портреты. Существуют математические методы, которые позволяют исследовать и их тоже, но обсуждение этих методов выходит за рамки нашего курса.
Пример 3. В качестве примера приведём фазовые портреты двух систем с нулевой линеаризацией, см. рис. 11.8 . ˙ x = x 2 − y 2 , ˙ y = − 2 x y ; ˙ x = x 2 − y 2 , ˙ y = 2 x y . (11.11) (11.12)
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import qqmbr.odebook as ob # see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py plt.figure(figsize=(12, 6)) x = np.linspace(-4, 4) y = np.linspace(-4, 4) X, Y = np.meshgrid(x, y) plt.subplot(121) ob.axes4x4(labels=('x', 'y')) plt.streamplot(x, y, X**2 - Y**2, -2*X*Y) plt.subplot(122) ob.axes4x4(labels=('x', 'y')) plt.streamplot(x, y, X**2 - Y**2, 2*X*Y)Рис. 11.8: Фазовые портреты систем (11.11) (слева) и (11.12) (справа)
Упражнение 1. Вы можете найти уравнения фазовых кривых для этих систем с помощью перехода к неавтономному уравнению (как обсуждалось в разделе 4.4 ) и замены z = y / x .
Замечание 2. С помощью линеаризации можно понять, как выглядит фазовый портрет вблизи каждой из особых точек, но получить надежную информацию о том, что происходит между ними, как ведут себя траектории, выходя из этих окрестностей, и как выглядит глобальная картинка мы не можем. В общем случае точное построение фазового портрета нелинейной системы является исследовательской задачей, не имеющей универсального решения. Однако на практике можно получить приближенные решения и слелать какие-то выводы с помощью численных методов.
11.4 Выводы
Фазовые портреты нелинейных систем на плоскости можно исследовать, переходя к линеаризации. Для этого надо вычислить матрицу Якоби правой части системы в особой точке — она и будет матрицей линеаризованной системы. Если линеаризация имеет особую точку типа узел, фокус или седло, фазовый портрет исходной (нелинейной) системы в окрестности особой точки похож на фазовый портрет линеаризации. Для центров это неверно: центры по линейным членам могут выглядеть как фокусы. К особым точкам с вырожденной матрицей линеаризации этот метод неприменим.
Дифференциальные уравнения на плоскости изучены относительно неплохо: хотя нахождение точных решенений конкретного уравнения может составлять сложную (или даже нерешенную) проблему, в целом человечество понимает, какие эффекты в этом мире встречаются и чего от таких уравнений можно ждать. Переход к пространствам больших размерностей принципиально усложняет динамику: мы далеки от полного понимания нелинейных уравнений уже с трёхмерным фазовым пространством. Однако линейные системы в любой размерности анализируются сравнительно несложно. Ими мы и займёмся в следующей главе.
Особая точка
Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой функция недифференцируема).
Особенности в комплексном анализе
Основная статья: Особенность (комплексный анализ)
Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (более общо: аналитических) функций — точки комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна, но не являться аналитичной.
Особенности в действительном анализе
| Функция f(x) = 1 / x имеет особую точку в нуле, где она стремится к положительной бесконечности справа и к отрицательной бесконечности — слева (точка разрыва второго рода). | · | Функция g(x) = | x | также имеет особенность в нуле, где она недифференцируема. |
| График, определённый выражением y 2 = x , имеет в нуле особенность — вертикальную касательную. | Кривая, заданная уравнением y 2 = x 3 + x 2 , имеет в (0,0) особенность — точку самопересечения. |
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Улица Академика Павлова
- Краматорский металлургический завод
Полезное
Смотреть что такое «Особая точка» в других словарях:
- ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия
- ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в которой нарушается аналитичность функции … Большой Энциклопедический словарь
- особая точка — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN singular point … Справочник технического переводчика
- Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия
- ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
- особая точка — аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции. * * * ОСОБАЯ ТОЧКА ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции … Энциклопедический словарь
- особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point particulier, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas
- особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point singulier, m … Fizikos terminų žodynas
- Особая точка функции — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия
- Особая точка дифференциального уравнения — У термина «особая точка» существуют и другие значения. В математике, особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Траектория соответствующего автономного обыкновенного дифференциального уравнения,… … Википедия
- Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
- �� Путешествия
Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.
- Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
- Искать во всех словарях
- Искать в переводах
- Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории
Что такое особая точка
Особые точки векторных полей на плоскости (МЕДВЕДЕВА Н.Б. , 1999), МАТЕМАТИКА
Описан универсальный метод исследования качественного поведения траекторий векторного поля на плоскости в окрестности как угодно сложной особой точки.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ НА ПЛОСКОСТИ
Челябинский государственный университет
Векторное поле на плоскости с координатами (x, y) задается парой функций u1(x, y), u2(x, y). Это означает, что в точке плоскости с координатами (x, y) приложен вектор V(x, y) = (u1(x, y), u2(x, y)).
Траекторией векторного поля V называется кривая g(t) = (x(t), y(t)), t — вещественный параметр, такая, что функции x(t) и y(t) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
Траектория векторного поля в каждой точке (x, y) касается вектора поля V(x, y). Мгновенная скорость движения по траектории в точке (x, y) равна длине вектора V(x, y).
О векторных полях, физическом смысле связанных с ними понятий, а также о качественных методах исследования см., например, [1].
А. Пуанкаре принадлежит тезис о том, что для качественного исследования некоторого дифференциального объекта удобно привести его к более простому виду с помощью подходящей замены переменной.
x = x(u, u), y = y(u, u)
в векторном поле V (или, что то же самое, в системе (1)) производится в соответствии с правилами дифференцирования сложной функции:
есть матрица Якоби замены переменных (2).
Рассмотрим задачу о построении локального фазового портрета векторного поля: требуется исследовать качественное поведение траекторий векторного поля вблизи фиксированной точки плоскости, причем нас будут интересовать только формы траекторий, но не скорость и не направление движения по ним.
Точка плоскости (x0 , y0) называется особой точкой векторного поля V или положением равновесия, если V(x0 , y0) = (0, 0). В противном случае точка (x0 , y0) называется неособой точкой векторного поля V. В некоторой окрестности неособой точки существует замена переменных, переводящая исходное векторное поле в векторное поле V0 = (1, 0). Траектории последнего векторного поля параллельны оси абсцисс. Поэтому и траектории исходного векторного поля вблизи неособой точки ведут себя подобно параллельным прямым. Поведение же траекторий в окрестности особой точки может быть весьма сложным.
Пример: линейные системы. Рассмотрим линейную систему на плоскости с невырожденной матрицей A. Начало координат является единственной особой точкой такой системы. В силу невырожденности системы оба собственных значения l1 и l2 матрицы A отличны от нуля. Поведение траекторий линейных невырожденных систем на плоскости изучают в университетском курсе обыкновенных дифференциальных уравнений [2]. Все возможные фазовые портреты в окрестности начала координат для такой системы изображены на рис. 1, а-г.
Рассмотрим гладкое векторное поле в окрестности особой точки на плоскости. Далее будем считать, что особая точка расположена в начале координат. Пусть A — матрица линейной части векторного поля в особой точке:
где второе слагаемое стремится к нулю быстрее, чем вектор (x, y). Это означает, что векторное поле вблизи особой точки «почти» линейно.
Особая точка векторного поля называется:
— элементарной, если по крайней мере одно из собственных значений матрицы линейной части векторного поля в этой особой точке отлично от нуля;
— невырожденной, если оба собственных значения отличны от нуля. Всякая невырожденная особая точка является элементарной. В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что в случае, когда вещественные части собственных значений невырожденной особой точки отличны от нуля, поведение траекторий в ее окрестности такое же, как у линейной части векторного поля, то есть возможны случаи, изображенные на рис. 1, а-в. В случае центра по линейным членам (то есть когда l1, 2 = ? ib — чисто мнимые числа) ситуация не столь проста. При одной и той же линейной части возможны и центр и фокус. Алгоритм различения центра и фокуса в случае центра по линейным членам восходит к А. Пуанкаре и А. Ляпунову и является классическим. Мы не будем на нем останавливаться, поскольку основной целью нашего исследования являются более сложные особые точки, не поддающиеся исследованию классическими методами.
Список элементарных особых точек, не являющихся невырожденными, следующий:
1) вырожденный узел (пример: );
2) вырожденное седло (пример: );
3) седло-узел (пример: ).
Поведение траекторий в первых двух случаях качественно такое же, как в случае невырожденного узла и седла. Седло-узел изображен на рис. 1, д.
Элементарные особые точки являются как бы кирпичиками, на которые может быть «рассыпана» как угодно сложная особая точка. Точный смысл этого высказывания станет ясен ниже.
Для того чтобы исследовать окрестность неэлементарной особой точки, применяют так называемый метод раздутия особенностей. Существуют различные варианты этого метода. Суть его состоит в следующем. Особая точка заменяется некоторой кривой типа окружности с углами. Окрестность особой точки превращается в полуокрестность этой кривой с помощью одной или нескольких замен переменных специального вида. Векторные поля, полученные после замен переменных и определенные в различных кусках полуокрестности «ломаной окружности», имеют только элементарные особые точки. В окрестности каждой такой особой точки можно нарисовать фазовый портрет. Затем спроектировать эти картинки в окрестность исходной особой точки и получить фазовый портрет в ней (рис. 2).
Наиболее распространенными вариантами метода раздутия особенностей являются:
1) переход к полярным координатам (Ф. Дюмортье);
3) метод диаграмм Ньютона [3, 4].
Первый вариант использует трансцендентные функции. Во втором картинки после раздутия расположены на двумерных неориентируемых многообразиях в трехмерном пространстве. Третий метод хорош тем, что использует степенные замены переменных, а после раздутия получаются плоские картинки, к тому же он является более быстрым, чем первые два.
Поясним метод диаграмм Ньютона на простом примере.
Рассмотрим систему уравнений, зависящую от нескольких параметров:
Умножим первое уравнение системы на y, а второе — на x:
На плоскости переменных (i, j) отметим показатели всех мономов xiy j правой части: (2, 2), (1, 3), (0, 4), (6, 0) (рис. 3, а). Полученное множество, состоящее из четырех точек, называется носителем системы (3). Каждой точке носителя системы соответствует набор коэффициентов мономов правой части, который называется векторным коэффициентом. Например, точке (2, 2) соответствует векторный коэффициент (a, b). Ломаная, которая является огибающей полученного множества, называется многоугольником Ньютона системы (3), а та ее часть, которая «смотрит» на начало координат (в нашем случае состоящая из двух ребер), называется диаграммой Ньютона системы (3) (рис. 3, а).
Диаграмма Ньютона отражает сложность особой точки. Чем «меньше» диаграмма Ньютона, тем «проще» особая точка. Например, компоненты векторного поля, диаграмма Ньютона которого состоит из одной точки и изображена на рис. 3, б, имеют вид
V1(x, y) = x(l1 + f1(x, y)), V2(x, y) = y(l2 + f2(x, y)),
где f1(0, 0) = f2(0, 0) = 0. Поэтому (l1 , l2) — набор собственных значений линейной части этого поля. Так как (l1 , l2) ? (0, 0), то особая точка элементарная.
Как же «уменьшить» диаграмму Ньютона? Попытаемся это сделать с помощью степенных замен переменных.
СТЕПЕННЫЕ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННЫХ
Замены переменных вида
замечательны тем, что при таких заменах показатели степеней мономов в правой части системы преобразуются линейным образом и, значит, диаграмма Ньютона претерпевает линейные преобразования. Поэтому мы можем подобрать линейное преобразования так, чтобы новая особая точка имела «меньшую» диаграмму Ньютона, а значит, стала бы проще исходной.
Предложение 1. Если — матрица показателей замены (4), то в результате замены (4) точка носителя (i, j ) переходит в точку носителя новой системы с координатами где CT — транспонированная матрица, а (I, J ) — целочисленный вектор. Векторные коэффициенты точек носителя претерпевают линейное преобразование с матрицей C -1.
Пример. Степенные замены переменных применяют для интегрирования уравнений специального вида. Например, в однородной системе переменные разделяются с помощью замены y = ux. Система называется квазиоднородной с весами n и m переменных x и y, если ее носитель лежит на прямой ni + mj = = d, d > 0. Если m = n = 1, то квазиоднородная система является однородной. Замена переменных
превращает квазиоднородную систему в систему, носитель которой — вертикальный отрезок. Такой системе соответствует уравнение с разделяющимися переменными.
Проверим утверждение предложения 1 для случая замены y = xu, которой соответствует матрица Действительно, рассмотрим мономиальную систему и сделаем в ней замену y = xu. После замены получаем
Применяя к обеим частям преобразование C -1, получаем
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ, СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ВЕРШИНЕ ДИАГРАММЫ НЬЮТОНА
Рассмотрим вершину диаграммы Ньютона системы (3), имеющую координаты (2, 2). С помощью линейного преобразования и сдвига поместим ее в точку (1, 1) так, чтобы примыкающие к ней два ребра превратились в вертикальный и горизонтальный отрезки (см. рис. 3, б ). Например, линейное преобразование с матрицей подходит для этой цели. Соответствующая замена переменных x = = zw, y = zw 2, имеющая матрицу показателей C = C T, превращает систему (3) в систему, имеющую в начале координат (z, w) = (0, 0) элементарную особую точку. Соответствующие собственные значения можно сосчитать пользуясь предложением 1:
Предположим, что l1l2 = (2a — b)(b — a) ? 0, то есть особая точка (z, w) = (0, 0) не вырождена. В зависимости от знака произведения l1l2 эта особая точка будет либо седлом, либо узлом (см. рис. 1).
На каком же множестве допустимо использовать степенную замену с матрицей показателей C для того, чтобы сделать исходную особую точку элементарной?
Степенные замены переменных с невырожденной матрицей показателей определены и обратимы, вообще говоря, только во внутренности первого квадранта. Полученное после замены векторное поле может иметь на положительных координатных полуосях z и w некоторое количество особых точек помимо точки (z, w) = (0, 0), про которые мы ничего не знаем.
Вырежем квадрат P = , не содержащий других особых точек, кроме начала координат. Поскольку z = x2 / y, w = y / x, то в координатах (z, y) это множество представляет собой сектор (см. рис. 4).
Таким образом, замена переменных x = zw, y = = zw2, рассматриваемая в секторе S, соответствующем вершине диаграммы Ньютона, превращает исходное векторное поле в векторное поле с единственной элементарной особой точкой.
Как же исследовать исходное векторное поле в секторах S1 и S2 , которые являются дополнением сектора S до первого квадранта?
Поставим сектор S1 в соответствие нижнему ребру диаграммы Ньютона и сделаем в нем замену переменных
с матрицей Тогда в результате преобразования нижнее ребро становится вертикальным (см. рис. 3, в). Пересечение сектора S1 с некоторой окрестностью нуля превратится в прямоугольник где d — некоторое положительное число. В правой части системы, полученной из системы (3) после замены (6), выделим члены, соответствующие вертикальному отрезку — образу нижнего ребра (см. рис. 3, в). Тогда эта система запишется в виде
При замене переменных (6) векторные коэффициенты точек носителя преобразуются с помощью матрицы следующим образом:
Отсюда X1(u) = au, F1(u) = (b — 2a)u2 + h. Координаты особых точек векторного поля (7) на границе прямоугольника P1 определяются из уравнения Fl(u) = 0. Предположим, что (b — — 2a)h 0, то рассматриваемая особая точка — узел, а если a(b — 2a) 0 и l1l2