5. Переход от декартовой к полярной системе координат и обратно.
О — полюс, ρ — полярный радиус, φ — полярный угол Переход от полярной системы координат к декартовой Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) ее прямоугольные координаты вычисляются по формулам: x1=ρ*cosφ y1=ρ*sinφ Переход от декартовой системы координат к полярной 
6. Преобразование координат для прямоугольной системы координат методом сдвига и поворота.
Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами х = х’+ а, у=у’+ b. Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О’ относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат). Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами x = х’ cos — y sin ,у = x’ sin — у’ cos . Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей. Формулы x = х’ cos — y sin + а, у = х’ sin + y cos + b определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе
7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка.
Теорема об инвариантности порядка алгебраической линии Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени. Действительно, пусть в аффинной системе координат 
уравнение имеет вид (3.4): Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат 
. Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8): где 
— координаты вектора переноса начала координат 
, а 
— элементы матрицы перехода базиса 
к новому . Подставим эти выражения в одночлен 
: Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных 
, степень которого не больше, чем 
. Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен 
, степень которого не превосходит степени исходного многочлена 
. Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана. 8. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки. 
9. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пучок прямых. 
10. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении. 
11. Угол между двумя прямыми. Пусть прямые l1 и l2 заданы уравнениями: l1: y=k1x+в1 l2: y=k2x+в2 
c углами наклона к оси Ох соответственно φ1 и φ2 (рис.2). Обозначим через φ1 угол наклона прямой l1 к оси Ох и через φ угол, на который нужно повернуть прямую l1до совпадения с l2 (рис. 6). Тогда φ1+φ=φ2 будет, очевидно, углом наклона прямой l2 к оси Oх. Отсюда φ=φ2-φ1 и если прямые l1 и l2 не являются перпендикулярными, то (по известной формуле тригонометрии) 
Заметив, что tgφ1=k1 и tgφ2=k2 получим: 
(9) 12. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 
13. Уравнение прямой в отрезках на осях. 
14. Общее уравнение прямой на плоскости. 
15. Решение неравенств на плоскости. Графическое представление функций позволяет приближённо решать неравенства с одним неизвестным и системы неравенств с одним и двумя неизвестными. Чтобы решить графически неравенство с одним неизвестным,необходимо перенести все его члены в одну часть, т.e. привести к виду: f ( x ) > 0 , и построить график функции y = f ( x ). После этого, используя построенный график, можно найти нули функции (см. выше), которые разделят ось Х на несколько интервалов. Теперь на основе этого определим интервалы x, внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например, нули нашей функции: a и b ( рис.30 ). Тогда из графика очевидно, что интервалы, внутри которых f ( x ) > 0: x < a и x > b ( они выделены жирными стрелками ). Ясно, что знак > здесь условный; вместо него может быть любой другой: < , 
, 
. Чтобы решить графически систему неравенств с одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть, т.e. привести неравенства к виду: и построить графики функций y = f ( x ), y = g ( x ) , . , y = h ( x ). Каждое из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого нужно найти пересечение решений всех неравенств, т.e. их общую часть. 
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
Практически 100%-ая копия полюбившегося многим инстаграм, идеально подойдет для портфолио, презентации работ своим клиентам или как отклик на понравившуюся вакансию. Молодой ресурс, но администраторы оперативно реагируют на предложения и вопросы.
Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
Смысл этих задач — научиться быстро определять параметры $a,\;b,\;\varphi _1 (x),\;\varphi _2 (x),\;c,\;d,\;\psi _1 (y),\;\psi _2 (y)$ < в декартовых координатах >и $\varphi _0 ,\;\varphi _2 ,\;r_1 (\varphi ),\;r_2 (\varphi )$ < в полярных координатах >, необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.
Примеры:
Пусть область $D=\left[< x\leqslant 0,\;y\leqslant 0,\;x^2+y^2\leqslant 4 >\right]\cup \left[< x\geqslant 0,\;x^2+y^2\leqslant -2y >\right]$. Представить двойной интеграл по области $\mathbf < \textit < D >> $ в виде повторных. Перейти к полярным координатам. Решение:
Область изображена на рисунке. Для левой части $D-2\leqslant x\leqslant 0;\quad -\sqrt < 4-x^2 >\leqslant y\leqslant 0$; для правой — $0\leqslant x\leqslant 1,\;-1-\sqrt < 1-x^2 >\leqslant y\leqslant -1+\sqrt < 1-x^2 >$ уравнение правой полуокружности после выделения полных квадратов принимает вид $x^2+(y+1)^2=1$, поэтому
Изменить порядок интегрирования, перейти к полярным координатам. $I=\int\limits_ < -6 >^0 < dx\int\limits_0^ < 2x+12 > < f(x,y)dy >> +\int\limits_0^6 < dx\int\limits_ < 2x >^ < 2x+12 > < f(x,y)dy >> +\int\limits_6^ < 12 > < dx\int\limits_ < 2x >^ < 24 > < f(x,y)dy >> $
Решение:
На рисунке изображена область и приведены уравнения прямых и обратных функций для линий, ограничивающих её. $\mathbf < \textit < D >> $ можно представить в виде $D=\left[< 0\leqslant y\leqslant 24,\;y/2-6\leqslant x\leqslant y/2 >\right]$, поэтому $I=\int\limits_0^ < 24 > < dy\int\limits_ < y/2-6 >^ < y/2 > < f(x,y)dx >> $. В полярных координатах $\mathbf < \textit < D >> $ представляется как объединение двух треугольников $\mathbf < \textit < OCB >> $и $\mathbf < \textit < OBA >> $. Уравнение прямой $\mathbf < \textit < ОС >> $: $\varphi =arctg2$ < можно получить и формально, перейдя к полярным координатам в её уравнении: $y=2x\Rightarrow \quad r\sin \varphi =2r\cos \varphi \Rightarrow tg\varphi =2$ >, прямой $\mathbf < \textit < ОВ >> $: $\varphi =arctg4$, прямой $\mathbf < \textit < СВ >> $: $y=24\Rightarrow r\sin \varphi =24\Rightarrow \quad r=24/\sin \varphi $, прямой $\mathbf < \textit < ОА >> $: $\varphi =\pi $, прямой $\mathbf < \textit < АВ >> $: $y=2x+12\Rightarrow r\sin \varphi =2r\cos \varphi +12\Rightarrow \quad r=\frac < 12 > < \sin \varphi -2\cos \varphi >$.
Вычислить двойной интеграл $\iint\limits_ < D > < \left( 6x < < y >^ < 2 >> -12 < < x >^ < 2 >> y \right)dxdy > $, где область $D$ – квадрат со сторонами $x=0$, $x=1$, $y=2$, $y=3$. В повторном интеграле внутренний интеграл вначале вычислить по переменной $y$, а внешний – по $x$. Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Решение:
Вначале изобразим область интегрирования. Запишем заданный двойной интеграл через повторные: $\iint\limits_ < D > < \left( 6x < < y >^ < 2 >> -12 < < x >^ < 2 >> y \right)dxdy > =\int\limits_ < 0 >^ < 1 > < dx >\int\limits_ < 2 >^ < 3 > < \left( 6x < < y >^ < 2 >> -12 < < x >^ < 2 >> y \right)dy > $.
Внутреннее < первое >интегрирование будем выполнять по переменной $y$ < при этом считаем, что $x$ – константа >, а внешнее < второе >– по переменной $x$:
$$=\int\limits_ < 0 >^ < 1 > < 38xdx >-\int\limits_ < 0 >^ < 1 > < 30 < < x >^ < 2 >> dx > =38\int\limits_ < 0 >^ < 1 > < xdx >-30\int\limits_ < 0 >^ < 1 > < < < x >^ < 2 >> dx > =38\cdot \left. \frac < < < x >^ < 2 >> > < 2 >\right|_ < 0 >^ < 1 >-30\cdot \left. \frac < < < x >^ < 3 >> > < 3 >\right|_ < 0 >^ < 1 >=$$
Вычислим теперь заданный по условию двойной интеграл, сменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной $x$ < считая, что $y$ есть постоянной >, а внешнее – по переменной $y$:
$$=\int\limits_ < 2 >^ < 3 > < \left[ 6 < < y >^ < 2 >> \int\limits_ < 0 >^ < 1 > < xdx >-12y\int\limits_ < 0 >^ < 1 > < < < x >^ < 2 >> dx >\right]dy > =\int\limits_ < 2 >^ < 3 > < \left[ 6 < < y >^ < 2 >> \cdot \left. \frac < < < x >^ < 2 >> > < 2 >\right|_ < 0 >^ < 1 >-12y\cdot \left. \frac < < < x >^ < 3 >> > < 3 >\right|_ < 0 >^ < 1 >\right]dy > =$$
$$=\int\limits_ < 2 >^ < 3 > < \left( 3 < < y >^ < 2 >> -4y \right)dy > =\left. \left( 3\cdot \frac < < < y >^ < 3 >> > < 3 >-4\cdot \frac < < < y >^ < 2 >> > < 2 >\right) \right|_ < 2 >^ < 3 >=27-8-2\left( 9-4 \right)=19-10=9$$
Вычислить двойной интеграл $\iint\limits_ < D > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dxdy > $, если область $D$ ограничена линиями $y= < < x >^ < 2 >> $, $x=2$, $y=2x-1$. Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.
Решение:
Строим заданную область $D$. Вначале внутреннее интегрирование будем проводить по переменной $y$, а внешнее – по $x$: $$\iint\limits_ < D > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dxdy > =\int\limits_ < a >^ < b > < dx >\int\limits_ < < < \phi >_ < 1 >> \left( x \right) > ^ < < < \phi >_ < 2 >> \left( x \right) > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dy > $$
Контур области $D$ пересекается любой прямой, параллельной оси ординат, в двух точках.
Найдем пределы интегрирования. Переменная $x$ изменяется от абсциссы точки $A$ к абсциссе точек $B$ и $C$. Координаты точки $A$ найдем как координаты точки пересечения графиков функций $y= < < x >^ < 2 >> $ и $y=2x-1$:
$$\left[ \begin < matrix >y= < < x >^ < 2 >> , \\ y=2x-1 \\ \end < matrix >\right.\Rightarrow < < x >^ < 2 >> =2x-1\Rightarrow < < x >^ < 2 >> -2x+1=0\Rightarrow < < \left( x-1 \right) >^ < 2 >> =0\Rightarrow < < x >_ < A >> =1$$
Так как точки $B$ и $C$ лежать на прямой $x=2$, то $ < < x >_ < B >> = < < x >_ < C >> =2$. Итак, $1\le x\le 2$. Далее на отрезке $\left[ 1;\ 2 \right]$ выбираем произвольную точку $x$, через нее проводим прямую, параллельную оси $Oy$, и на этой прямой рассмотрим отрезок $KL$, принадлежащий области $D$.
Область $D$ ограничена снизу прямой $y=2x-1$, а сверху – веткой параболы $y= < < x >^ < 2 >> $. Переменная $y$ изменяется в заданной области $D$ от ее значения $2x-1$ на нижней части контура $ABC$ до ее значения $ < < x >^ < 2 >> $ на верхней части этого контура.
Замечание. Уравнения линий, ограничивающих контур, должны быть разрешены относительно той переменной, относительно которой находится внутренний интеграл.
Таким образом, $2x-1\le y\le < < x >^ < 2 >> $, а тогда область $D$ задается следующими неравенствами:
$$D:\left[ \begin < matrix >1\le x\le 2, \\ 2x-1\le y\le < < x >^ < 2 >> . \\ \end < matrix >\right.$$
Вычислим теперь рассматриваемый двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем проводить по переменной $x$, а внешнее – по $y$. То есть, перейдя к повторным интегралам, получим:
$$\iint\limits_ < D > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dxdy > =\int\limits_ < c >^ < d > < dy >\int\limits_ < < < \psi >_ < 1 >> \left( y \right) > ^ < < < \psi >_ < 2 >> \left( y \right) > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dx > $$ Из рисунка в области $D$ видно, что левая граница контура области – одна линия < положительная ветка параболы $y= < < x >^ < 2 >> $), а его правая часть состоит из двух линий $AB$ < отрезок прямой $y=2x-1$) и $BC$ < отрезок прямой $x=2$), то есть задается разными уравнениями. В этом случае область $D$ нужно разбить на части так, чтобы каждая из них справа была ограничена только одной линией. В данном случае такими частями будут $ < < D >_ < 1 >> -ABF$ и $ < < D >_ < 2 >> -BCF$. Заданная область $D$ будет суммой областей $ < < D >_ < 1 >> $ и $ < < D >_ < 2 >> $. Тогда искомый интеграл будет равен сумме интегралов по каждой из областей:
$$\iint\limits_ < D > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dxdy > =\iint\limits_ < < < D >_ < 1 >> > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dxdy > +\iint\limits_ < < < D >_ < 2 >> > < \left( < < x >^ < 2 >> +2y \right)dxdy > $$
Поскольку в данном случае внутреннее интегрирование проводится по переменной $x$, то уравнения ограничивающих линий нужно разрешить относительно этой переменной:
$$AB:y=2x-1\Rightarrow x=\frac < y+1 > < 2 >; \qquad AC:y= < < x >^ < 2 >> \Rightarrow x=\sqrt < y >$$
Найдем пределы интегрирования для каждой из областей. В области $ < < D >_ < 1 >> $ переменная $y$ изменяется от ординаты точки $A$ до ординат точек $B$ и $F$. Точка $A$ принадлежит параболе $y= < < x >^ < 2 >> $ и выше было найдено, что абсцисса этой точки $ < < x >_ < A >> =1$, тогда $ < < y >_ < A >> = < < 1 >^ < 2 >> =1$. Точка $B$ – точка пересечения двух прямых $x=2$ и $y=2x-1$, а тогда $ < < y >_ < B >> =2\cdot 2-1=3$. Итак имеем, что $1\le y\le 3$. Переменная $x$ в области $ < < D >_ < 1 >> $ изменяется от ветки параболы $x=\sqrt < y >$ до прямой $x=\frac < y+1 > < 2 >$, то есть $ < < D >_ < 1 >> :\left[ \begin < matrix >1\le y\le 3, \\ \sqrt < y >\le x\le \frac < y+1 > < 2 >. \\ \end < matrix >\right.$ Аналогично для области $ < < D >_ < 2 >> $ находим, что $ < < D >_ < 2 >> :\left[ \begin < matrix >3\le y\le 4, \\ \sqrt < y >\le x\le 2. \\ \end < matrix >\right.$
Вычислить двойной интеграл (\iint\limits_R < \left( < < x^2 >+ < y^2 >>\right)dydx > ,) преобразовав его в полярные координаты. Область интегрирования (R) представляет собой сектор (0 \le \theta \le \large\frac < \pi > < 2 >\normalsize) круга радиусом (r = \sqrt 3.)
Вычислить интеграл (\iint\limits_R < xydydx >,) в котором область интегрирования (R) представляет собой кольцо, ограниченное окружностями ( < x^2 >+ < y^2 >= 1) и ( < x^2 >+ < y^2 >= 5.)
Решение:
В полярных координатах область интегрирования (R) является полярным прямоугольником: $R = \left( < \left( < r,\theta >\right)|\;1 \le r \le \sqrt 5 ,0 \le \theta \le 2\pi >\right).$
Найти интеграл (\iint\limits_R < \sin \theta drd\theta >,) где область интегрирования (R) ограничена кардиоидой (r = 1 + \cos \theta ).
Решение:
Вычислить интеграл (\iint\limits_R < \left( < < x^2 >+ < y^2 >>\right)dxdy > ) в круге ( < x^2 >+ < y^2 >= 2x.)
Решение: Область интегрирования (R) показана на рисунке:
Преобразуем уравнение окружности следующим образом: $ < < x^2 >+ < y^2 >= 2x, > \;\; < \Rightarrow < x^2 >— 2x + 1 + < y^2 >= 1, > \;\; < \Rightarrow < \left( < x - 1 >\right)^2 > + < y^2 >= 1. > $ Подставляя (x = r\cos \theta ,) (y = r\sin \theta ,) найдем уравнение окружности в полярных координатах. $ < < x^2 >+ < y^2 >= 2x, > \;\; < \Rightarrow < r^2 > < \cos ^2 >\theta + < r^2 > < \sin^2 >\theta = 2r\cos \theta , > \;\; < \Rightarrow < r^2 >\left( < < < \cos >^2 > \theta + < \sin^2 >\theta >\right) = 2r\cos \theta , > \;\; < \Rightarrow r = 2\cos \theta . >$ Образ (S) области интегрирования (R) показан на рисунке:
Вычислить двойной интеграл (\iint\limits_R < \sin \sqrt < < x^2 >+ < y^2 >> dxdy > ) посредством преобразования в полярные координаты. Область интегрирования (R) представляет собой круг ( < x^2 >+ < y^2 >\le < \pi ^2 >.)
Решение:
Область интегрирования (R) представлена на рисунке:
Образ (S) данной области описывается множеством (\left[< S = \left( < r,\theta >\right)|\;0 \le r \le \pi ,0 \le \theta \le 2\pi >\right]) и показан на рисунке:
Далее:
Функции 2-значной логики. Лемма о числе функций. Элементарные функции 1-ой и 2-х переменных
СДНФ. Теорема о представлении в виде СДНФ. Построение СДНФ по таблице
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры
Векторное поле
Вычисление криволинейного интеграла второго рода. Примеры.
Вычисление поверхностного интеграла второго рода
Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
Формула Гаусса — Остроградского
Критерий полноты . Лемма о немонотонной функции
Критерий полноты
Частные случаи векторных полей
Вычисление криволинейного интеграла второго рода в случае выполнения условия независимости от формы
Вычисление площадей плоских областей
Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл
Огравление $\Rightarrow $
23 сентября 2016, 02:35 проектирование км, кмд, кж Двойной интеграл 0 35460 0
- Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
- Вычисление двойного интеграла
Конев В.В. Комплексные числа
Основные понятия
Полярная система координат 
Основные понятия
Приложения
| Для описания положения точки P плоскости x0y можно использовать полярные координаты r и φ, где r – расстояние от точки P до начала координат, называемого полюсом; φ – угол, образованный лучом 0P с положительным направлением оси 0x (полярной осью). Полярные координаты  точки связаны с ее декартовыми прямоугольными координатами  простыми соотношениями:
Координатными линиями в полярной системе координат являются концентрические окружности
Рис. 5. Координатные линии в полярной системе координат. Как перейти к полярным координатамЗапрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція — підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
КонтактыАдминистратор, решение задач Tel. +380685083397 Решение задач facebook: |
и лучи 
.