Производная и дифференциал
Центральные понятия дифференциального исчисления — производная и дифференциал возникли при рассмотрении множества задач естествознания и математики, каждая из которых приводила к вычислению пределов одного типа.
Производная функции
Определение
имеет конечный предел при стремлении приращения независимой переменной к 0, то такой предел называется производной функции f(х) при заданном х.
Производная функции — одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место.
Дифференцирование
Процесс нахождения производной называется дифференцированием. Обратная операция — восстановление функции по известной производной —интегрированием.
Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:
- Записать отношение \[\frac=\mathop<\lim >\limits_ \frac
- Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на $\Delta x$;
- Найти производную f'(x0), вычисляя предел полученного выражения. Если данный предел существует, то говорят, что функция f(x) дифференцируема в точке x0.
Производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной по независимой переменной:
Статья: Производная и дифференциал
Поможем написать реферат за 48 часов
Найти производную функции
Введем новую переменную u = x/$\Delta $х которая стремится к бесконечности и найдем предел новой функции
Вычислить производную функции
По формуле разности функций вычислим производную
За f(x) примем числитель, а за g(x) — знаменатель
Найдем производные отдельные множителей и упростим дробь
Дифференциал и производная
Пусть функция [math]f[/math] определена в некоторой окрестности точки [math]x[/math] . Тогда обозначим [math]\Delta y = f(x + \Delta x) — f(x)[/math] .
Очевидно тогда, что [math]\lim\limits_ \Delta y = 0[/math] .
С целью более подробного изучения [math]\Delta y[/math] она линеаризуется по [math]x[/math] . Отсюда возникает понятие дифференциала.
| Определение: |
| [math]f[/math] — дифференцируема в точке [math]x[/math] , если [math]\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)[/math] , где |
[math]o(\Delta x)[/math] — такая величина, что [math]\frac
Функция дифференцируема [math]\iff \, \exists \lim\limits_ \frac = A(x)[/math] .
Если функция дифференцируема, то [math]\frac = A(x) + \frac
| Определение: |
| [math]f'(x) = \lim\limits_ \frac[/math] |
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной ( [math]dy = f'(x)\Delta x[/math] ). Однако, это верно только для функций одной переменной.
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное может быть неверно. Например, функция [math]y = |x|[/math] в точке [math]x = 0[/math] . В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.
Стандартные арифметические свойства производной
- [math](f + g)’ = f’ + g'[/math]
- [math](fg)’ = f’g + g’f[/math]
- [math]\left(\frac\right)’ = \frac[/math]
Докажем, например, второе свойство.
[math](fg)’ = f’g + g’f[/math]
Дифференцируемость сложной функции
Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции.
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет доопределить по непрерывности [math]\Delta x = 0[/math] и считать, что [math] o(\Delta x) = \left\ < \begin0 & , \Delta x = 0\\ o(\Delta x) & , \Delta x \ne 0\\ \end\right. [/math] . Это мотивировано непрерывностью функции в точке [math]x[/math] .
Пусть [math]y = f(x)[/math] дифференцируема в точке [math]x_0[/math] , [math]y_0 = f(x_0)[/math] . Пусть [math]z = g(y)[/math] дифференцируема в [math]y_0[/math] . Тогда в некоторой окрестности [math]x_0[/math] корректно определена сложная функция [math]z = g(f(x))[/math] и её производная равна [math]z’ = g'(y_0)f'(x_0)[/math] .
По определению дифференциала [math]\Delta z = g(y_0 + \Delta y) — g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)[/math] и [math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) — f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)[/math]
[math]g[/math] определена в окрестности точки [math]y_0[/math] . Так как [math]\Delta y \to 0[/math] при [math]\Delta x \to 0[/math] и [math]y_0 = f(x_0)[/math] , то при [math]\Delta x \to 0[/math] , [math]f(x_0 + \Delta x)[/math] принадлежит окрестности точки [math]y_0[/math] .
Тогда функция [math]z = g(f(x))[/math] при [math]x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0[/math] корректно определена.
[math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) — f(x_0)[/math]
[math]\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) — f(x_0))) — g(f(x_0)) = [/math] [math]g(f(x_0 + \Delta x)) — g(f(x_0)) = [/math] (по определению дифференциала для [math]g(y)[/math] ) [math]g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) — f(x_0)) + o(\Delta y) =[/math] (по определению дифференциала для [math]f(x)[/math] ) [math]g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math]
Итого получаем: [math]\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)[/math]
Устремляя [math]\Delta x \to 0[/math] , получаем [math]dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x[/math]
Для полного счастья осталось доказать, что [math]o(\Delta x) = o(\Delta y)[/math] .
[math]o(\Delta x) = o(\Delta y)[/math]
По определению [math]o(\Delta y)[/math] , получаем: [math]\forall \varepsilon \gt 0 \ \exists \delta \gt 0 : \ |\Delta y| \lt \delta \Rightarrow \left|\frac
Последнее неравенство равносильно следующему: [math]|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|[/math]
[math]\Delta y = f(x_0 + \Delta x) — f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) [/math] , где [math]o(1) = \frac
Из всего этого следует, что при [math]\Delta x \to 0[/math] , [math]\Delta y \to 0[/math] для имеющегося [math]\delta \gt 0[/math] .
Так как [math]f(x)[/math] — непрерывна, то существует [math]\delta_1 \gt 0: \ |\Delta x| \lt \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| \lt \delta \Rightarrow |o(\Delta y)| \lt \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)| [/math] .
Тогда получаем, что
В чем разница между дифференциалом и производной?
Рассматриваемые понятия включены в темы, которые проходятся в курсе математического анализа. Обе они связаны с преобразованиями функции и операциями внутри нее. Важно разобраться в терминах дифференциал и производная, в чем разница между ними, имеется ли связь. Только в этом случае можно будет без проблем подготовиться к экзаменам.
Что такое дифференциал?
Прежде чем выяснить, чем дифференциал отличается от производной, нужно дать определения обоим понятиям.
Дифференциал (от лат. Differentia — разность) — это главная линейная часть приращения функции. Если y = f(x) одного переменного x имеет при x=x0 переменную, то приращение
функции f(x) можно представить в виде
где член R бесконечно мал по сравнению с ∆x. Первый член (dy=f'(x0)∆x) в этом разложении и называется дифференциалом f(x) в точке x0.
Разобрав формулу, можно заметить, что дифференциал dy находится в линейной зависимости от приращения переменной ∆x, которая независима.
Равенство ∆y=dy+R(∆x) показывает, как данный дифференциал является основным элементом приращения.
Дифференциал функции
Дифференциал — это линейная часть приращения функции. Дифференциал y = f(x) равен произведению на приращение независимой переменной x.
Геометрический и физический смысл
Дифференциал графика y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в некоторой точке, при изменении аргумента на величину ∆x=dx.
Пусть точка с координатами (x,y) — произвольная точка функции y=f(x). Тогда аргумент — x, а приращение — ∆x, значит исходный график получит приращение ∆y=f(x+∆x)-f(x).
Если провести касательную через точку с координатами (x,y), то образуется угол α, значит искомое значение равно tg α.
Тогда получается, что ∆x*tgα=f'(x)∆x.
Физический смысл рассматриваемого понятия заключается в определении скорости изменения переменной y относительно переменной x в точке x0.
Что такое производная?
Производная — это предел при x→0 отношения приращения на осях (x,y) ∆y к приращению её аргумента ∆x. В случае стремление аргумента к нулю, если такой предел возможен.
Дифференцирование — это процесс определения скорости на графике с осями (x,y). Если дано выражение f(x), то рассматриваемое понятие равно f’(x).
Отличие дифференциала от производной в том, что в первом случае выполняется операция двух линейных значений, а во втором происходит сопоставление двух значений.
Производная — это скорость изменения функции.
Чем дифференциал отличается от производной — простой пример: автомобиль проезжает за час 100 км, логично, что скорость равна 100 км/ч. Однако, когда человек едет на машине, спидометр показывает скорость, но она ведь не сразу равна 100 км/ч. Движение начинается с нулевой скорости, а затем меняется в зависимости от внешних обстоятельств. Так вот скорость изменения показателей спидометра и есть рассматриваемое значение.
Стандартные арифметические свойства
Для того, чтобы осуществлять вычислительные действия с переменными, нужно знать основные арифметические свойства этой математической единицы.
- Производная некой постоянной равна нулю: (с)’=0.
- Алгебраическая сумма (разность) двух дифференцируемых функций равна алгебраической сумме (разности) производных слагаемых: (u±v)’=u’±v’.
- Произведение двух дифференцируемых графиков равно сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый: (u*v)’=u’*v+v’*u.
Частное двух дифференцируемых функций равна дроби, знаменатель в которой это квадрат знаменателя данной дроби, а числитель представляет собой разность между произведением знаменателя данной дроби на производную ее числителя и произведением числителя на производную знаменателя.
Эти свойства являются основополагающими в теме. Без них невозможно производить более сложные операции с графиками.
Геометрический смысл
Геометрический смысл переменной может понадобиться при аналитическом способе решения тех или иных математических задач. Например, это упростит нахождение значений параметров.
Геометрический смысл рассматриваемого понятия: если к графику функции у = f(x) в некоторой точке х0 проведена касательная, непараллельная оси у, то значение переменной в точке касания есть tg α, образованного этой касательной с положительным направлением оси абсцисс или угловой коэффициент касательной. В функции в некоторой точке — это угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке.
Односторонние и бесконечные производные
Пусть х — правый или левый конец промежутка, в пределах области определения выражения. Тогда при вычислении предела отношения ∆y/∆x в некоторой крайней точке можно рассматривать только случай ∆x→+0, а в противоположной крайней точке — только случай ∆x→-0. Эти значения называются односторонними переменными справа или слева. Графики будут иметь в этих случаях односторонние касательные.
Во внутренней точке некоторого промежутка пределы отношения ∆y/∆x существуют при ∆x→+0 и при ∆x→-0, но не равны между собой. Это означает, что определить скорость в данной точке невозможно, полученные пределы в этом случае называются односторонними справа и слева.
Если предел отношения ∆y/∆x при ∆x→0, равен ¥ (или +¥, или -¥), то эти несобственные числа — те переменные, которые обозначаются как обычные переменные. Геометрически это означает, что график выражения в соответствующей точке имеет касательную, параллельную оси 0у.
Разница
Зная все понятия, свойства и признаки, можно отличить два математических понятия друг от друга. Ключевая разница между терминами дифференциал и производная заключается в физической сущности понятий. Первое — это изменение функции, а второе — скорость ее изменения.
С точки зрения математического анализа:
- слово дифференциал означает линейную часть приращения на осях (x,y);
- а производная показывает предел отношения приращения на осях (x,y) к приращению аргумента, стремящегося к нулю.
Дифференциал выражения равен произведению производной функции в некой точке и дифференциала тождественной значению переменной аргумента в этой некой точке. Эти точки находятся в области определения.
Видео по теме статьи
В видеоролике ниже семинар 1 семестра на тему дифференциал и производная.
Заключение
Разница между дифференциалом и производной достаточно ясна и понятна, если качественно разобраться в материале и применять полученные знания на практике. В таком случае ученик с легкостью сможет осилить не только математические задачи, но и физические. Самое важное — понять принцип, по которому осуществляются те или иные математические операции. Поскольку рассматриваемая тема изучается в старшей школе, то она носит профильных характер. Знания пригодятся тем, кто в будущем планирует получать профессию в сфере промышленности, программирования, новых технологий.
Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d)
Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.
Начало
Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной (скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.
Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:
-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.
Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».
Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).
Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):
И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.
Смотрим дифференциалу в лицо
Расмотрим такой график:
Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.
Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:
Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.
Зная это введем обозначение на графике:
Вернемся к равенству
BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.
Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.
Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).
Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.
Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx
И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.
Немного пределов
Добавим с левой части и с правой предел
В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:
Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:
Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.
В свою очередь dx по прежнему Δx