Что является результатом отношения бесконечно малых величин

Из доказанной теоремы вытекают:

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Теорема 3. Отношение бесконечно малой функции α(x) на функцию f(x), предел которой отличен от нуля, есть бесконечно малая функция.

Доказательство. Пусть . Тогда 1/f(x) есть ограниченная функция. Поэтому дробь есть произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, т.е. функция бесконечно малая.

СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМИ

И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ ФУНКЦИЯМИ

Теорема 1. Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a.

1. Ясно, что при x→+∞ функция y=x2+1 является бесконечно большой. Но тогда согласно сформулированной выше теореме функция – бесконечно малая при x→+∞, т.е. .
2. .

Можно доказать и обратную теорему.

Теорема 2. Если функция f(x) — бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией.

Доказательство теоремы проведите самостоятельно.

1. .
2. .
3. , так как функции и — бесконечно малые при x→+∞, то , как сумма бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Функция же является суммой постоянного числа и бесконечно малой функции. Следовательно, по теореме 1 для бесконечно малых функций получаем нужное равенство.

Таким образом, простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ

П редставление о непрерывности функции интуитивно связано у нас с тем, что её графиком является плавная, нигде не прерывающаяся линия. При рассмотрении графика такой функции y = f(x) мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции: если независимая переменная приближается к точке x₀, то значение функции y = f(x) неограниченно приближается к значению функции в точкеx₀, т.е. к f(x₀).

Дадим строгое определение непрерывности функции. Итак, пусть имеем функцию y = f(x).

Функция y = f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определена в этой точке и в некоторой окрестности содержащей x₀ и

Таким образом, можно сказать, что функция непрерывна в точкеx₀, если выполнены 3 условия:

1. она определена в точке x₀ и в некоторой её окрестности;
2. имеет предел при x→x₀;
3. этот предел равен значению функции в точке x₀.

Формулу (1) можно записать в виде , т.к. . Это означает, что для того, чтобы найти предел непрерывной функции при x → x₀, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента xего значение x₀.

Пример: Докажем, что функция y = 3x 2 непрерывна в произвольной точке x₀. Для этого найдем .

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (a; b), где a < b, то говорят, что функция непрерывна на этом интервале.

Непрерывные функции обладают следующими свойствами.

Теорема 1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то их сумма φ(x) = f(x) + g(x) также есть непрерывная функция в точке x₀.

Доказательство. Так как функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то исходя из определения можно написать . Тогда на основании свойств пределов будем иметь

Эта теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Следующие две теоремы докажите самостоятельно аналогично теореме 1.

Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.

Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль.

Если функцию можно представить в виде y = f(u), где u = φ(x), т.е. если функция зависит от переменной через промежуточный аргумент u, то называется сложной функцией переменной x.

Таким образом, под термином сложная функция следует понимать не какое – либо очень сложное выражение, а функцию, которая зависит от аргумента x через несколько промежуточных функций.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция u = φ(x) непрерывна в точкеx₀ и принимает в этой точке значение u₀ = φ(x₀), а функция f(u)непрерывна в точке u₀, то сложная функция y = f(φ(x)) непрерывна в точке x₀.

Используя эти теоремы можно доказать следующий результат.

Теорема 5. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Заметим, что если функция y = f(x) непрерывна в точке x₀ и её значение в этой точке отлично от 0, f(x₀) ≠ 0, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x₀ имеют тот же знак, что и f(x₀), т.е. если f(x₀) > 0, то найдётся такое δ > 0, что на интервале(x₀– δ;x₀+ δ) f(x) > 0 (в этой окрестности значения функции f(x) очень мало отличаются от своего предела).

Доказательство см. в курсе 10 класса.

Доказательство.

Из непрерывности функции получаем требуемое ( ).

Доказательство. Положим .

Конев В.В. Пределы последовательностей и функций

Сравнение бесконечно малых

Предел последовательности

Предел функции

Приближенные вычисления

Непрерывность функций

Если этот предел представляет собой конечное ненулевое число, то и называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
Особый интерес представляет частный случай, когда λ = 1. Тогда говорят, что и являются эквивалентными бесконечно малыми при и записывают это утверждение в виде

Если λ = 0, то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при а функция имеет меньший порядок малости.

Термин “порядок малости” допускает уточнение, если и представляют собой бесконечно малые одного и того же порядка. В этом случае говорят, что является бесконечно малой n-го порядка по сравнению с . Например, функция является бесконечно малой 4-го порядка по сравнению с при x → 0.

Если λ = ∞, то бесконечно малые и как бы меняются своими ролями. В этом случае функция является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с при .

Сформулируем некоторые полезные свойства эквивалентных бесконечно малых.

Если и – эквивалентные бесконечно малых при то их разность есть бесконечно малая более высокого порядка.
Действительно,

Для записи такого утверждения используется выражение

Бесконечно малые и являются эквивалентными, если и являются бесконечно малыми одного и того же порядка.

Если – бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с при то

§ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции

Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→х_о, т. е.

и

1. Если =А ¹ 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х₀±0.

Говорят, что б.м.ф. а и ß одного порядка стремятся к нулю с примерно одинаковой скоростью

Являются ли функции α=3х 4 и ß=7х б.м.ф. одного порядка при х→0?

Решение: При х→0 функция α есть б.м.ф. более высокого порядка, чем ß, так как

В этом случае б.м.ф. α стремится к нулю быстрее, чем ß.

Сравнить порядок функций α=tgx и ß=х 2 при х→0.

Решение: Так как

то α есть б.м.ф. более низкого порядка, чем ß.

Можно ли сравнить функции и ß=х при х→0?

Решение: Функции и ß=х при х→0 являются несравнимыми б.м.ф., так как предел

18.2. Эквивалентные бесконечно малые и основные теоремы о них

Среди бесконечно малых функций одного порядка особую роль играют так называемые эквивалентные бесконечно малые.

Если то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x₀); это обозначается так: α~ß.

Например, sinx~х при х→0, т.к при x→0, т. к.

Теорема 18.1 . Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема 18.2 . Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них.

Справедливо и обратное утверждение: если разность б.м.ф. α и ß есть бесконечно малая высшего порядка, чем α или ß, то α и ß — эквивалентные бесконечно малые.

Действительно, так как

т. е. Отсюда т. е. α~ß. Аналогично, если то α~ß.

Теорема 18.3 . Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→х_о, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е. . Тогда

Следовательно, α+ß~ß при х→х₀.

Слагаемое, эквивалентное сумме бесконечно малых, называется главной частью этой суммы.

Замена суммы б.м.ф. ее главной частью называется отбрасыванием бесконечно малых высшего порядка.

Найти предел

3х+7х 2 ~3х и sin2х~2х при х→0.

18.3. Применение эквивалентных бесконечно малых функций

Вычисление пределов

Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0. Приведем еще примеры эквивалентных б.м.ф.

Покажем, что 1—cosx~х 2 /2 — при х→0.

Решение:

Найдем

Решение: Обозначим arcsinх=t. Тогда х=sint и t→0 при х->0.

Следовательно, arcsin х~х при х→0.

Покажем, что при х→0.

Решение: Так как

то при х→0.

Ниже приведены важнейшие эквивалентности, которые используются при вычислении пределов:

1. sinx~х при х→0;
2. tgx~х (х→0);
3. arcsinх ~ х (х→0);
4. arctgx~х (х→0);
5. 1-cosx~x 2 /2 (х→0);
6. е х -1~х (х→0);
7. α х -1~х*ln(a) (х→0);
8. ln(1+х)~х (х→0);
9. log_a(l+х)~х•log_aе (х→0);
10. (1+х) k -1~k*х, k>0 (х→0);

Найти

Решение: Так как tg2x~2x,sin3x~3х при х→0, то

Найти

Решение: Обозначим 1/х=t, из х→∞ следует t→0. Поэтому

Найти

Решение: Так как arcsin(x-1)~(х-1) при х→1, то

18.4 Приближенные вычисления

Если α~ß, то, отбрасывая в равенстве α=ß+(α-ß) бесконечно малую более высокого порядка, т. е. α ® ß, получим приближенное равенство α≈ß.

Оно позволяет выражать одни бесконечно малые через другие. Приведенные выше важнейшие эквивалентности служат источником ряда приближенных формул.

Приведенные формулы справедливы при малых х, и они тем точнее, чем меньше х.

Например, графики функций y=tgx и y=x в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис. 114), а кривая у=sinx в окрестности точки 0 сливается с прямой у=х (рис. 115). На рисунках 116-118 проиллюстрированы некоторые из важнейших эквивалентностей, о которых говорилось выше.

Найти приближенное значение для In 1,032.

Решение: In(1,032)=ln(1+0,032)≈0,032 Для сравнения результата по таблице логарифмов находим, что In 1,032=0,031498.