Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами
Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.
Калькулятор комплексных чисел
Скрыть клавиатуру
С решением
Тригонометрическая форма
Показательная форма
Десятичных знаков:
Как пользоваться калькулятором
- Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
- Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
- Нажмите на кнопку «Построить»
Ввод комплексных чисел
комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:
- Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
- Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
- Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
- Математические константы: π, e
Поддерживаемые операции и математические функции
- Арифметические операции: +, -, *, /, ^
- Получение абсолютного значения числа: abs
- Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
- Получение действительной и мнимой частей: re, im
- Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
- Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
- Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
- Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth
Примеры корректных выражений
- (2+3i)*(5-7i)
- sh(i)
- (4+i) / (3 — 4i)
- sqrt(2i)
- (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)
Комплексные числа
Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.
Примеры комплексных чисел
- 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
- -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
- i — действительная часть = 0, мнимая = 1
- -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
- 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0
Основные действия с комплексными числами
Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
- сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
- умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
- деление:
(a + bi)(c — di)
Примеры
Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i
Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i
Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i
Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
- Получение действительной части числа: Re(z) = a
- Получение мнимой части числа: Im(z) = b
- Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
- Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
- Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
- Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
- Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
- Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
- Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
- Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z
Примеры
Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5
Формы представления комплексных чисел
Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.
- Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
- Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
- Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))
Пример:
Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:
- Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
- Найдём аргумент числа: φ = arctan(
Как считать комплексные числа на калькуляторе
Для выполнения вычисления комплексных чисел необходимо сначала нажать на клавиши 
(CMPLX) для входа в режим CMPLX.
Для ввода комплексных чисел могут использоваться прямоугольные координаты (a+bi) или полярные координаты (r∠θ).
Формат отображения результатов вычислений с комплексными числами зависит от установленного в меню настройки формата отображения комплексных чисел.
Пример 1. (2 + 6i) ÷ (2i) = 3 — i (формат отображения комплексных чисел: a+bi)
2
6
(i)
2(i)
- 3-i
Пример 2. 2∠45 = √ 2 + √ 2 i (MthIO-MathO) (единица измерения углов: Deg)
(формат отображения комплексных чисел: a+bi)
- 2
(∠) 45 - √ 2 +√ 2 i
Пример 3. √ 2 + √ 2 i = 2∠45 (MthIO-MathO) (единица измерения углов: Deg)
(формат отображения комплексных чисел: r∠θ)
2
2(i)- 2∠45
Примечание
Если вы планируете выполнение ввода данных и вывода отображения результатов вычисления в формате полярных координат, укажите единицу измерения углов до начала вычислений.
Результат вычисления θ отображается в пределах диапазона -180° < θ ≦ 180°.
Если выбрано линейное отображение чисел, результат вычисления выводится на дисплей двумя отдельными строками: a и bi (или r и θ).
Примеры вычислений в режиме CMPLX
Пример 1. (1 — i) -1 = 1 2 + 1 2 i (MthIO-MathO) (формат отображения комплексных чисел: a+bi)
- 1
(i)
- 1 2 + 1 2i
Пример 2. (1 + i) 2 + (1 — i) 2 = 0 (MthIO-MathO)
- 1(i)
1(i) - 0
Пример 3. Получение сопряженного комплексного числа для 2 + 3i
(формат отображения комплексных чисел: a+bi)
- (CMPLX)(Conjg) 23(i)
- 2-3i
Пример 4. Получение абсолютного значения и аргумента для 1 + i (MthIO-MathO) (единица измерения углов: Deg)
Абсолютное значение (Abs):
(Abs) 1(i)- √ 2
- (CMPLX)
(arg) 1(i) - 45
Использование команды для указания формата результата вычисления
С целью указания формата для результата вычисления можно ввести одну из двух следующих специальных команд: ( r∠θ или a+bi).
Эта команда осуществляет перезапись существующей в калькуляторе настройки формата отображения комплексных чисел.
Пример. √ 2 + √ 2 i = 2∠45, 2∠45 = √ 2 + √ 2 i (MthIO-MathO) (единица измерения углов: Deg)
- 22(i)(CMPLX)
(
r∠θ) - 2∠45
- 2(∠) 45(CMPLX)
(a+bi) - √ 2 +√ 2 i
Как считать комплексные числа на калькуляторе
В статье описаны способы выполнения арифметических действий над комплексными числами (сложение, вычитание, умножение, деление) и преобразований их форм записи (алгебраическая, показательная) с помощью инженерного калькулятора. Эти же действия можно выполнить на онлайн-калькуляторе. Автор использует модель CT-208T (рис. 1), действия на котором описаны в качестве примера.
Рисунок 1 — Калькулятор, используемый в примерах
Рисунок 2 — Изображение комплексного числа на комплексной плоскости
Немного теории
Комплексное число изображается на комплексной плоскости вектором (рис. 2). Основные формы записи комплексных чисел (используемые в электротехнике): — алгебраическая форма, где a — действительная часть, b — мнимая часть; — показательная форма, где ρ — модуль, φ — аргумент комплексного числа. Для преобразований «вручную» используются следующие формулы: — из показательной в алгебраическую; — из алгебраической в показательную. a — активная составляющая; мнимая bj — реактивная). В показательной форме модуль ρ соответствует амплитуде (или длине вектора) какой-либо величины, а аргумент φ — фазе (или углу поворота вектора).
—> При счете «вручную» в операциях сложения и вычитания удобно пользоваться алгебраической формой, а при делении и умножении — показательной:
Действия на калькуляторе
На калькуляторе комплексное число представляется в соответствующих регистрах a и b . Запись действительной части в регистр a производится путем ввода цифрами некоторого числа и нажатия кнопки . Аналогичным образом производится запись мнимой части в регистр b , по нажатию кнопки . После ввода регистров первого комплексного числа нажимается кнопка, соответствующая действиям над числами (сложение, вычитание и т.д.), затем вводится второе, таким же образом, как и первое. После ввода второго числа нажимается кнопка , при этом над числами выполняется заданное действие, а результат сохраняется в регистрах a и b в алгебраической форме, просмотр их значений осуществляется нажатием кнопок и . Если же требуется получить результат в показательной форме, то над числом выполняется соответствующее преобразование > и в регистрах a и b сохраняется модуль и аргумент.
Если требуется выполнить действия над числами, представленными в показательной форме, то в регистр a заносится модуль, в регистр b заносится аргумент, затем сразу же производится преобразование в алгебраическую форму нажатием последовательности > (см. примеры далее).
Описание клавиатуры
| Сочетание кнопок | Функция |
| > | — перевод в режим работы с комплексными числами; — выход из режима работы с комплексными числами; |
| — занесение введенного числа в регистр a (действительная часть/модуль); — просмотр действительной части результата рассчетов; | |
| — занесение введенного числа в регистр b (мнимая часть/аргумент); — просмотр мнимой части результата рассчетов; | |
| > | — преобразование из показательной в алгебраическую форму; При этом, преобразуемое число должно быть занесено в регистры ( a — модуль, b — аргумент), результат помещается в эти же регистры. |
| > | — преобразование из алгебраической в показательную форму; При этом, преобразуемое число должно быть занесено в регистры ( a — действительная, b — мнимая часть), результат помещается регистры a и b ( a — модуль, b — аргумент). |
Калькулятор должен быть переведен в режим работы с комплексными числами (на дисплее будет надпись CPLX).
| Выражение (с результатом) | Последовательность нажатий |
| > > > > > > > > > > > > > > . Результат в регистрах a и b . | |
| > > > > > > > > > > > > > . Результат в регистрах a и b . | |
| > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > . Результат в регистрах a (модуль) и b (аргумент). |
Онлайн калькулятор комплексных чисел
Для простейших действий реализован калькулятор, в котором производятся арифметические операции для пары комплексных чисел. Числа можно вводить как в алгебраической, так и в показательной формах, преобразования и вычисления происходят при вводе данных. По-умолчанию на калькуляторе введен последний пример из предыдущей таблицы.
| A1: | B1: |
| ρ1: | φ1: |
    | |
| A2: | B2: |
| ρ2: | φ2: |
 | |
| A: | B: |
| ρ: | φ: |
Комментарии
| #2 сообщение от Александр — админ | 02.03.2019 |
| Николай, спасибо, поправил ошибку. | |
| #1 сообщение от Николай | 01.03.2019 |
| Спасибо за статью, помогли. В первом примере мнимая часть в ответе 50, а не 10 | |
| 1 | |
| Добавление комментария |
|---|
Комплексные числа
Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение��
Что умеет?
- Производит простые операции с комплексными числами
- Выполнять деление с подробным решением
- Находить разные формы комплексных чисел:
- Алгебраическую
- Тригонометрическую
- Показательную
- Модуль и аргумент комплексного числа
- Комплексно-сопряжённое к данному
- Геометрическую интерпретацию комплексного числа
Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить
Правила ввода комплексных выражений с примерами:
Комплексное число записывается в виде a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно) Комплексная единица (Мнимая) — должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать) (3+4j)/(7-5j) — деление (3.6+4j)*(7+5j) — умножение (3+56j)^7 — возведение в степень (5+6j) + 8j — сложение (5+6j) — (7-1j) — вычитание conjugate(1+4j) или conj(1+4j) Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j) re(1+I) Реальная часть комплексного числа 1 + I im(1+I) Мнимая часть 1 + I sign(1+I) Комплексный знак числа 1 + I absolute(1+I) Модуль от 1 + I arg(1+I) Аргумент от 1 + I
Другие примеры:
sqrt(1-24*i)
(1-2i)/(1+4i)
cbrt(1-7*i)
(5+4i)*(8-2i)
(1-11*i)^(1/4)
(1-11*i)^(1/5)
conj(1 + 4j)
(3/2-3*sqrt(3)/2*i)/conj(-5/2-1/3*i)
Реальная часть комплексного числа
re(1+I)
z - |z| = 2 + i
(i + 5)*z - 2*i + 1 = 0
(1 - 2*i)^32
Мнимая и действительная часть
im(re(x) + y)
im(1+I)
absolute(1+I)
arg(1+I)
Комплексный знак числа
sign(1+I)
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x DiracDelta(x) Дельта-функция Дирака Heaviside(x) Функция Хевисайда Интегральные функции: Si(x) Интегральный синус от x Ci(x) Интегральный косинус от x Shi(x) Интегральный гиперболический синус от x Chi(x) Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5 2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание 15/7 — дробь
Другие функции: asec(x) Функция — арксеканс от x acsc(x) Функция — арккосеканс от x sec(x) Функция — секанс от x csc(x) Функция — косеканс от x floor(x) Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) ceiling(x) Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) sign(x) Функция — Знак x erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) laplace(x) Функция Лапласа asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от x csch(x) Функция — гиперболический косеканс от x sech(x) Функция — гиперболический секанс от x acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные: pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн