Чем отличается главный вектор от равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил

Техническая механика

Лемма: механическое состояние твердого тела не нарушится, если данную силу перенести параллельно первоначальному положению в произвольную точку тела, добавив при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Для доказательства данной леммы возьмем тело, находящееся под действием некоторой системы сил, в числе которых есть сила F , приложенная в точке А (см. рисунок 1) .
Выберем произвольную точку О , которую назовем центром приведения, и на основании аксиомы IV приложим в этой точке две равные силы F’ и F’’ , параллельные данной силе F , причем

Систему сил (F,F’,F’’) , эквивалентную силе F , представим как силу F’ , перенесенную параллельно первоначальному положению в произвольно выбранный центр приведения О , и пару (F,F”) , момент которой равен моменту данной силы относительно центра приведения О , являющегося новой точкой приложения силы F :

Описанный выше перенос силы можно показать на примере.

Рассмотрим колесо А радиусом r , вращающееся на оси в подшипниках (см. рисунок 2) . Пусть к ободу колеса по касательной приложена сила F (такую силу называют окружной).

Для определения действия силы F на колесо и подшипники применим доказанную лемму и перенесем эту силу параллельно самой себе на ось колеса. В результате получим силу F’ = F , вызывающую давление на подшипники, и пару сил (F,F”) с моментом, равным Fr , которая будет вращать колесо.

Приведение плоской системы произвольно расположенных сил к данному центру

Приведением системы сил называется замена ее другой системой, эквивалентной первой, но более простой.

Теорема: плоская система произвольно расположенных сил в общем случае эквивалентна одной силе, приложенной в центре приведения и одной паре сил.

Пусть дана плоская система n произвольно расположенных сил (F₁,F₂,F₃. F_n) . Перенесем параллельно все силы в произвольно выбранный в плоскости действия сил центр приведения О , добавив при этом n пар (см. рисунок 3) . Моменты этих пар m₁,m₂,m₃. m_n равны моментам данных сил относительно центра приведения О .

Вместо заданной системы n произвольно расположенных сил мы получили систему n сил, приложенных в центре приведения, равных данным силам по модулю и одинаковых с ними по направлению, и систему n присоединенных пар:
F₁’ = F₁; F₂’ = F₂; F₃’ = F₃. F_n’ = F_n
m₁ = M_O(F₁); m₂ = M(F₂); m₃ = (F₃). m_n = M_O(F_n) .

Эта новая система эквивалентна данной.

Плоская система сил, приложенных в одной точке, эквивалентна одной силе, которая равна векторной сумме этих сил и приложена в той же точке, следовательно:

Эту силу назовем главным вектором данной системы.

Главный вектор плоской системы произвольно расположенных сил равен векторной сумме всех сил системы и приложен в центре приведения.

Графически главный вектор выражается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на данных силах.
Аналитически модуль главного вектора можно вычислить по формуле:

F_гл = √[(ΣX) 2 + (Y) 2 ] (здесь и далее √ — знак корня) ,

а направляющий косинус – по формуле cos (F_гл, x) = F_глХ / F_гл .

Плоская система пар эквивалентна одной паре, момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар, следовательно,

Эту пару с моментом М_гл назовем главным моментом заданной системы сил.

Главный момент плоской системы произвольно расположенных сил равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.

Таким образом, всякая плоская система сил в общем случае эквивалентна системе, состоящей из силы и пары сил, следовательно, теорема доказана.

Не следует считать, что главный вектор и главный момент имеют чисто формальное значение, введенной для удобства доказательства, и что их можно найти только с помощью вычислений. Нередко отдельно действующие на тело силы определить трудно или даже невозможно, а главный вектор или главный момент этих сил найти сравнительно легко. Так, например, число точек контакта и модули сил трения между вращающимся валом и подшипником скольжения, как правило, неизвестны, но главный момент этих сил можно определить простым измерением.
Еще один пример: в характеристику электродвигателя входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент, являющийся, по сути, главным моментом этой силы.

Свойства главного вектора и главного момента

Свойства главного вектора и главного момента заключаются в следующем:

1. модуль и направление главного вектора данной системы не зависят от выбора центра приведения, так как при любом центре приведения силовой многоугольник, построенный на данных силах, будет один и тот же;

2. величина и знак главного момента в общем случае зависят от выбора центра приведения (кроме случая, рассмотренного далее, когда F_гл = 0 , а М_гл ≠ 0) , так как при перемене центра приведения изменяются плечи сил, а их модули остаются неизменными;

3. главный вектор и равнодействующая системы сил векторно равны, но в общем случае не эквивалентны. Пусть известны главный вектор F_гл и главный момент М_гл какой-либо плоской системы сил (рис.4а) .
Определим равнодействующую этой системы.

Пользуясь известным свойством пары сил, преобразуем главный момент М_гл так, чтобы силы пары F и F_Σ (рис. 4б) были равны по модулю и параллельны главному вектору F_гл :

причем сила F приложена в точке О противоположно F_гл .
Далее систему (F_гл, F) , как взаимно уравновешенную, отбросим:

В результате получим одну силу F_Σ , эквивалентную главному вектору и главному моменту, т. е. равнодействующую системы, причем F_Σ = F_гл .

Модуль равнодействующей можно определить по формуле:

а положение линии действия равнодействующей определяется плечом d по формуле:

В результате можно считать установленным, что главный вектор и равнодействующая векторно равны, но не эквивалентны.

4. главный вектор и равнодействующая эквивалентны лишь в частном случае, когда главный момент системы равен нулю. Это возможно лишь в случае, когда центр приведения находится на линии действия равнодействующей. Из приведенного выше рисунка видно, что момент равнодействующей F_Σ относительно центра приведения О равен моменту М_гл пары (F_Σ,F) , т.е. главному моменту данной системы:

Так как М_гл = ΣМ_О(F_i) , а за центр приведения можно взять любую точку плоскости действия сил данной системы, то всегда имеем:

Полученная формула является математическим выражением теоремы о моменте равнодействующей.

Теорема: момент равнодействующей силы относительно какой-либо точки, расположенной в плоскости действия сил, равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Теорему о моменте равнодействующей впервые доказал французский ученый П. Вариньон (1654-1722) , поэтому ее называют теоремой Вариньона.

Применим доказанную теорему для определения положения линии действия равнодействующей F_Σ плоской системы n параллельных сил:

Выберем какую-либо точку О плоскости действия сил за центр моментов и согласно теореме Вариньона запишем:

ΣМ_O(F_i) = М_O(F_Σ) = F_Σd , где: d – плечо равнодействующей F_Σ относительно точки О.

Из последнего равенства определяем плечо d :

Чтобы установить, в какую сторону от точки О следует на перпендикуляре к линиям действия сил отложить плечо d , следует учесть направление вектора F_Σ и знак ΣМ_O(F_i) .

Различные случаи приведения плоской системы произвольно расположенных сил

На основании приведенных выше свойств главного вектора и главного момента можно выделить четыре возможных случая приведения плоской системы произвольно расположенных сил.

1. F_гл ≠ 0, М_гл ≠ 0 . В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, которая равна по модулю главному вектору, параллельна ему и направлена в ту же сторону, но по другой линии действия.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от выбора центра приведения, также как модуль и направление главного вектора тоже не зависят от расположения центра приведения на плоскости действия системы сил.

2. F_гл ≠ 0, М_гл = 0 . В этом случае система сил эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через центр приведения и совпадает с главным вектором.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от расположения центра приведения на линии действия равнодействующей системы сил, и в любой точке этой линии М_гл = 0 .

3. F_гл = 0, М_гл ≠ 0 . В этом случае система эквивалентна паре сил, т. е. она обладает лишь вращающим действием.
В рассматриваемом случае величина и знак главного момента не зависят от центра приведения, ибо уравновешенная система сил не может быть эквивалентна разным парам.

4. Fгл = 0, Мгл = 0 . В этом случае система сил эквивалентна нулю, т. е. находится в равновесии.

Аналитическое условие равновесия плоской системы произвольно расположенных сил

Как известно, плоская система произвольно расположенных сил находится в равновесии, когда главный вектор и главный момент равны нулю:

Но F_гл = F_Σ и равенство F_гл = 0 означает, что силовой многоугольник, построенный на силах данной системы, должен быть замкнут, следовательно, алгебраическая сумма проекций сил на каждую из двух осей координат x и y должна равняться нулю, т. е.:

Главный момент М_гл = ΣМ_О(F_i) и равенство М_гл = 0 означают, что алгебраическая сумма моментов сил данной системы относительно любого центра приведения равняется нулю, следовательно:

Итак, для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат x и y равнялись нулю, и чтобы алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки плоскости также равнялась нулю.

Условие равновесия упрощенно запишем в виде равенств:

ΣX = 0; ΣY = 0; ΣM = 0.

Очевидно, что выведенные ранее условия равновесия системы сходящихся сил, системы непараллельных сил и системы пар являются частными случаями общего условия равновесия для плоской системы произвольно расположенных сил.

Следует отметить, что поскольку аналитические условия равновесия справедливы для любых прямоугольных осей координат, то в процессе решения задачи или при проверке правильности ее решения, оси координат можно изменять, т. е. одни уравнения проекций сил составлять для одной системы координат, а другие – для новой системы координат. Этот прием в некоторых случаях упрощает решение задачи или проверку правильности решения.

При решении задач статики аналитическим способом целесообразно составлять уравнения равновесия так, чтобы в каждом из них было как можно меньше неизвестных величин (в идеале – лишь одна неизвестная величина). Во многих случаях этого можно достигнуть рациональным выбором осей координат и центров моментов.

С примерами решения задач статики, основывающихся на условии равновесия плоской системы сил можно ознакомиться здесь.

Чем отличается главный вектор от равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил?
1 величиной;
2 направлением;
3 величиной и направлением;
4 ничем

Двигаясь по течению со средней скоростью 15 км/ч, расстояние между двумя пристанями теплоход прошел за 2 ч. Сколько времени потребуется теплоходу на о … братный путь, если его средняя скорость при этом будет равной 10 км/ч? Объясните почему вы так думаете? Пожалуйста напишите как на фото

На тіло масою 100г діє сила 2Н. Чому дорівнює прискорення тіла?​
талія бурундука 25 см скільки повних обертив він зробив катаючись по стежці довжиною 5метрів

Брусок масою 200 г рівномірно рухаються по горизонтальній поверхні, прикладаючи силу 0,2Н , паралельну поверхні стола. Визначити коефіцієнт тертя ковз … ання

Чем отличается главный вектор от равнодействующей плоской системы произвольно расположенных сил

Теорема о параллельном переносе силы. Действие силы на АТТ не из-менится, если перенести ее параллельно самой себе в некоторую точку (центр приведения) присоединив при этом пару сил. Момент присоединенной пары равен моменту приведенной силы, относительно центра приведения. В точке А (рис. 1.31) приложена сила , предстоит перенести ее в точку В. Как это сделать? В точке В прикладываем силы равные по модулю силе ; . Получили эквивалентнуюсистему трех сил, которую можно рассматривать как совокупность силы и пары сил с моментом (рис. 1.32).
Пару называют п р и с о е д и н е н н о й; ее момент равен моменту переносимой силы относительно центра приведения и, следовательно, зависит от положения этого центра.
Приведение произвольной пространственной системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент. Систему сил, приложенных к телу, можно упростить, используя теорему о параллельном переносе силы. В результате приведения произвольной пространственной системы сил к данному центру в общем случае получаем главный вектор, равный геометрической сум-ме всех сил системы, и главный момент, равный геометрической сумме момен-тов всех приводимых сил относительно центра приведения (рис. 1.33).
Сложим и т.д., получим силовой многоугольник, где
(1.15)
Затем векторно сложим векторы моментов
(1.16)

; (1.17)
Главный вектор инвариантен по отношению к центру приведения. Главный момент зависит от вы-бора центра приведения. По модулю главный вектор вычисляется
R*= (1.18)

где проекции главного вектора на координатные оси *(Rx, Ry, Rz), а проекции каждой из сил (X1, Y1 , Z1), (X2, Y2, Z2) и т.д.
Направление находим по направляющим косинусам

Главный момент

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и дос-таточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех этих сил на каждую из коор-динатных осей равнялась нулю, и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно каждой из трех координатных осей равнялась нулю.
Система параллельных сил. Если ось OZ параллельна силам, то три уравнения (1.23) обращаются в тождества, так как проекции сил на оси OX и OY и их моменты относительно оси OZ равны нулю. Оставшиеся три уравнения явля-ются уравнениями равновесия параллельных сил в пространстве (рис. 1.34).

Для параллельных сил расположенных в плоскости XOY (рис. 1.35), имеем два уравнения равновесия:
(1.25)
Плоская система произвольно расположенных сил. Если силы дейст-вуют в плоскости XOY (рис. 1.36), то суммы проекций их на ось OZ и моментов относительно осей OX и OY равны нулю. При равновесии тела под действием плоской системы сил суммы их про-екций на оси координат и сумма моментов относительно произвольного центра, лежащего в плоскости сил, равны нулю

Рис. 1.34 Рис. 1.35 Рис. 1.36 Примеры упрощения системы сил, действующих на самолет. Силы взаимодействия самолета с поверхностью взлетно-посадочной полосы (ВПП) и воздухом при движении по земле и в полете подчиняются сложным закономер-ностям. Во всех случаях систему сил, действующих на самолет, упрощают. На-пример, воздушное давление, неравномерно распределенное по нижней и верх-ней поверхностям крыла (или стабилизатора, киля), часто суммируют и относят к одной поверхности. Силы, действующие на самолет в горизонтальном полете с постоянной скоростью без бокового ветра, могут быть приведены к плоской системе сил (рис. 1.37).

Рис. 1.37

Вес самолета , подъемная сила крыла и горизонтального оперения , тяга двигателей и сила лобового сопротивления удовлетворяют трем уравнениям равновесия:
1) условие сохранения постоянной скорости
(1.27) 2) условие сохранения постоянной высоты
(1.28)
3) условие сохранения горизонтального положения самолета (1.29)
Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона). Момент равнодействующей произвольной системы сил относительно любой точки (оси) равен сумме моментов составляющих сил относительно той же точки (оси) (рис. 1.38).

Пусть действующая на тело произвольная система сил приводится к равнодействующей . Уравновесим тело, приложив к нему силу * = — . Новая система сил находится в равновесии и для нее справедливо уравнение равновесия.
,
но
,то ,
или
(1.30)

Рис. 1.38 Рис. 1.39

Понятие о моменте устойчивости и моменте опрокидывания. При опробовании двигателя главные колеса шасси уперты в подкладки D, а хвостовое колесо не отрывается от земли. Будем считать, что на самолет действует только две силы: — тяга винта и — вес самолета, лежащие в вертикальной плоскости (рис. 1.39).
Выясним условия, при которых хвост прижат к земле. Для этого найдем равнодействующую сил и . Возможны два случая:
1) равнодействующая проходит слева от точки D;
2) равнодействующая проходит справа от точки D.
В первом случае самолет находится в равновесии, опрокидывание невозможно. Равнодействующая стремится повернуть самолет вокруг точки D против часовой стрелки , то
, тогда
(1.31)
или — момент устойчивости больше момента опрокидывания.
Второй случай, если лежит справа от точки D, то , а т.к
, (1.32)
то или , равновесие самолета нарушится, его хвост поднимется, возможно к а п о т и р о в а н и е самолета. Отношение момента устойчивости к опрокидывающему моменту называется коэффициентом устойчивости.

Система произвольно расположенных сил

Система сил, произвольно расположенных на плоскости, представляет собой совокупность сил, линии действия которых могут быть расположены каким угодно образом.

Любую систему сил можно привести к заданному центру. Для этой цели необходимо рассмотреть новые понятия: момент силы относительно точки, главный вектор и главный момент.

Моментом силы относительно точки называется произведение величины силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис. 2.9):

где hj — плечо силы относительно точки О, называемой центром момента; F) — величина силы.

Для характеристики направления момента принято следующее правило знаков: момент считается положительным, если сила действует по отношению к точке О по часовой стрелке, и отрицательным — в противном случае. Единица измерения момента силы — килоныотон на метр (кН м).

Основные свойства момента силы, следующие из его определения:

• • момент силы не изменится при переносе точки приложения силы по линии ее действия;
• • если центр момента (точку О) переместить параллельно линии действия силы, то момент силы не изменится;
• • алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки плоскости есть величина постоянная, равная моменту пары;
• • если точка лежит на линии действия силы, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

Пусть дана сила F, приложенная в какой либо точке А (рис. 2.10, а). Возьмем произвольную точку О и приложим к ней (на основании аксиомы 3) две направленные в противоположные стороны силы F_v равные и параллельные силе F. Одна из сил F_v добавленных к точке, вместе с заданной силой F образует пару с моментом М = Fh. Таким образом, без нарушения равновесия тела произведена замена силы F, приложенной

в точке Л, на силу F = F и пару с моментом М = Fh, приложенные в точке О (рис. 2.10, б).

Произведенная операция называется приведением силы F к заданному центру О, а пара с моментом, равным моменту силы относительно точки О M = Fh, — присоединенной парой.

Приведение плоской системы сил к заданному центру. Рассмотрим произвольную систему сил F_, F₂, F₃, F₄, . на плоскости и произвольную точку О (рис. 2.11, а). Каждую из этих сил приведем к центру 0 по принципу, сформулированному в предыдущем разделе.

В результате получим систему сходящихся в центре О сил F_lr F₂, F₃, F_A, . (рис. 2.11, 6) и такое же количество присоединенных пар с моментами М _{= =} /•’,/. М₂ = F₂h₂, М₃ = F_:ih_:i, М_А = F_Ah_A.

Сложив силы Fj, F₂, F₃, F₄. получим равнодействующую силу R_rjl, равную их геометрической сумме и приложенную в той же точке О:

i

Сложив все полученные при приведении сил присоединенные пары, получим результирующую пару, момент которой М_гл равен алгебраической сумме моментов составляющих пар:

т.е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения О.

Геометрическая сумма сил системы R_VJ[ называется главным вектором, алгебраическая сумма моментов этих сил относительно центра приведения М_гл — главным моментом.

Следовательно, система сил, произвольно расположенная в плоскости (см. рис. 2.11, а), всегда может быть приведена к силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения О, и к паре, момент которой равен главному моменту сил относительно того же центра (рис. 2.11, в).

Величина и направление главного вектора определяются но формулам (2.7) и (2.8):

Велич1 центра ПрИВе_А^П*1Л, 1 «1 ГЧ.С1ГЧ. олидлщп^. D tnv^ltiviv V/ПЛШ Параллельно начальным положениям, следовательно, в любых точках плоскости мы получим одинаковые системы сходящихся сил. Значение же главного момента зависит от выбора центра приведения, так как при изменении координат центра приведения меняются плечи сил системы.

Легко показать, что главный момент можно представить в виде пары, где в качестве сил пары можно использовать R = /?_гл, так как равнодействующая исследуемой системы сил по величине равна главному вектору. Плечо такой пары находится по определению пары, а именно

Из (2.15) следует, что главный момент может быть найден как момент равнодействующей системы сил:

>)

Совместно рассмотрев выражения (2.14) и (2.16), приходим к теореме Вариньона для плоской системы сил: если плоская система сил имеет равнодействующую, момент этой равнодействующей относительно любой точки равен сумме моментов сил системы относительно той же точки:

При приведении сил, произвольно расположенных на плоскости, к заданному центру возможны следующие случаи:

• • R_TJ]Ф О, М_гл ф 0 — рассмотренный выше случай произвольной системы сил;
• • R_TJlФ О, А/_гл = 0 — система сил сразу приводится к равнодействующей благодаря удачно выбранному центру приведения на линии действия равнодействующей;
• • /?_гл = О, М_гл * 0 — заданная система сил приводится к паре;

* А-л = О, М_гл = 0 — система сил находится в равновесии.

Первые три случая используются при решении инженерных задач, когда требуется привести к заданному центру активные силы, действующие на тело.

Условия равновесия системы произвольно расположенных сил. Итак, в случае равновесия и главный вектор, и главный момент системы сил относительно любой точки на плоскости равны нулю. Так как главный вектор есть равнодействующая приведенной системы сходящихся сил, то условия их равновесия удовлетворяются выражениями (2.10). Равновесие системы пар, равнодействующей которой является главный момент, удовлетворяется выражением (2.11). Записывая указанные выражения вместе, с учетом (2.14) и (2.17), получим первую форму уравнений равновесия для плоской произвольной системы сил:

где О — произвольная точка на плоскости.

Вторая форма уравнений равновесия имеет вид

где А, В — произвольные точки на плоскости; U — ось, не перпендикулярная прямой АВ.

И наконец, третья форма уравнений равновесия имеет вид

Где А, В, С ?— ПрОИЗВильмшс ШЧКИ па lumuiutin, Iи. лсшщпс па идпии нрпшип. Покажем справедливость уравнений (2.19) и (2.20).

Ранее уже говорилось, что произвольная система сил приводится либо к паре, либо к равнодействующей. Так как главные моменты системы сил относительно двух центров (2.19) равны нулю, то данная система сил не приводится к паре. Если силы приводятся к равнодействующей, то линия ее действия должна проходить через точки А и В, так как на основании теоремы Вариньона (2.17)

Но проекция равнодействующей на любую ось равна сумме проекций

составляющих сил, т.е. /?_I7Icosa = = 0, где cosa^O, следовательно,

предполагаемая равнодействующая R = й_гл = 0.

Следовательно, рассматриваемая система сил уравновешивается, и система уравнений (2.19) является уравнениями равновесия.

При использовании (2.20) силы не приводятся к паре, так как главные моменты этих сил относительно трех центров равны нулю. Силы не приводятся и к равнодействующей силе, так как если она существует, то линия ее действия не может пройти через три точки, не лежащие на одной прямой.

Следовательно, рассматриваемая система сил уравновешивается, и система уравнений (2.20) является уравнениями равновесия.

Итак, число уравнений равновесия для плоской произвольной системы сил равно трем, и они могут быть представлены в трех формах записи. При помощи этих уравнений можно решать задачи статики на плоскости при условии, что число неизвестных не будет более трех.