Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Чем отличается определенный интеграл от неопределенного

Сегодня слово «Интеграл» можно услышать довольно часто, причем, зачастую, в самых неожиданных местах, например на биржевом канале по телевизору, или по новостям. Нередко мы слышим словосочетание «интегральные показатели» , слово «интегрированный», «интегративный» и тому подобное. Ну, по большому счету, чиновники и телеведущие, вообще, очень любят разные умные слова, правда вряд ли они понимают их истинное значение. А мы сегодня поговорим о том, что же такое интеграл, какие виды интеграла существуют и в чем их отличия.

Что такое интеграл

Интеграл- это латинское слово, которое пришло к нам из античности, и означает оно «Целый», или «Полный». То есть, ясно, что если про некий объект, например, сосуд молока говорили «интегер», это означало, что он полный, и молока в нем сколько было, столько и осталось.

Со временем это слово стали употреблять в совершенно разных дисциплинах- в философии, политике, экономике, в алгебре и геометрии. Но наиболее простую интерпретацию интегралу дает математика.

Итак, интеграл -это некая сумма отдельных частей. Вот наиболее простые примеры для, более четкого понимания сути этого термина:

1. Предмет — это интеграл(сумма) молекул.
2. Лист в клетку — это интеграл(сумма) клеток.
3. Солнечная система — это интеграл(сумма) солнца и планет.
4. Общество — это интеграл людей.
5. Отрезок- это интеграл (сумма) метров. Если маленький отрезок, то сантиметров, миллиметров или микроскопических отрезков.
6. Площадь какой-либо поверхности — это интеграл квадратных метров, квадратных сантиметров или миллиметров, а также микроскопических площадей.
7. Объем- это интеграл кубических метров или, как их еще называют — литров.

Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Начнем с определенного, так как его смысл поддается пониманию легче.

Геометрия изучает площади. Например, если вы хотите поклеить дома обои, вам надо знать площадь стен, чтобы узнать, сколько обоев вы должны купить. Тогда вы просто умножаете длину стены на высоту и получаете ее площадь. В данном случае, эта площадь является интегралом квадратных метров или сантиметров, в зависимости от того, в каких единицах вы ее измеряли. Но поверхности, площадь которых нам требуется вычислить далеко не всегда имеют форму прямоугольника, квадрата, или даже круга. В большинстве случаев — это сложные фигуры с волнистыми сторонами. Наиболее распространенный пример — площадь фигуры под кривой, имеющей уравнение y=1/x . Дело в том, что найти ее площадь при помощи обычных формул, которыми мы находим площадь квадрата, круга или даже сферы — невозможно. Для этой цели был разработан определенный интеграл.

Суть метода в том, что нашу сложную фигуру нужно разбить на очень узкие прямоугольники, настолько узкие, что высота каждых двух соседних практически равна. Ясно, что по сути, можно уменьшать толщину этих прямоугольников бесконечно, поэтому для обозначения их толщины используется размер dx. X — это координата, а приставка d — это обозначение бесконечно уменьшаемой величины. Поэтому, когда мы пишем dx — это значит, что мы берем отрезок по оси x , длина которого очень мала, практически равна нулю.

Итак, мы уже условились, что площадь любой фигуры- это интеграл квадратных метров или любых других фигур с более мелкими площадями. Тогда наша фигура, площадь которой мы ищем, представляет собой интеграл или сумму тех бесконечно тонких прямоугольников, на которые мы ее разбили. А ее площадь- это сумма их площадей. То есть вся наша задача сводится к тому, чтобы найти площадь каждого из этих прямоугольников, а затем их все сложить- это и есть определенный интеграл.

Теперь поговорим о неопределенном интеграле. Только, для того, чтобы понять, что это такое, сначала нужно узнать о производной. Итак, начнем.

Производная — это угол наклона касательной к какому-либо графику в какой-нибудь ее точке. Иными словами — производная — это то, насколько график наклонен в данном его месте. К примеру, прямая линия в любой точке имеет один и тот же наклон, а кривая- разный, но он может повторяться. Для вычисления производной существуют специальные формулы, а процесс ее вычисления называют дифференцированием. Т.е. дифференцирование — это определение угла наклона графика в данной точке.

Таблица основных неопределенных интегралов

А для того, чтобы сделать наоборот — узнать формулу графика по углу ее наклона, прибегают к операции интегрирования, или суммирования данных обо всех точках. Интегрирование и дифференцирование- два взаимообратных процесса. Только здесь уже пользуются не тем интегралом, который был в первом пункте ( для определения площади ), а другим — неопределенным, то есть, не имеющим пределов.

Предположим, что нам известно, что производная некоей функции равна 5. 5 — это угол наклона графика к оси х в данной точке. Тогда, проинтегрировав производную, мы узнаем, что функция этой производной, которую еще называют первообразной — у=5х+с , где с- любое число. Для интегрирования, так же как и для дифференцирования есть специальные формулы, которые можно найти в таблицах.

Заключение

В заключение прорезюмируем, что основное отличие определенного интеграла от неопределенного — в их назначениях. Определенные интегралы используются для вычисления ограниченных параметров, таких как площадь, длина или объем, а неопределенный — при вычислении параметров, не имеющих границ, то есть функций.

Интересное видео на эту тему:

Интегралы: всё, что вы хотели знать, без интриг и сложных терминов

Объясняем, почему любой интеграл — это много-много маленьких умножений, и показываем, как его посчитать.

Иллюстрация: Оля Ежак для Skillbox Media

Иван Стуков
Журналист, изучает Python. Любит разбираться в мелочах, общаться с людьми и понимать их.

Интегральное исчисление — мудрёный на первый взгляд раздел математического анализа, который оперирует такими понятиями, как «первообразная», «производная», «дифференцирование» и «предел». Оно описывается кучей формул, в которых легко заблудиться, особенно если зайти в тему без должной математической подготовки.

Что такое интеграл в математике

На самом деле в сути интегрирования нет ничего сложного: нужно лишь провести множество операций умножения нескольких слагаемых, а затем сложить результаты этих умножений друг с другом. Идеальный (то есть без погрешностей) интеграл работает с бесконечными величинами.

Если сказать простыми словами, интеграл — это сумма бесконечного количества умножений, проведённых с бесконечно малыми слагаемыми.

Как работает интеграл

В природе практически не существует ничего прямого и постоянного: процессы изменяют свою скорость, а материальные объекты сплошь и рядом неправильной формы. Это сильно затрудняет вычисление и описание реальности, но математики научились с этим справляться.

Представьте, что у вас есть велосипед со спидометром, который не только показывает вашу скорость, но и записывает её в каждый момент времени, а затем выдаёт график вашего движения.

Вы выехали из точки А в точку Б и два часа двигались со средней скоростью 12 км/ч. Так вам казалось, во всяком случае. То есть график вашего движения, по вашему мнению, выглядел как-то так:

Но в реальности всё было иначе. Сначала вы колесили не спеша, потом разогнались, потом замедлились на подъёме в горку, затем вообще встали на светофоре, после чего снова пришлось разогнаться. То есть реальный график вашего движения был таким:

Скорость менялась, и в разные периоды времени вы проделывали разный путь. Как же посчитать, сколько вы накрутили в итоге?

Очень просто: нужно поделить всё время на равные промежутки — и посчитать, с какой примерно скоростью вы ехали в каждый из них. Возьмём промежутки по 15 минут, умножим их на примерную среднюю скорость, получим расстояние — и представим всё это в таблице.

Время, мин	Скорость, км/ч	Расстояние, км
0–15	~7	~1,75
15–30	~13	~3,25
30–45	~12	~3
45–60	~8	~2
60–75	~4	~1
75–90	~7	~1,75
90–105	~12	~3
105–120	~11	~2,75

Теперь сложим все расстояния и получим приблизительно 18,5 км. Но это всё ещё не точный результат: скорость-то мы оценивали примерно.

Чтобы посчитать точнее, нужно взять как можно большее количество промежутков — по минуте, секунде, наносекунде и так далее. Чем короче будет каждый промежуток, тем ближе к реальности окажется результат.

В идеале наш график можно поделить на число промежутков, стремящееся к бесконечности, а размер каждого из них будет стремиться, соответственно, к нулю. Затем произвести умножение во всех промежутках и сложить результаты — в общем, сделать то же, что и раньше. Только табличка получится безразмерная. Это и есть интеграл нашей функции, который математически, если кто не помнит, записывается так:

∫ — значок интеграла. Выбран неслучайно: так как интеграл представляет собой сумму, то и обозначается вытянутой буквой S.

f(x) — это функция, которую мы интегрируем. В нашем примере мы задали функцию вручную, а не формулой, но математики работают именно с формулами.

dx — это обозначение того, что каждый промежуток является бесконечно малой величиной. Читается как «дельта икс».

При чём здесь дифференциал

У интегрирования есть ещё один математический смысл. Это операция, обратная дифференцированию. Давайте разберёмся, что это значит.

Представьте, что вы выпускаете в космосе аппарат, который удаляется от вас по формуле y = x 2 , где y — расстояние от вас в километрах, а x — время в часах. Причём x может принимать только положительные значения.

Вот график движения этого аппарата:

Наша функция растёт неравномерно: скорость её роста увеличивается, причём по определённому принципу.

Чтобы найти эту скорость, или, математически выражаясь, производную нашей функции, придумали дифференцирование. Производной от функции f(x 2 ) будет F(2x). Физически она будет показывать не положение аппарата в пространстве, а скорость, с которой движется аппарат:

Сравните саму функцию и её производную (то есть скорость изменения этой функции). Она растёт — её производная принимает положительные значения. Она начинает расти быстрее — её производная принимает более высокие значения.

Чтобы лучше понять смысл производной, посмотрите на графики функций и их производных и попробуйте понять связь между ними:

Слева — y = 8, справа — производная y = 0. Так как функция не растёт и не убывает, то и её производная отражает отсутствие изменений в левом графике.

Слева — y = 2x, справа — производная y = 2. Функция равномерно растёт в течение всего своего существования. Её производная отражает наличие роста и то, что этот рост неизменен: за каждый шаг x к функции всегда прибавляются два шага y.

Слева — y = x 2 , справа — производная y = 2x. Чтобы лучше понять связь, рассмотрим графики по частям.

На промежутке от минус бесконечности до нуля функция убывает. Следовательно, её производная принимает отрицательные значения.

Чем дальше, тем медленнее убывает левый график. На промежутке x от −3 до −2 он уменьшается с 9 до 4 — сразу на пять делений. А на промежутке от −2 до −1 уменьшается с 4 до 2 — всего на два деления. Так и производная, приближаясь к нулю, показывает, что функция убывает всё медленнее и медленнее.

В точке x = 0 функция не растёт и не убывает. Следовательно, в этой точке её производная равна нулю.

На промежутке от нуля до плюс бесконечности левый график растёт. Следовательно, производная принимает положительные значения.

Чем дальше, тем рост быстрее — по аналогии с предыдущим промежутком. Вместе с тем и производная увеличивает свои значения и этим показывает всё ускоряющийся рост функции. Всё это нужно понять, потому что интегрирование — это операция, обратная дифференцированию.

А теперь вернёмся к нашим интегралам. Если при дифференцировании мы ищем производную и превращаем левый график в правый, то при интегрировании поступаем наоборот: ищем первообразную и превращаем правый график в левый.

Вернёмся к аппарату, который мы запустили в космос. Мы знали расстояние, на котором он был от нас в каждый момент времени, и с помощью дифференцирования построили график его скорости.

Если же мы знаем скорость аппарата в каждый момент времени, то можем сделать наоборот и с помощью интегрирования построить график его перемещения.

Что такое неопределённый интеграл

Итак, мы выяснили, что с помощью интегралов можем воспроизвести функцию, зная только её производную. Такая восстановленная функция называется первообразной, а интеграл, который её ищет, — неопределённым. Для него выбрали такое имя, потому что он представляет собой не конкретное число, а целую функцию.

У неопределённого интегрирования есть интересная особенность — оно возвращает не одну первообразную, а целое их семейство.

Возьмём три первообразные: f(2x), f(2x + 5) и f(2x − 5). Вот их графики.

Теперь продифференцируем функции и найдём производную для каждой из них. Во всех трёх случаях получается F(2), то есть y = 2.

Так получается, потому что каждая из этих функция растёт с одинаковой скоростью: за один шаг в «иксе» они прибавляют два шага в «игреке». Следовательно, и производная у них одна и та же.

Интегрирование — обратная операция. Когда мы берём интеграл от F(2), то можем получить и f(2x), и f(2x + 5), и f(2x − 5), бесконечное количество других функций того же типа. Это дополнительное число называется произвольной постоянной.

Поэтому, когда мы берём неопределённый интеграл, то указываем в результате эту произвольную постоянную: f(2x + C).

В общем виде неопределённый интеграл выглядит так:

Что такое определённый интеграл

Определённый интеграл отличается от неопределённого тем, что его результатом является не формула (семейство первообразных), а конкретное число.

Когда мы считали, сколько проехали на велосипеде за два часа, то брали именно определённый интеграл. Его запись отличается от записи неопределённого интеграла и выглядит так:

a здесь обозначает начало интегрируемого промежутка, b — его окончание. Таким образом, если мы берём интеграл:

То нас интересует только вот этот кусок параболы:

Наши красные линии вам ничего не напоминают? Это же криволинейная трапеция! А так как интеграл представляет собой сумму маленьких умножений x на y в каждой возможной точке, то в результате интегрирования у нас получается площадь красной фигуры.

Именно поэтому интеграл часто описывают как «площадь фигуры под кривой» — это одно из его геометрических проявлений.

Как считать интегралы

Теперь давайте посмотрим, как посчитать интеграл

Если интеграл сложный, то сначала его нужно преобразовать, пользуясь методами интегрирования. Этих методов не очень много, но они сложные и комплексные, поэтому мы не рассматриваем их в этой статье.

Примечание. Интегрировать можно не каждую функцию. Это возможно только в тех случаях, когда она определена и непрерывна в области интегрирования.

После того как подынтегральная функция приведена в элементарный вид, нужно найти её первообразную. Чтобы сделать это, следует воспользоваться таблицей неопределённых интегралов.

Вот список основных и самых простых (но далеко не всех) интегралов:

Если вы считали неопределённый интеграл, то вуаля: подставляете значения в формулу, и ответ готов — очень просто. Если же вы ищете определённый интеграл, нужно воспользоваться формулой Ньютона — Лейбница.

Как видим, для нахождения определённого интеграла необходимо провести два преобразования.

Сначала, как и в случае с неопределённым интегралом, мы находим первообразную F (x). Константа C в этом случае не добавляется.

Этот символ значит, что мы работаем со значениями этой первообразной от a до b.

Затем мы должны подставить значения a и b в найденную первообразную, посчитать результат и найти разность этих результатов. Это и будет определённый интеграл.

Примеры решения интегралов

Чтобы было нагляднее и понятнее, закрепим алгоритм интегрирования несколькими простыми примерами.

Пример 1

Найдите неопределённый интеграл:

Решение

Пример 2

Найдите определённый интеграл:

Решение

Пример 3

Найдите неопределённый интеграл:

Решение

Обратите внимание, что если построить график функции и её первообразной, то в обоих случаях x будет принимать значения от нуля до плюс бесконечности.

Пример 4

Найдите определённый интеграл:

Решение

Читайте также:

• Что такое логарифм: основные свойства и примеры решения логарифмических задач
• Запутанная задача про поп-ит
• PHP: что это за язык программирования и почему он популярен

То есть для любого значения x существует соответствующее значение y.

Конев В.В. Неопределенные интегралы

Неопределенный интеграл

Неопределенные интегралы

Если функция является первообразной функции , то и любая другая функция, отличающаяся от на постоянное слагаемое, является первообразной функции .

Выражение описывает всю совокупность первообразных функции и называется непределенным интегралом от функции .

Если – одна из первообразных некоторой функции , то совокупность всех первообразных этой функции можно представить в виде , где C – произвольная постоянная.
Таким образом,

(1)

Функция, имеющая первообразную в некотором промежутке, называется интегрируемой, а процедуру нахождения первообразной называют интегрированием этой функции.

Приведем некоторые терминологические выражения:

– знак интеграла;
– подынтегральная функция;
– подынтегральное выражение;
x – переменная интегрирования;
C – постоянная интегрирования;

Легко убедиться в том, что дифференцирование и интегрирование представляют собой взаимно обратные операции.
Действительно,

	(2)
	(3)

Опуская промежуточные преобразования, получаем уравнения

	(4)
	(5)

Первообразная. Неопределённый и определённый интегралы

Определение. Непрерывная функция F(x) называется первообразной функции f(x), если на промежутке X, если для каждого .

Операция нахождения первообразной функции f(x), называется интегрированием.

Неопределенный интеграл

Неопределённый интеграл-это совокупность всех первообразных функции f(x). В общем случае, нахождение неопределённого интеграла выглядит следующим образом:

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования. Неопределённый интеграл представляет собой, как бы, «пучок» первообразных, из-за наличия постоянной интегрирования.

Дифференциал-произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины.

Свойства неопределённого интеграла

Таблица основных неопределённых интегралов

В виде

,

где f(x)-подынтегральная функция, F(x)-первообразная функция функции f(x), dx-дифференциал, C-константа интегрирования.

Определённый интеграл

Определенный интеграл— Приращение одной из первообразных функции f(x) на отрезке [a;b].

Общий вид определённого интеграла:

где f(x)–подынтегральная функция, a и b-пределы интегрирования, dx-дифференциал

Свойства определённого интеграла: см. св-ва определённого интеграла.

Определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

Применение определённого интеграла:

1. Нахождение площади криволинейной трапеции

2. Нахождение величины скорости v по заданному закону ускорения a(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е

Пример: Точка движется по закону ускорения a(t)=t+1. Найти величину ее скорости за промежуток времени [2;4] секунд.

Решение:

3. Нахождение пути S по закону изменения скорости v(t) за промежуток времени [t1;t2], т.е.

Пример: Найти путь, который проделала материальная точка за промежуток времени [2;4], двигаясь со скоростью, которая изменялась по закону: v(t)=2t+2.

Решение:

Стоит отметить, что, на сегодняшний день, интегральное и дифференциальное исчисление занимают лидирующие позиции в математике. Советую вам ознакомиться, более подробно, с широким применением интегралов в естествознании.