Число размещений amn определяется как

2. Размещения

Размещением из \(n\) элементов по \(m\) элементов ( m ≤ n ) называется упорядоченная выборка элементов \(m\) из данного множества элементов \(n\).

Количество размещений из \(n\) элементов по \(m\) элементов обозначается A n m (читается как «размещение из \(n\) элементов по \(m\) элементов»).

Число \(m\) показывает количество элементов размещения (сколько элементов выбирается).
Число \(n\) показывает количество элементов данного множества.
Размещения вычисляются по формуле A n m = n ! ( n − m ) ! .

1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр \(2; 3; 4; 5; 6\) (если цифры не должны повторяться)?

Решение:
выбираются \(2\) элемента из множества \(5\) элементов.

В данном случае \(n = 5\) (т. к. дано множество с \(5\) цифрами), а \(m = 2\) (т. к. нужно выбрать \(2\) цифры для числа).

Вычисляем A 5 2 .
По формуле: A 5 2 = 5 ! 5 − 2 ! = 5 ! 3 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ! 3 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ! 3 ! = 20 .
Ответ: из данных цифр можно составить \(20\) двузначных чисел с различными цифрами.
2. Даны элементы \(3\) разных цветов: зелёного, синего и красного.

Сколькими различными способами можно выбрать \(2\) из них, если порядок важен?
Решение:
эту задачу можно решить двумя способами: полным перебором или подставив величины в формулу.

1) 2) 3)

4) 5) 6)

Как видно на картинке, два элемента из всех данных можно выбрать \(6\) различными способами.

Подставив величины в формулу (\(n = 3\) и \(m= 2\)), получаем такой же результат: A 3 2 = 3 ! ( 3 − 2 ) ! = 3 ! 1 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 1 = 6 1 = 6 .

Комбинаторные формулы

Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Обозначим его .Перестановкой изnэлементов называется заданный порядок во множестве . Примеры перестановок:1)распределение n различных должностей среди n человек;2)расположение n различных предметов в одном ряду. Сколько различных перестановок можно образовать во множестве ? Число перестановок обозначается P_n (читается “Р из n”). Чтобы вывести формулу числа перестановок, представим себе n ячеек, пронумерованных числами 1,2. n. Все перестановки будем образовывать, располагая элементы U_n в этих ячейках. В первую ячейку можно занести любой из n элементов (иначе: первую ячейку можно заполнить n различными способами). Заполнив первую ячейку, можно найти n–1 вариантов заполнения второй ячейки. Таким образом, существует n(n–1) вариантов заполнения двух первых ячеек. При заполнении первых двух ячеек можно найти n–2 варианта заполнения третьей ячейки, откуда получается, что три ячейки можно заполнить n(n-1)(n-2) способами. Продолжая этот процесс, получим, что число способов заполнения n ячеек равно . ОтсюдаP_n= n(n – 1)(n – 2). 321 Число n(n – 1)(n – 2). 321, то есть произведение всех натуральных чисел от 1 до n, называется «n-факториал» и обозначается n! Отсюда P_n =n! По определению считается: 1!=1; 0!=1. Пример. Сколько существует вариантов замещения 5-ти различных вакантных должностей 5-ю кандидатами? . Размещениями изnэлементов поkэлементов будем называть упорядоченные подмножества, состоящие изkэлементов множества (множества, состоящего из n элементов). Число размещений из n элементов по k элементов обозначается (читается «А из n по k«). Одно размещение изnэлементов поkэлементов может отличаться от другого как набором элементов, так и порядком их расположения.Примеры задач, приводящих к необходимости подсчета числа размещений1) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек 5 кандидатов и назначить их на 5 различных должностей?2) Сколькими способами можно из 20 книг отобрать 12 и расставить их в ряд на полке? В задачах о размещениях полагается k< n. В случае, если k = n, то легко получить Для подсчетаиспользуем тот же метод, что использовался для подсчетаP_n, только здесь возьмем лишь k ячеек. Первую ячейку можно заполнить n способами, вторую, при заполненной первой, можно заполнить n–1 способами. Таким образом, существует п(п – 1) вариантов заполнения первых двух ячеек. Можно продолжать этот процесс до заполнения последней k–й ячейки. Эту ячейку при заполненных первых k – 1 ячейках можно заполнить n–(k–1) (или n–k+1) способами. Таким образом, все k ячеек заполняются числом способов, равным Отсюда получаем: Пример. Сколько существует различных вариантов выбора 4-х кандидатур из 9-ти специалистов для поездки в 4 различных страны? Сочетаниями изnэлементов поkэлементов называются подмножества, состоящие изkэлементов множества (множества, состоящего из n элементов). Одно сочетание от другого отличается только составом выбранных элементов (но не порядком их расположения, как у размещений). Число сочетаний из n элементов по k элементов обозначается (читается «C из n по k«). Примеры задач, приводящих к подсчету числа сочетаний:1) Сколько существует вариантов выбора 6-ти человек из 15 кандидатов для назначения на работу в одинаковых должностях?2)Сколькими способами можно из 20книг отобрать12 книг? Выведем формулу для подсчета числа сочетаний. Пусть имеется множество и нужно образовать упорядоченное подмножество множества , содержащееk элементов (то есть образовать размещение). Делаем это так: 1) выделим какие-либо k элементов из n элементов множества Это, согласно сказанному выше, можно сделать способами; 2) упорядочим выделенные k элементов, что можно сделать способами. Всего можно получитьвариантов (упорядоченных подмножеств), откуда следует:, то есть Пример: 6 человек из 15 можно выбрать числом способов, равным Несложно понять, что осуществить выбор подмножества из т элементов множества, насчитывающего п элементов, можно, выбрав п–т элементов, которые не войдут в интересующее нас подмножество.Отсюда следует свойство числа сочетаний Эту формулу можно доказать, используя формулу (1). Задачи на подсчет числа подмножеств конечного множества называются комбинаторными. Рассмотрим некоторые комбинаторные задачи. 1.Из семи заводов организация должна выбрать три для размещения трех различных заказов. Сколькими способами можно разместить заказы? Так как из условия ясно, что каждый завод может либо получить один заказ, либо не получить ни одного, и что выбрав три завода, можно по-разному разместить среди них заказы, здесь нужно считать число размещений 2.Если из текста задачи 1 убрать условие различия трех заказов, сохранив все остальные условия, получим другую задачу. Теперь способ размещения заказов определяется только выбором тройки заводов, так как все эти заводы получат одинаковые заказы, и число вариантов определяется как число сочетаний. 3.Имеются 7 заводов. Сколькими способами организация может разместить на них три различных производственных заказа? (Заказ нельзя дробить, то есть распределять его на нескольких заводах). В отличие от условия первой задачи, здесь организация может отдать все три заказа первому заводу или, например, отдать два заказа второму заводу, а один — седьмому. Задача решается так. Первый заказ может быть помещен семью различными способами (на первом заводе, на втором и т.д.). Поместив первый заказ, имеем семь вариантов помещения второго (иначе, каждый способ помещения первого заказа может сопровождаться семью способами помещения второго). Таким образом, существует 77=49 способов размещения первых двух заказов. Разместив их каким-либо образом, можем найти 7 вариантов помещения третьего (иначе, каждый способ размещения первых двух заказов может сопровождаться семью различными способами помещения третьего заказа). Следовательно, существуют 497=7 3 способов размещения трех заказов. (Если бы заказов было n, то получилось бы 7 n способов размещения). 4.Как решать задачу 3, если в ее тексте вместо слов «различных производственных заказа» поставить «одинаковых производственных заказа»? Это трудная задача. Ниже приводится аналогичная задача– ЗадачаV с решением. 5.Добавим к условию задачи 1 одну фразу: организация также должна распределить три различных заказа на изготовление деревянных перекрытий среди 4-х лесопилок. Сколькими способами могут быть распределены все заказы? Каждый из способов распределения заказов на заводах может сопровождатьсяспособами размещения заказов на лесопилках. Общее число возможных способов размещения всех заказов будет равно 6. Риэлтерская фирма предлагает на продажу 5 больших квартир и 4 малогабаритных квартиры. Банк намеревается купить 4квартиры, причём среди них не должно быть более двух малогабаритных. Сколько вариантов выбора имеет банк? Банк может купить 4 большие квартиры. У него есть возможность выбрать 4 из 5-ти предлагаемых квартир, и число вариантов здесь равно . Если банк решит купить три большие квартиры и одну малогабаритную, то число вариантов выбора у него будет равно. Если будет принято решение купить две малогабаритных квартиры и две больших квартиры, то число вариантов будет равным. Таким образом, у банка есть 105 вариантов выбора.

1. Матрица. Виды матриц. Сложение и вычитание матриц, умножение на число, транспонирование. Примеры.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Так, 230 104 есть матрица с двумя строками и тремя столбцами. Обозначим ее A. Обычно элементы матрицы обозначаются теми же буквами, что и матрица, но строчными: A = (ai j). В этой матрице всего 6 элементов: a11 = 2, a12 = 3, a13 = 0, a21 = 1, a22 = 0, a23 = 4 (надо читать эти элементы так: a11 — а-один-один, a12 — а-один-два и т.д.). Число строк и число столбцов в матрице называются ее размерами, причем число строк называют первым. Итак, A есть матрица размером 2 × 3. Две матрицы считаются равными (одинаковыми) тогда и только тогда, если у них совпадают их размеры, т.е. число строк и число столбцов, и совпадают сами строки и столбцы. Пусть, например,A = (ai j) есть матрица m × n и B = (bi j) есть матрица k × s; тогда A = B, если и только если k = m, s = n и ai j = bi j для любых i = 1, . m и j = 1, . n. Таким образом, бессмысленно говорить о равенстве матриц при несовпадении их размеров. Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. В квадратной матрице элементы ai i образуют главную диагональ матрицы. Если в квадратной матрице все элементы — нули и только на главной диагонали все элементы есть единицы, то такая матрица называется единичной. Так, E3 = 100 010 001 есть единичная матрица размера 3. В каждой размерности есть своя единичная матрица.Рассмотрим матрицу A размерами m × n. Каждую ее строку мож- но считать вектором-строкой размерности n и каждый столбец — вектором-столбцом размерности m. Обозначим i-ю строку-вектор a i , j-й столбец-вектор Aj, тогда матрицу A можно представить упо- рядоченным набором векторов-строк: A = a1 . . . a m или упорядоченным набором векторов-столбцов: A = (A1, . An) . Заметим, что векторы можно рассматривать как частный случай матриц. Так, вектор-строка может рассматриваться как матрица содной строкой; аналогично вектор-столбец — как матрица с одним столбцом. Виды матриц 1. Прямоугольные: m и n — произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n 3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) — во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1. Например 5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например 6. Единичная матрица: m=n и 7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2. m j=1,2. n 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0. Пример. 9. Симме трическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A’=AНапример, 10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii) Пример. 11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji — комплексно — сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно — сопряженное Ã=3-2i) Пример Сложение матриц — поэлементная операцияВычитание матриц — поэлементная операцияУмножение матрицы на число В результате умножения матрицы на число получается матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является результатом произведения соответствующего элемента исходной матрицы на число. Мы получим одинаковый результат, умножая число на матрицу, или матрицу на число. Из определения следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы Транспонирование матриц – переход от матрицы А к матрице, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Пример 1. Составить транспонированную матрицу, полученную из А: Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок: Операция умножения матриц Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам: A×B = C; Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй. Свойства операции умножения матриц. 1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ¹ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А×Е = Е×А = А Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство: A×O = O; O×A = O, где О – нулевая матрица. 2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:(АВ)С=А(ВС). 3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно: А(В + С) = АВ + АС (А + В)С = АС + ВС. 4) Если произведение АВ определено, то для любого числа a верно соотношение: a(AB) = (aA)B = A(aB). 5) Если определено произведение АВ , то определено произведение ВТАТ и выполняется равенство: (АВ)Т = ВТАТ, где индексом Т обозначается транспонированная матрица. 6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detA×detB. 6. Определители второго и третьего порядков. Примеры. Определитель первого порядка равен тому единственному элементу, из которого состоит соответствующая матрица. Определитель второго порядка вычислим, например, по элементам первой строки Запишем разложение данного определителя по элементам второй строки Полученный результат совпадает с результатом вычисления определителя по первой строке. Этот же результат получится и при разложении по любому из столбцов. Рекомендуем это проверить самостоятельно. Из сказанного можно заключить, что определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали. Пример. Найдем определитель третьего порядка, раскладывая его по элементам, например, третьего столбца Пример. Таким образом, вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка. Получается, что определитель n — го порядка мы найдем через определители (n -1) — го порядка.

1. Вероятность. Классическая формула вычисления вероятности. Статистическая вероятность. Примеры с игральными костями и монетами.

Вероятность — одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения. Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1 — белый. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события. Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через w1, w2, w3 и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: w1 — появился белый шар; w2, w3 — появился красный шар; w4, w5, w6 — появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны). Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию A (появлению цветного шара) следующие 5 исходов: w2, w3, w4, w5, w6. Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих A; в нашем примере А наблюдается, если наступит w2, или w3, или w4, или w5, или w6. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (w2, w3, w4, w5, w6); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом). Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р (А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р (A) = 5 / 6. Это число и дает ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой Р (A) = m / n,где m — число элементарных исходов, благоприятствующих A; n — число всех возможных элементарных исходов испытания. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства: С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, Р (A) = m / n = n / n = 1. С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р (А) = m / n = 0 / n = 0. С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1 Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 По определению, вероятность Р(А) события А равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих А. Отсюда легко получить, что вероятность события достоверного равна единице, невозможного - нулю, произвольного - заключена между нулем и единицей. Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможны. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого исхода равна 1 / n. Пусть событию А благоприятствует m исходов. Вероятность события А равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих А: Р (А) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n. Учитывая, что число слагаемых равно m, имеем Р (А) = m / n. Получено классическое определение вероятности. Построение логически полноценной теории вероятностей основано на аксиоматическом определении случайного события и его вероятности. В системе аксиом, предложенной А. Н. Колмогоровым, неопре-деляемыми понятиями являются элементарное событие и вероятность. Приведем аксиомы, определяющие вероятность: 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р (А). Это число называется вероятностью события А. 2. Вероятность достоверного события равна единице: P(W) = l. 3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Исходя из этих аксиом, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем. Классическая формула для определения вероятности наступления случайного события X выглядит следующим образом:где Nx — количество вариантов возможного наступления случайного события х; N— общее количество возможных исходов. Пример. Бросая игральную кость, мы можем получить шесть возможных исходов — выпадение одной из шести граней игральной кости: 1,2,3, 4, 5 или 6. Таким образом, можно определить вероятность выпадения одной из граней, например 3: Таким образом, вероятность выпадения одной из граней игральной кости (в нашем примере 3) составляет 16.67%. Можно также определить вероятность выпадения одной из двух граней (например, 2 или 3). В этом случае используется правило сложения вероятностей, а вероятность рассчитывается следующим образом: Р(х8; By) = Р<х) + Р<у) = 0.1667 + 0.1667 = 0.3333 или 33.33%, где Р(х) — вероятность наступления случайного события х (в нашем примере 2); Р(у) — вероятность наступления случайного события у (3). Таким образом, вероятность выпадения грани с цифрой 2 или 3 равна 33.33%. Правило сложения вероятностей используется для зависимых событий, когда одно случайное событие исключает наступление другого случайного события. Если необходимо найти вероятность одновременного наступления двух и более случайных событий, используется правило умножения вероятностей. При этом все события должны быть независимы друг от друга. Пример. В результате одновременного броска двух игральных костей мы можем получить 36 различных комбинаций: 1 — 1,1—2,1—3,1—4,1— 5, 1—6, 2—1, 2—2, 2—3 и т.д. Для определения вероятности того, что в результате подбрасывания мы получим на гранях обеих игральных костей по 1, используем правило умножения вероятностей: Р(х8; 87) = Р<х)хР<у) = 0.1667x0.1667 = 0.0278 или 2.78% Таким образом, вероятность одновременного выпадения на двух игральных костях граней с цифрой 1 равна 2.78%. Статистическая вероятность При статистическом определении в качестве вероятности события принимают его относительную частоту. где m — число испытаний, в которых событие A наступило, n — общее число произведённых испытаний. Пример 2.1 В некотором районе зарегистрировано рождение с начала года 1248 младенцев, из них 645 мальчиков. Какова вероятность рождения мальчика в данном районе? Решение За вероятность принимаем относительную частоту рождения мальчиков. W = 645/1248 ≈ 0,517 Задача 1. Игральная кость подбрасывается два раза. Какова вероятность того, что хотябы один раз появляется шестерка? РЕШЕНИЕ Результат двукратного подбрасывания кости можно описать множеством U строк u = u1u2 длины 2, составленных из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Число таких строк равно 62 = 36.Симметричность кости позволяет использовать модель Лапласа для n = 36 равновероятных исходов. Задача сводится к вычислению вероятности Р(С) события С, составленного из строк u = u1u2 для которых u1 = 6 или u2 = 6: С = . 1. Имеем: P(C) = n(C)/n(U) = 11/36. 2. Дополнение А = С` события С состоит из строк u = u1u2 для которых u1 ≠ 6 или u2 ≠ 6. Число таких строк равно 52 = 25. Поэтому Р(С`) = Р(А) = 52/62 = (5/6)2. По правилу дополнения Р(С) = Р(А’) = 1 — (5/6)2 = 11/36. 3. Событие С можно представить в виде объединения событий А = и В = , описывающих появление шестерки соответственно при первом и втором подбрасываниях. Имеем: P(А) = 6/36, Р(B) = 6/36, Р(АВ) = Р () = 1/36. По правилу объединения, P(С) = Р(A U В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ) = 6/36 + 6/36 — 1/36 = 11/36. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых. Итак, вероятность события — это отношение благоприятных исходов к общему количеству исходов. То есть, для нашего примера: чтобы найти вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков нужно разделить количество исходов при которых выпадает 8 очков на общее количество исходов. Всего возможно 36 вариантов исходов:

Первая игр. кость	Вторая игр. кость	Сумма очков
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3	1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6	2 3 4 5 6 7 3 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9

Первая кость	Вторая кость	Сумма очков
4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6	1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6	5 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12

Благоприятные исходов 5 (первое число количество очков первой игральной кости, второе число количество очков второй игральной кости) : 2 и 6, 3 и 5, 4 и 4, 5 и 3, 6 и 2. Таким образом, вероятность, что в сумме выпадет 8 очков равна:P8=5/36≈0,14 Ответ к задаче, вероятность равна 0,14 или 14%. Пример 2: В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз. Алгоритм решения задачи аналогичен алгоритму решению предыдущей задачи. Нужно определить сколько всего вариантов и сколько из них благоприятные варианты. Перечислим все варианты (О-выпал орел, Р-выпала решка): А Б С Д Первый бросок О Р О Р Второй бросок О Р Р О Итак, всего возможно 4 варианта. Благоприятных вариантов 2 — вариант С и Д (только в них Орел выпадает ровно один раз). Следовательно, вероятность того, что орел выпадет ровно один раз равна: РО=2/4=0,5 Ответ к задаче, вероятность равна 0,5 или 50%.

1. Геометрическая вероятность(линейный плоский объемный случаи). Примеры.

Геометрическая вероятность Классическое определение вероятности связано с понятием элементарного события. Рассматривается некий набор Ω равновероятных событий Ai, которые в совокупности дают достоверное событие. И тогда все хорошо: всякое событие разбивается на элементарные, после чего считается его вероятность. Однако, далеко не всегда исходный набор Ω (т.е. пространство всех элементарных событий) является конечным. Например, в качестве Ω можно взять ограниченное множество точек на плоскости или отрезок на прямой. В качестве события A можно рассмотреть любую подобласть области Ω. Например, фигуру внутри исходной фигуры на плоскости или отрезок, лежащий внутри исходного отрезка на прямой. Заметим, что элементарным событием на таком множестве может быть только точка. В самом деле, если множество содержит более одной точки, его можно разбить на два непустых подмножества. Следовательно, такое множество уже неэлементарно. Теперь определим вероятность. Тут тоже все легко: вероятность «попадания» в каждую конкретную точку равна нулю. Иначе получим бесконечную сумму одинаковых положительных слагаемых (ведь элементарные события равновероятны), которые в сумме по-любому больше P(Ω) = 1. Итак, элементарные события для бесконечных областей Ω — это отдельные точки, причем вероятность «попадания» в любую из них равна нулю. Но как искать вероятность неэлементарного события, которое, подобно Ω, содержит бесконечное множество точек? Вот мы и пришли к определению геометрической вероятности. Определение Геометрическая вероятность события A, являющегося подмножеством множества Ω точек на прямой или плоскости — это отношение площади фигуры A к площади всего множества Ω: Задача Мишень имеет форму окружности радиуса 4. Какова вероятность попадания в ее правую половину, если попадание в любую точку мишени равновероятно? При этом промахи мимо мишени исключены. Решение Взглянем на картинку: нас устроит любая точка из правого полукруга. Очевидно, площадь S(A) этого полукруга составляет ровно половину площади всего круга, поэтому имеем: Ответ 0,5 Чтобы наглядно представить себе, что такое геометрическая вероятность, возьмите лист бумаги и начертите произвольную фигуру. Треугольник, квадрат или окружность — что угодно. Затем возьмите острый, хорошо заточенный карандаш и ткните им в любую точку фигуры. Повторите этот нехитрый процесс несколько раз. Если исключить попадания за пределами фигуры, то получится вот что: Вероятность попадания в фигуру равна P(Ω) = 1. Это вполне логично, поскольку вся наша фигура — это и есть пространство элементарных событий Ω; Если некоторую точку (элементарное событие) отметить заранее, то вероятность попадания именно в нее равна нулю. Даже если специально «целиться», точного попадания не будет. Ошибка составит тысячные доли миллиметра, но не ноль; Теперь возьмем две точки. Вероятность попадания в любую из них все равно ноль. Аналогично, если взять 3 точки. Или пять — без разницы. Этот опыт показывает, что конечная сумма нулевых слагаемых всегда равна нулю. Но что происходит, когда слагаемых становится бесконечно много? Здесь ситуация не так однозначна, и возможны три варианта: Сумма равна нулю, как и для конечного набора точек. Если в нашем опыте отмечать точки до бесконечности, вероятность попадания в их объединение все равно нулевая; Сумма равна некоторому положительному числу — этот случай принципиально отличается от первого. Здесь и возникает геометрическая вероятность; Сумма равна бесконечности — бывает и такое, но сейчас нас это не интересует. Почему так происходит? Механизм возникновения положительных чисел и бесконечностей связан с понятием счетности множества. Кроме того, надо понимать, что такое мера Лебега. Впрочем, эти знания действительно нужны вам, только если вы учитесь на математика.

1. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема об умножении вероятностей зависимых событий. Примеры.

События А , В Е называются независимыми, если Р ( А В ) = Р ( А ) · Р ( В ) . В противном случае события А и В называются зависимыми. Пусть вероятность события В не зависит от появления события А. Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РA (В) = Р (В). (*) Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим Р (A) Р (В) = Р (В) РB (A). Отсюда РB (A) = Р (A), т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В. Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что свойство независимости взаимно. Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) РA (В) имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**) т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Равенство (**) принимают в качестве определения независимых событий. Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми. На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы. Случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий эксперимента может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий эксперимента, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события В при дополнительном условии, что произошло событие А. Условной вероятностьюдва обозначения) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло, т.е.

Формула числа размещений

Пусть имеется $n$ различных объектов.
Будем выбирать из них $k$ объектов и переставлять всеми возможными способами между собой (то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок). Получившиеся комбинации называются размещениями из $n$ объектов по $k$, а их число равно

Если вы уже знакомы с сочетаниями, то легко заметите, что чтобы найти размещения, надо взять все возможные сочетания, а потом в каждом еще поменять порядок всеми возможными способами (то есть фактически сделать еще перестановки). Поэтому число размещений еще выражается через число перестановок и сочетаний так:

$$A_n^k= C_n^k \cdot k! = C_n^k \cdot P_k.$$

Получилась такая изящная формула, объединяющая три других формулы комбинаторики (три концепции: размещений, сочетаний и перестановок).

Пример всех размещений из $n=3$ объектов (различных фруктов) в группы по $m=2$ с учетом порядка — на картинке справа. Согласно формуле, их должно быть ровно $$A_3^2=3\cdot (3-2+1)=3\cdot 2 =6.$$

Найти число размещений из n элементов по k

Чтобы вычислить число размещений $A_n^k$ онлайн, используйте калькулятор ниже.

Видеоролик о размещениях

Не все понятно? Посмотрите наш видеообзор для формулы размещений: как использовать Excel для нахождения числа размещений, как решать типовые задачи и использовать онлайн-калькулятор.

Расчетный файл из видео можно бесплатно скачать

Лучшее спасибо — порекомендовать эту страницу

Полезные ссылки

• Онлайн-учебник по теории вероятностей
• Как решать задачи по комбинаторике?
• Примеры решений задач по теории вероятностей
• Решить теорию вероятности на заказ

Основные понятия комбинаторики

Комбинаторика – раздел математики, в котором
изучаются вопросы о том, сколько различных
комбинаций, подчиненных тем или иным условиям,
можно составить из заданных объектов.
Слово «комбинаторика» происходит от латинского
слова «combinare», что в переводе на русский
означает – «сочетать», «соединять».
Термин «комбинаторика» был введён знаменитым
Готфридом Вильгельмом Лейбницем, — всемирно
известным немецким учёным.

3. В комбинаторике решаются некоторые задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов

Пример: если взять 10 различных цифр:
0,1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 и составлять из них комбинации,
то будем получать различные числа, например 143,
431, 5671, 1207, 43 и т.п.

4.

Мы видим, что некоторые из таких комбинаций
отличаются только порядком цифр (например, 143 и
431),
другие — входящими в них цифрами (например,
5671 и 1207),
третьи различаются и числом цифр (например, 143
и 43).

5.

Таким образом, полученные комбинации
удовлетворяют различным условиям.
В зависимости от правил составления можно
выделить три типа комбинаций: перестановки,
размещения, сочетания.

6. Предварительно познакомимся с понятием факториала.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до n
включительно называют n- факториалом и пишут
n!=1*2*3…*(n-1) *n

7.

Пример 1. Вычислить:
а)
3!
б)
7! 5!
в)
7! 5!
6!
3! 1 2 3 6
7! 1 2 3 4 5 6 7
Решение. а)
б)
5! 1 2 3 4 5
5!(6 7 1) 5! 41 1 2 3 4 5 41 120 41 4920
в)
7! 5! 5!(6 7 1) 6 7 1 43
6!
5! 6
6
6

8.

Перестановки.
Комбинация из n элементов, которые
отличаются друг от друга только порядком
элементов, называются перестановками.
Перестановки обозначаются символом. Рn, где n- число элементов, входящих
в каждую перестановку. (Р — первая буква французского слова permutationперестановка).
Число перестановок можно вычислить по формуле
Pn n (n 1)(n 2). 3 2 1
или с помощью факториала:
Pn n!
Запомним, что 0!=1 и 1!=1.
Пример 2. Сколькими способами можно расставлять на одной полке шесть
различных книг?
Решение. Искомое число способов равно числу перестановок из 6 элементов, т.е.
P6 6! 1 2 3 4 5 6 720

9.

Размещения.
Размещениями из m элементов в n в каждом называются такие
соединения, которые отличаются друг от друга либо самими элементами
(хотя бы одним), либо порядком их расположения.
Размещения обозначаются символом
.
A
n
m
где m- число всех имеющихся элементов, n- число элементов в каждой комбинации.
(А-первая буква французского слова arrangement, что означает «размещение,
приведение в порядок»).
Число размещений можно вычислить по формуле
Amn m (m 1)( m 2) .
n. м ножителей
т.е. число всех возможных размещений из m элементов по n равно произведению
n последовательных целых чисел, из которых большее есть m.
Запишем эту формулу в факториальной форме:
Amn
m!
(m n)!

10.

Пример 3. Сколько вариантов распределения трех путевок в санатории
различного профиля можно составить для пяти претендентов?
Решение. Искомое число вариантов равно числу размещений из 5 элементов по
3 элемента, т.е.
A 5 4 3 60
3
5

11.

Сочетания
Сочетаниями называются все возможные
комбинации из m элементов по n, которые
отличаются друг от друга по крайней мере хотя
бы одним элементом (здесь m и n-натуральные
числа)
.

12.

C
Число сочетаний из m элементов по n обозначаются:
n
m
(С-первая буква французского слова combination- сочетание).
Amn
C
Pn
В общем случае число из m элементов по n равно числу
размещений из m элементов по n, деленному на число
перестановок из n элементов:
Используя для чисел размещений и
C mn
перестановок факториальные формулы, получим:
Кроме того, при решении задач используются следующие
.
формулы, выражающие основные свойства сочетаний:
По определению полагают
C n0 1
n
m
m!
(m n)! n!
C mn C mm n
C nn 1
( 0 n m)
C mn C mn 1 C mn 11

13.

Пример 4. В бригаде из 25 человек нужно выделить четырех для работы на
определенном участке. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных четырех человек не имеет значения, то
это можно сделать
C
4 пособами.
25
Находим по первой формуле:
25 24 23 22
C
12650
1 2 3 4
4
25

14.

Решение комбинаторных задач
Задача 1. На факультете изучается 16 предметов. На понедельник нужно в
.
расписание поставить 3 предмета. Сколькими способами
можно это сделать?
Решение. Способов постановки в расписание трех предметов из 16 столько, сколько
можно составить размещений из 16 элементов по 3.
16!
16! 13! 14 15 16
A
14 15 16 3360
(16 3)! 13!
13!
3
16

15.

Задача 2.
Из 15 объектов нужно отобрать 10 объектов. Сколькими способами это можно
сделать?
Решение.
10
C15
15!
15! 10! 11 12 13 14 15 11 12 13 14 15 11 3 13 3 14
(15 10)! 10! 5!10!
5! 10!
1 2 3 4 5
2 3 1 1
11 3 13 14
11 3 13 7 3003.
2

16.

Задача 3.
В соревнованиях участвовало четыре
команды. Сколько
.
вариантов распределения мест между ними возможно?
Решение.
P4 1 2 3 4 24

17.

Задача 4.
Сколькими способами можно составить дозор из трех солдат и
одного офицера, если имеется 80 солдат и 3 офицера?
Решение. Солдат в дозор можно выбрать
C
3
80
80! 77! 78 79 80 78 79 80
13 79 80 82160
77!3!
77! 1 2 3
2 3
способами, а офицеров
C 31 3
способами. Так как с каждой командой из солдат может пойти
любой офицер, то всего имеется
3
C80
C31 82160 3 246480
способов.