Что такое спектральная плотность сигнала

2.4.10 Спектральная плотность некоторых тестовых сигналов

Условие абсолютной интегрируемости функции ограничивает класс сигналов, для которых существует формула для спектральной плотности, выраженная обычными функциями. К таким сигналам относятся важные для анализа прохождения сигналов через электронные цепи функции, как гармоническое колебание, заданное при единичный скачок (функция Хевисайда), постоянный сигнал и др. Это позволяет сделать так называемая дельта-функция (функция Дирака)- бесконечно короткий импульс с единичной площадью.

а) Дельта-импульс во временной области.

При =0 дельта-импульс обозначается d (t) . Площадь импульса равна 1,т.е.

Одно из важных свойств d — функции – избирательность:

Спектральную плотность d -импульса определим обычным способом:

Таким образом, модуль спектральной плотности d — импульса равен 1[Сигн/Гц] на всех частотах и не зависит от положения на оси времени. ФЧХ спектральной плотности равна () , т.е. линейна (рис. 10).

Это означает, что бесконечное число гармонических составляющих с одинаковыми амплитудами и фазами, соответствующими ФЧХ, суммируясь, образуют пик очень большой величины в момент времени t, а в остальные моменты времени суммируются не в фазе, в результате чего получается ноль. Обратное преобразование Фурье может быть записано в виде

Понятие d — импульса широко используется при исследовании воздействия коротких импульсов на линейные цепи, при этом достаточно, чтобы амплитуда реального импульса была бы большой, а длительность – малой по сравнению с характерными параметрами цепи,

б) Дельта – функция в частотной области

В соответствии с теоремой взаимности можно записать (заменив t на w ):

Таким образом спектральной плотности d ( w ) соответствует постоянный сигнал, действующий при

в) Периодическая последовательность d -импульсов.

В соответствии со свойствами преобразований Фурье огибающая спектра периодического сигнала равна

Так как для одиночного d -импульса , то огибающая спектра периодической последовательности будет равна

Сигнал и его спектр при изображены на рис.11

При наличии сдвига относительно начала отсчета t=0 следует добавить ФЧХ, огибающая которой равна ( — w t₀ ).

г) Единичный скачок.

Математически эта функция записывается следующим образом:

Запишем соотношение для спектральной плотности:

На рис.12 показаны временная и частотная характеристики единичного скачка при =0.

д) Спектральная плотность гармонического сигнала бесконечной длительности.

Такой сигнал на частотной плоскости легко отображается спектром с составляющими на частотах .

Найдем формально спектральную плотность такого сигнала Для этого запишем интеграл Фурье:

Таким образом, спектральная функция гармонического сигнала равна нулю везде, кроме w = , при которых она обращается в бесконечность. Аналогично можно ввести понятие спектральной плотности для любого периодического сигнала, состоящего из суммы гармонических составляющих. Действительно, пусть

Такое описание сигналов бывает полезным при рассмотрении смеси импульсного и периодического сигналов.

Спектральная плотность

В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.

x(t)

Если процесс имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:

$X(f)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>x(t)e^ dt. » width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((1))

Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия

$E_x=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>|x(t)|^2 dt = \int\limits_<-\infty>^ <\infty>|X(f)|^2 df.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((2))

~S_x(f)=|X(f)|^2

Функция характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.

x(t)

Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу , реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:

$S_x(f)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>k_x(\tau)e^ d \tau.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((3))

Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной S_x(f) определяет $k_x(\tau)$ :

$k_x(\tau)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>S_x(f)e^ df.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((4))

Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно f=0 и $\tau=0$ , имеем

$S_x(0)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>k_x(\tau)d \tau,» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((5))

$\sigma_x^2=k_x(0)=\int\limits_<-\infty>^ <\infty>S_x(f)df.» width=»» height=»» /></td> <td style=$ ((6))

Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину S_x(f)df можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от f-df/2 до f+df/2 . Если понимать под x(t) случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина S_x(f) будет иметь размерность энергии [В 2 /Гц] = [В 2 с]. Поэтому S_x(f) иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию: $\sigma_x^2$ – рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину S_x(f) называют спектром мощности случайного процесса.

Свойства спектральной плотности

Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:

$S_x(f) \ge 0$ .

((7))

Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:

((8))

Корреляционная функция $k_x(\tau)$ и энергетический спектр стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр тем «уже» корреляционная функция $k_x(\tau)$ , и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.

См. также

Преобразование Фурье
Теорема Парсеваля
Теорема Хинчина-Колмогорова
Спектральная плотность мощности
Спектральная плотность излучения

Литература

Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. — М .: Связь, 1980. — 288 с.
Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. — М .: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2
Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. — М .: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.

Обработка сигналов
Преобразование Фурье

Wikimedia Foundation . 2010 .

Спектральная плотность сигнала, смещённого во времени

Для практических приложений является важным установление связи между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектральных характеристик.

Предположим, что сигнал u₁(t) произвольной формы, существующий на интервале от t₁ до t₂ , имеет спектральную плотность S₁(jω) . Найдём спектральную плотность этого же сигнала при условии его задержки на интервал t₀ , например преобразователем, называемым линией задержки. Функция времени задержанного сигнала при сохранении его формы запишется в виде:

Спектральная плотность задержанного сигнала S₂(jω) очевидно имеет вид:

Вводя новую переменную интегрирования τ = t − t₀ , получим:

Из этого соотношения видно, что задержка во времени сигнала u₁(t) на интервал t₀ приводит к изменению фазовой характеристики спектра S₁(jω) (спектра фаз) на величину (−ωt₀) . Очевидно, что в общем случае при сдвиге сигнала во времени на величину (±t₀) его фазовый спектр изменится на величину (±ωt₀) . Спектр амплитуд этого сигнала (модуль спектральной плотности) от положения сигнала на временной оси не зависит.

Спектральные плотности некоторых сигналов

Рассмотрим спектральную плотность прямоугольного импульса длительности и амплитуды . Функция описывает прямоугольный импульс длительности и единичной амплитуды:

График прямоугольного импульса показан на рисунке 1а.

Рисунок 1. Спектральная плотность прямоугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Спектральная плотность прямоугольного импульса равна:

Спектральная плотность является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса .
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна , ввиду разрыва первого рода (скачка) сигнала во временно́й области.

Спектральная плотность треугольного импульса

Рассмотрим треугольный импульс длительности и амплитуды :

График треугольного импульса показан на рисунке 2а.

Рисунок 2. Спектральная плотность треугольного импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для рассмотрения спектральной плотности треугольного импульса мы не будем вычислять интеграл Фурье непосредственно, потому что это потребует громоздких выкладок, а воспользуемся свойством преобразования Фурье свертки двух сигналов.

Можно заметить, что треугольный импульс длительности и амплитуды может быть представлен как результат свертки прямоугольного импульса длительности и амплитуды c самим собой, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3. Треугольный импульс как результат
свертки прямоугольных импульсов

Обратим внимание, что один из углов маркирован черным квадратиком для того, чтобы показать инверсию во времени сдвинутого сигнала , входящего в интеграл свертки.

Для различного сдвига мы будем иметь линейно нарастающую площадь (заштрихованная область) произведения сигнала и его сдвинутой инверсной во времени копии .

Таким образом, мы можем применить свойство преобразования Фурье свертки сигналов и записать спектральную плотность треугольного импульса как квадрат спектральной плотности прямоугольного импульса длительности и амплитуды :

Спектральная плотность треугольного импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
носит затухающий колебательный характер. Нули , т.е. частоты, соответствующие , равны , где
Скорость убывания боковых лепестков пропорциональна . Это выше, чем скорость убывания боковых лепестков прямоугольного импульса, ввиду отсутствия разрывов сигнала во временно́й области.
Главный лепесток спектральной плотности в два раза шире, чем главный лепесток спектральной плотности прямоугольного импульса при той же длительности .

Спектральная плотность гауссова импульса

Гауссов импульс задается выражением:

где — амплитуда, а — положительный параметр, который задает ширину импульса.

График гауссова импульса при различном значении и показан на рисунке 4а.

Рисунок 4. Спектральная плотность гауссова импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Рассмотрим спектральную плотность гауссова импульса:

Преобразуем показатель экспоненты (6) следующим образом:
Тогда (6) с учетом (7):
Из курса математического анализа [1, стр. 401] известно, что:

Введем в выражении (8) замену переменной , тогда , пределы интегрирования остаются неизменными при положительном значении . Тогда (8) можно представить как:

и с учетом (9) окончательно можно записать:

Можно заметить, что временно́й гауссов импульс имеет спектральную плотность , которая также описывается гауссовской функцией.

График спектральной плотности гауссова импульса для различного значения параметра показан на рисунке 4б. C увеличением увеличивается ширина гауссова импульса во временно́й области, и сужение спектральной плотности. При этом, убывание импульса во времени и по частоте носит экспоненциальный характер.

Спектральная плотность экспоненциального импульса

Рассмотрим двусторонний экспоненциальный импульс , который задается выражением:

где — амплитуда, а — положительный параметр, который определяет ширину импульса. График двустороннего экспоненциального импульса при и различном значении параметра показан на рисунке 5а.

Рисунок 5. Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Как можно видеть из рисунка 5а, увеличение параметра приводит к сужению импульса во временно́й области.

Рассмотрим спектральную плотность двустороннего экспоненциального импульса:

Разобьем ось времени на положительную и отрицательную полуоси, и учтем что для отрицательной полуоси времени. Тогда (13) можно записать:

Объединим показатели экспонент в обоих интегралах и получим:

Спектральная плотность двустороннего экспоненциального импульса является вещественной функцией частоты , ввиду временно́й симметрии импульса.
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
носит затухающий характер.
Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием излома во временно́й области при .

На рисунке 5б показан вид спектральной плотности при различном значении . Можно видеть, что при увеличении параметра , спектральная плотность сужается (импульс во временно́й области —расширяется).

Рисунок 6. Односторонний экспоненциальный импульс

Рассмотрим теперь односторонний экспоненциальный импульс, который получается из двустороннего при обнулении значения отрицательной полуоси времени:

График одностороннего экспоненциального импульса показан на рисунке 6 при и различном .

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса равна:

Спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , ввиду отсутствия временно́й симметрии импульса.
Спектральная плотность на нулевой частоте равна площади импульса: .
носит затухающий характер.
Скорость убывания пропорциональна . Это обусловлено наличием разрыва во временной области при .

Поскольку спектральная плотность одностороннего экспоненциального импульса является комплексной функцией частоты , то можно представить в виде амплитудно- и фазочастотной характеристик:

На рисунке 7 показаны АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса для различных значения параметра .

Рисунок 7. АЧХ и ФЧХ одностороннего экспоненциального импульса
а — АЧХ; б — ФЧХ
Спектральная плотность функции

Рассмотрим спектральную плотность сигнала вида , где — параметр определяющий ширину главного лепестка функции , как это показано на рисунке 8а.

Рисунок 8. Спектральная плотность функции
а — временно́й сигнал; б — спектральная плотность

Для получения спектральной плотности сигнала воспользуемся свойством двойственности преобразования Фурье, рассмотренным в в предыдущем параграфе. Тогда из выражения (2) можно записать:

Произведем замену переменных и , а также обозначим , откуда :

Вынесем множитель из под оператора преобразования Фурье, и окончательно спектральная плотность сигнала равна:

График спектральной плотности сигнала показан на рисунке 8б.

Важным частным случаем является , тогда будет иметь спектральную плотность , что соответствует частотной характеристике идеального фильтра нижних частот. Временно́й сигнал определяет импульсную характеристику идеального фильтра нижних частот.

В данном разделе мы рассмотрели спектральные плотности некоторых непериодических сигналов: прямоугольного, треугольного, гауссова импульса, а также одностороннего и двустороннего экспоненциальных импульсов.

Были приведены аналитические выражения для спектральных плотностей каждого из сигналов, а также их частотные свойства.