Что выведет float 21 2

Наглядное объяснение чисел с плавающей запятой

В начале 90-х создание трёхмерного игрового движка означало, что вы заставите машину выполнять почти не свойственные ей задачи. Персональные компьютеры того времени предназначались для запуска текстовых процессоров и электронных таблиц, а не для 3D-вычислений с частотой 70 кадров в секунду. Серьёзным препятствием стало то, что, несмотря на свою мощь, ЦП не имел аппаратного устройства для вычислений с плавающей запятой. У программистов было только АЛУ, перемалывающее целые числа.

При написании книги Game Engine Black Book: Wolfenstein 3D я хотел наглядно показать, насколько велики были проблемы при работе без плавающей запятой. Мои попытки разобраться в числах с плавающей запятой при помощи каноничных статей мозг воспринимал в штыки. Я начал искать другой способ. Что-нибудь, далёкое от и их загадочных экспонент с мантиссами. Может быть, в виде рисунка, потому что их мой мозг воспринимает проще.

В результате я написал эту статью и решил добавить её в книгу. Не буду утверждать, что это моё изобретение, но пока мне не приходилось видеть такого объяснения чисел с плавающей запятой. Надеюсь, статья поможет тем, у кого, как и у меня, аллергия на математические обозначения.

Как обычно объясняют числа с плавающей запятой

Цитирую Дэвида Голдберта (David Goldbert):

Для многих людей арифметика с плавающей запятой кажется каким-то тайным знанием.

Полностью с ним согласен. Однако важно понимать принципы её работы, чтобы полностью осознать её полезность при программировании 3D-движка. В языке C значения с плавающей запятой — это 32-битные контейнеры, соответствующие стандарту IEEE 754. Они предназначены для хранения и выполнения операций над аппроксимациями вещественных чисел. Пока я видел только такое их объяснение. 32 бита разделены на три части:

• S (1 бит) для хранения знака
• E (8 бит) для экспоненты
• M (23 бита) для мантиссы

Внутренности числа с плавающей запятой.

Три части числа с плавающей запятой.

Пока всё нормально. Пойдём дальше. Способ интерпретации чисел обычно объясняется с помощью такой формулы:

Именно это объяснение чисел с плавающей запятой все ненавидят.

И здесь я обычно начинаю терять терпение. Возможно, у меня аллергия на математическую нотацию, но когда я это читаю, в моём мозгу ничего не «щёлкает». Такое объяснение похоже на способ рисования совы:

Другой способ объяснения

Хоть это изложение и верно, такой способ объяснения чисел с плавающей запятой обычно не даёт нам никакого понимания. Я виню эту ужасную запись в том, что она разочаровала тысячи программистов, испугала их до такой степени, что они больше никогда не пытались понять, как же на самом деле работают вычисления с плавающей запятой. К счастью, их можно объяснить иначе. Воспринимайте экспоненту как окно (Window) или интервал между двумя соседними целыми степенями двойки. Мантиссу воспринимайте как смещение (Offset) в этом окне.

Три части числа с плавающей запятой.

Окно сообщает нам, между какими двумя последовательными степенями двойки будет число: [0,1], [1,2], [2,4], [4,8] и так далее (вплоть до [,]. Смещение разделяет окно на сегментов. С помощью окна и смещения можно аппроксимировать число. Окно — это отличный механизм защиты от выхода за границы. Достигнув максимума в окне (например, в [2,4]), можно «переплыть» вправо и представить число в пределах следующего окна (например, [4,8]). Ценой этого будет только небольшое снижение точности, потому что окно становится в два раза больше.

Викторина: сколько точности теряется, когда окно закрывает больший интервал? Давайте возьмём пример с окном [0,1], в котором 8388608 смещений накладываются на интервал размером 1, что даёт нам точность . В окне [2048,4096] 8388608 смещений накладываются на интервал , что даёт нам точность .

На рисунке ниже показано, как кодируется число 6,1. Окно должно начинаться с 4 и заканчиваться следующей степенью двойки, т.е. 8. Смещение находится примерно посередине окна.

Значение 6,1 аппроксимированное с помощью числа с плавающей запятой.

Давайте возьмём ещё один пример с подробным вычислением представлением в виде числа с плавающей точкой хорошо известного всем нам значения: 3,14.

• Число 3,14 положительно .
• Число 3,14 находится между степенями двойки 2 и 4, то есть окно числа с плавающей запятой должно начинаться с (см. формулу, где окно — это ).
• Наконец, есть смещений, которыми можно выразить расположение 3,14 внутри интервала [2-4]. Оно находится в внутри интервала, что даёт нам смещение

• S = 0 = 0b
• E = 128 = 10000000b
• M = 4781507 = 10010001111010111000011b

Двоичное представление с плавающей точкой числа 3,14.

То есть значение 3,14 аппроксимируется как 3,1400001049041748046875.

Соответствующее значение в непонятной формуле:

И, наконец, графическое представление с окном и смещением:

Окно и смещение числа 3,14.

Интересный факт: если модули операций с плавающей запятой были такими медленными, почему в языке C в результате использовали типы float и double? Ведь в машине, на которой изобретался язык (PDP-11), не было модуля операций с плавающей запятой! Дело в том, что производитель (DEC) пообещал Деннису Ритчи и Кену Томпсону, что в следующей модели он будет. Они были любителями астрономии и решили добавить в язык эти два типа.

Интересный факт: те, кому в 1991 году действительно нужен был аппаратный модуль операций с плавающей запятой, могли его купить. Единственными, кому он мог понадобиться в то время, были учёные (по крайней мере, так Intel понимала потребности рынка). На рынке они позиционировались как «математические сопроцессоры». Их производительность была средней, а цена огромной (200 долларов 1993 года — это 350 долларов в 2016 году.). В результате уровень продаж оказался посредственным.

Надеюсь, статья была вам полезна!

• floating point
• числа с плавающей точкой/запятой
• экспонента
• мантисса

Решение модуля 6.1 из курса «Поколение python» stepik

Авторское решение модуля 6.1 курса «Поколение Python: курс для начинающих» с сайта stepik.org от авторов zazlo.ru.

В ходе этого урока обучающийся должен узнать как пользоваться функциями int(), min(), max(), float(), abs() и понять в целом принцип работы с различными числовыми значениями путем решения соответствующих задач.

Площадь треугольника

Напишите программу, которая считывает длины двух катетов в прямоугольном треугольнике и выводит его площадь.

a = float(input()) # получаем число с плавающей запятой b = float(input()) # получаем число с плавающей запятой # Вычисляем площадь треугольника по формуле (основание * высота) / 2, используя введенные значения 'a' и 'b', # и выводит результат (площадь треугольника) на экран. print((a * b) / 2)

Два автомобиля

Два автомобиля едут навстречу друг другу с постоянными скоростями V₁​ и V₂​ км/ч. Определите, через какое время автомобили встретятся, если расстояние между ними равно S км.

s = float(input()) # получаем число с плавающей запятой v1 = float(input()) # получаем число с плавающей запятой v2 = float(input()) # получаем число с плавающей запятой # Вычисляем время, за которое два объекта с постоянными скоростями 'v1' и 'v2' проедут расстояние 's', # используя формулу времени = расстояние / (скорость1 + скорость2), и выводит результат (время) на экран. print(s / (v1 + v2))

Обратное число

Напишите программу, которая считывает с клавиатуры одно число и выводит обратное ему. Если при этом введённое с клавиатуры число – ноль, то вывести «Обратного числа не существует» (без кавычек).

n = float(input()) # получаем число с плавающей запятой # Проверяем, равно ли введенное число 'n' нулю. Если да, выводит сообщение "Обратного числа не существует", # иначе вычисляет обратное число (1 / n) и выводит его на экран. if n == 0: print('Обратного числа не существует') else: print(1 / n)

451 градус по Фаренгейту

У известного американского писателя Рэя Бредбери есть роман «451 градус по Фаренгейту». Напишите программу, которая определяет, какой температуре по шкале Цельсия соответствует указанное значение по шкале Фаренгейта.

Используйте формулу для перевода:

F = float(input()) # получаем число с плавающей запятой # Вычисляем эквивалентную температуру в градусах Цельсия, используя формулу перевода из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия и выводит результат на экран. print(5 / 9 * (F - 32))

Dog age

На вход программе подается число nn – количество собачьих лет. Напишите программу, которая вычисляет возраст собаки в человеческих годах.

age = int(input()) # получаем число полных лет # Проверяем, является ли введенный возраст 'age' меньше или равным 2. Если да, то вычисляет и выводит # возраст в человеческих годах в сравнении с возрастом собаки, используя формулу: age * 10.5. if age  



 
Первая цифра после точки
 
Дано положительное действительное число. Выведите его первую цифру после десятичной точки.
 
 
x = float(input()) # получаем число с плавающей запятой # x умножаем на 10, берет остаток от деления на 10 (это десятичная часть числа), # и выводит результат (десятичную часть) на экран. print(int(x * 10) % 10)
 
 
 
Дробная часть
 
Дано положительное действительное число. Выведите его дробную часть.
 
 
a = float(input()) # получаем число с плавающей запятой # из числа 'a' вычитаем число 'a' переведеное в целое(оставляя только дробную часть), # и выводит результат (дробную часть числа) на экран. print(a - int(a))
 
 
Вопрос: Какое число будет выведено на экран в результате выполнения следующего кода?
 
 
num = max(1, 3, -5, 7) + min(-3, 6, -8, -1) + abs(-17) print(num)
 
Ответ: 16
 
 
 
Наибольшее и наименьшее
 
Напишите программу, которая находит наименьшее и наибольшее из пяти чисел.
 
 
# получаем пять целых чисел и присваивает каждое из них переменным 'a', 'b', 'c', 'd' и 'e'. a, b, c, d, e = int(input()), int(input()), int(input()), int(input()), int(input()) # Выводим на экран строку с сообщением о наименьшем числе, # найденном среди введенных значений, используя функцию min(). print('Наименьшее число =', min(a, b, c, d, e)) # Выводим на экран строку с сообщением о наибольшем числе, # найденном среди введенных значений, используя функцию max(). print('Наибольшее число =', max (a, b, c, d, e))
 
 
 
Сортировка трёх ?️
 
Напишите программу, которая упорядочивает три числа от большего к меньшему.
 
 
# получаем три целых чисел и присваивает каждое из них переменным 'a', 'b' и 'c'. a, b, c = int(input()), int(input()), int(input()) # Находим и выводит на экран наибольшее из введенных чисел, используя функцию max(). print(max(a, b, c)) # Вычисляем и выводит на экран разность суммы трех введенных чисел и двух из них (наименьшего и наибольшего), # чтобы получить среднее число, которое выводим на экран. print(a + b + c - min(a, b, c) - max(a, b, c)) # Находим и выводит на экран наименьшее из введенных чисел, используя функцию min(). print(min(a, b, c))
 
 
 
Интересное число
 
Назовем число интересным, если в нем разность максимальной и минимальной цифры равняется средней по величине цифре. Напишите программу, которая определяет интересное число или нет. Если число интересное, следует вывести – «Число интересное» иначе «Число неинтересное».
 
 
x = int(input()) # получаем целое число # Вычисляем последнюю цифру числа 'x' (единицы), используя операцию взятия остатка от деления на 10, # и сохраняет её в переменной 'a'. a = x % 10 # Вычисляем предпоследнюю цифру числа 'x' (десятки), используя операцию целочисленного деления на 10 и # затем возьмем остаток от деления результата на 10, и сохраняем её в переменной 'b'. b = x // 10 % 10 # Вычисляем первую цифру числа 'x' (сотни), используя операцию целочисленного деления на 100, # и сохраняем её в переменной 'c'. c = x // 100 # Проверяем, является ли сумма цифр числа 'x' (a + b + c) равной удвоенному максимальному значению из a, b и c. # Если это условие выполняется, то выводим сообщение "Число интересное", иначе выводим "Число неинтересное". if a + b + c == 2 * max(a, b, c): print("Число интересное") # Выводим сообщение, если условие выполняется else: print("Число неинтересное") # Выводим сообщение, если условие не выполняется
 
 
 
Абсолютная сумма
 
Даны пять чисел a1, a2, a3, a4, a5​. Напишите программу, которая вычисляет сумму их модулей |a1| + |a2| +|a3| +|a4| + |a5|∣.
 
 
# Получаем 5 чисел с плавающей запятой, вычисляет его абсолютное значение # С помощью функции abs() и сохраняет результат в переменной 'a','b'.'c','d','e'. a = abs(float(input())) b = abs(float(input())) c = abs(float(input())) d = abs(float(input())) e = abs(float(input())) # Вычисляем сумму абсолютных значений введенных чисел 'a', 'b', 'c', 'd' и 'e', и выводим результат на экран. print(a + b + c + d + e)
 
 
 
Манхэттенское расстояние
 
Прогуливаясь по Манхэттену, вы не можете попасть из точки А в точку Б по кратчайшему пути. Если только вы не умеете проходить сквозь стены, вам обязательно придется идти вдоль его параллельно-перпендикулярных улиц.
 
На плоскости манхэттенское расстояние между двумя точками (p1​;p2​) и (q1​;q2​) определяется так ∣p1​−q1​∣+∣p2​−q2​∣.
 
Напишите программу определяющую манхэттенское расстояние между двумя точками, координаты которых заданы.
 
 
 
# Получаем 4 целых числа и сохраняем в переменную' p1 = int(input()) p2 = int(input()) q1 = int(input()) q2 = int(input()) # Вычисляем сумму модулей разностей соответствующих координат 'p1' и 'q1' (по x) и 'p2' и 'q2' (по y) # и выводим результат на экран. print(abs(p1 - q1) + abs(p2 - q2))
 
 
Если у вас не отображается решение последних задач, значит у вас включен блокировщик рекламы который вырезает эти ответы
 
 
Вычисления с плавающей запятой: сравниваем вывод в разных языках
 
 
С вашим языком программирования все в порядке — он просто производит вычисления с плавающей запятой. Изначально компьютеры могут хранить только целые числа, так что им нужен какой-то способ представления десятичных чисел. Это представление не совсем точное. Именно поэтому, чаще всего, 0.1 + 0.2 != 0.3.
 
ИТ-эксперт Эрик Уиффин, директор по инжинирингу компании Devetry, провел любопытный эксперимент: сравнил вывод в разных языках программирования при вычислениях с плавающей запятой. В рамках опыта автор продемонстрировал специфику выполнения одной и той же математической операции в нескольких десятках языков.
 
Предлагаем хабрасообществу наш перевод этого материала. Обращаем ваше внимание, что позиция автора не всегда может совпадать с мнением МойОфис.
 
Если вы используете стандартную десятичную систему счисления, то несократимая обыкновенная дробь представляется конечной десятичной дробью только в том случае, когда ее знаменатель содержит в разложении на простые множители только числа 2 и 5 (т.е. только простые делители числа 10). Таким образом, 1/2, 1/4, 1/5, 1/8 и 1/10 могут быть точно выражены, поскольку все знаменатели используют простые множители числа 10. Напротив, 1/3, 1/6, 1/7 и 1/9 — периодические десятичные дроби, потому что в их знаменателях используется простой множитель 3 или 7.
 
В двоичном формате (или с основанием 2) единственным простым делителем является 2, поэтому вы можете точно выразить только те дроби, знаменатель которых имеет 2 в качестве простого делителя. В двоичном формате 1/2, 1/4, 1/8 будут точно выражены в виде десятичных дробей, а 1/5 или 1/10 будут периодическими десятичными дробями. Таким образом, 0,1 и 0,2 (1/10 и 1/5), будучи чистыми десятичными числами в десятичной системе, являются периодическими десятичными числами в системе с основанием 2, которую использует компьютер. Если вы выполняете вычисления с их участием, вы получаете остатки, которые переносятся, когда вы конвертируете «компьютерное» число с основанием 2 (двоичное) в более удобочитаемое представление с основанием 10.
 
Ниже приведены несколько примеров печати .1 + .2 в стандартный вывод на разных языках. Все примеры представлены в формате «Язык — Код — Результат».
 
PowerShell по умолчанию использует тип double, но поскольку он работает на .NET, то имеет те же типы, что и C#. Благодаря этому можно напрямую использовать тип Decimal [decimal] , указав имя типа либо посредством суффикса  d .
 
Подробнее об этом читайте ниже, в разделе про C#.
 
 
По умолчанию точность вывода APL — 10 значимых цифр. Установка значения 17 для ⎕PP выдает ошибку, однако все еще верно (1), что 0.3 = 0.1 + 0.2 , поскольку допуск сравнения по умолчанию составляет около 10^-14 . Установка ⎕CT на 0 выдает неравенство. Dyalog APL также поддерживает 128-битные десятичные числа (активируется установкой представления с плавающей запятой, ⎕FR , на 1287, т. е. 128-битным десятичным числом), где даже установка допусков десятичного сравнения ( ⎕DCT ) на ноль все еще делает уравнение верным. Убедитесь в этом здесь! В NARS2000 доступны числа с плавающей точкой с множественной точностью, рациональные числа с неограниченной точностью и комплексные интервальные вычисления с кругами (ball arithmetic).
 
 
C# поддерживает 128-битные десятичные числа с точностью до 28-29 значащих цифр. Однако их диапазон меньше, чем у типов с плавающей запятой одинарной и двойной точности. Десятичные литералы обозначаются суффиксом m .
 
 
 
Clojure поддерживает произвольную точность и соотношения. (+ 0,1M 0,2M) возвращает 0,3M , в то время как (+ 1/10 2/10) возвращает 3/10 .
 
 
Спецификация CL на самом деле не требует даже чисел с основанием 2 с плавающей запятой (не говоря уже о 32-битных одинарных и 64-битных двойных), но все высокопроизводительные реализации, похоже, используют числа с плавающей запятой IEEE с обычными размерами. Это было протестировано, в частности, на SBCL и ECL.
 
 
Elvish использует тип double языка Go для числовых операций.
 
 
 
Если вам нужны действительные числа, пакеты типа exact-real дадут вам правильный ответ.
 
 
В Gforth 0 означает ложь, а -1 означает истину. Первый пример выводит 0,3 , но этот результат не равен фактическому значению 0,3 .
 
 
Буквенные десятичные значения в Groovy являются экземплярами java.math.BigDecimal.
 
 
Java имеет встроенную поддержку чисел произвольной точности с использованием класса BigDecimal.
 
 
Библиотека decimal.js предоставляет тип Decimal произвольной точности для JavaScript.
 
 
 
 
Спецификация схемы содержит понятие точности.
 
 
В языке Mathematica есть довольно продуманный внутренний механизм для работы с числовой точностью, и она поддерживает произвольную точность.
 
По умолчанию для исходных данных 0,1 и 0,2 в этом примере используется MachinePresicion. При обычном значении MachinePrecision в 15,9546 цифр, 0,1 + 0,2 фактически имеет [FullForm][4] 0,300000000000000004 , но выводится как 0,3 .
 
Mathematica поддерживает рациональные числа: 1/10 + 2/10 равно 3/10 (что имеет FullForm Rational[3, 10] ).
 
 
PHP echo преобразует 0.300000000000000004441 в строку и сокращает ее до «0.3». Чтобы добиться желаемого результата с плавающей запятой, отрегулируйте параметр точности: ini_set("precision", 17) .
 
Добавление примитивов с плавающей запятой только кажется верным для вывода, потому что не все 17 цифр выводятся по умолчанию. Базовый пакет Math::BigFloat позволяет выполнять операции с плавающей запятой с произвольной точностью, никогда не используя числовые примитивы.
 
 
 
PostgreSQL рассматривает десятичные литералы как числа произвольной точности с фиксированной точкой. Для получения чисел с плавающей запятой требуется явное приведение типов.
 
PostgreSQL 11 и более ранние версии выдает результат 0.3 для запроса SELECT 0.1::float + 0.2::float; , но результат округляется только для отображения, под капотом же у нас все еще 0.300000000000000004 .
 
В PostgreSQL 12 поведение по умолчанию для текстового вывода чисел с плавающей запятой было изменено с более удобочитаемого округленного формата на максимально точный формат. Формат можно настроить с помощью параметра конфигурации extra_float_digits.
 
 
Pyret имеет встроенную поддержку как рациональных чисел, так и чисел с плавающей запятой. Числа, написанные как обычно, считаются точными. Напротив, RoughNums представлены плавающими точками и написаны с префиксом ~ , что указывает на то, что они не являются точными результатами. Пользователь, увидевший результат вычислений ~0,30000000000000004 , знает, что к этому значению нужно относиться скептически. RoughNums нельзя прямо сравнивать для равенства; их можно сравнивать только с заданным допуском.
 
В Python 2 оператор print преобразует 0,300000000000000004 в строку и сокращает ее до «0,3». Чтобы добиться желаемого результата с плавающей запятой, используйте print repr(.1 + .2) . Это было исправлено в Python 3 (см. ниже).
 
Python (как 2, так и 3) поддерживает десятичные вычисления с модулем decimal и истинные рациональные числа с модулем дробей.
 
 
Raku по умолчанию использует рациональные числа, поэтому .1 хранится примерно так: < numerator =>1, denominator => 10 > . Чтобы в реальности вызвать такое поведение, вы должны заставить числа иметь тип Num (double в терминах C) и использовать базовую функцию вместо функций sprintf или fmt (поскольку в этих функциях есть ошибка, которая ограничивает точность вывода).
 
 
Ruby напрямую поддерживает рациональные числа в синтаксисе версии 2.1 и новее. Для более старых версий используйте Rational. В Ruby также есть библиотека для работы с десятичными знаками: BigDecimal.
 
В Rust есть поддержка рациональных чисел из num crate.
 
 
 
 
В большинстве операций Smalltalk по умолчанию использует дроби; на самом деле стандартное деление приводит к дробям, а не к числам с плавающей запятой. Squeak и аналогичные Smalltalk предоставляют «масштабированные десятичные числа», которые позволяют использовать вещественные числа с фиксированной точкой ( s -суффикс указывает точные разряды).
 
 
Swift поддерживает десятичные вычисления с модулем Foundation.
 
 
 
Добавление символа типа идентификатора # к любому идентификатору приводит к тому, что он становится Double.
 
 
 
Будем рады узнать в комментариях ваше мнение об описанном опыте с вычислениями и его результатах. Впереди — еще больше полезных переводов и материалов с ИТ-экспертизой от специалистов МойОфис. Следите за нашими новостями и блогом на Хабре!
 
 
Блог компании МойОфис
 
Программирование
 
Алгоритмы
 
 
float
 
Вы используете устаревший браузер. Этот и другие сайты могут отображаться в нём некорректно.
Вам необходимо обновить браузер или попробовать использовать другой.
 
 Lance_Sterling 
 
Потрачен
 
Автор темы
 
Обратите внимание, пользователь заблокирован на форуме. Не рекомендуется проводить сделки.
 
Версия MoonLoader .026-beta
    
как мне вывести значение после точки? 
например у меня float 12.032465 
как сделать две цифры после точки я знаю 
как мне сделать что бы отображались числа после точки, которые больше нуля? 
если я отформатировал число и получилось 12.03, как мне вывести ТОЛЬКО 3?