Как вычислить число пи на компьютере

Лабораторно-практическая работа по теме: «Вычисление значения числа Пи»

Цель: Используя компьютер и различные способы вычислений, вычислить значение числа с использованием цикла с параметром.

Оборудование: распечатка таблицы “Методы вычисления”, программа Turbo Pascal

План

1. Организационный момент.
2. Ряд Тейлора.
3. Метод Монте-Карло .
4. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент. Раздать учащимся заготовку таблицы

2. Ряд Тейлора

Известно, что разложение функции arctg x в ряд Тейлора имеет вид:

Если х=1, arctg 1 = /4 – и, значит,

Значит, наша задача сводится к вычислению суммы членов последовательности.

Учитель: Как вы думаете, от чего будет зависеть точность вычисления числа ?

Ответ: Вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано.

Пусть I — номер члена ряда (1, 2, 3, …, n )

Учитель: Давайте найдем закономерность в записи дробей. Какое число стоит в числителе у всех этих дробей?

Ответ: Число 1.

Учитель: Что вы можете сказать о числах, стоящих в знаменателе дробей?

Ответ : В знаменателе стоят нечетные числа 3, 5, 7, …

Учитель: Какая формула будет для нечетных чисел?

Учитель: Но тогда мы пропустим первый член ряда – 1.

Ответ: Для вычисления суммы мы возьмем первое значение S=1.

Учитель : От чего будет зависеть знак у членов ряда Тейлора?

Ответ : От переменной I. Если I – четное, то оставить дробь без изменения, иначе изменить знак на противоположный.

VAR S,P,F: REAL; I,N:INTEGER;

BEGIN WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ЧЛЕНОВ РЯДА ТЕЙЛОРА?‘);READLN(N);

IF I MOD 2=0 THEN F:=F ELSE F:=-F;

WRITELN (‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘, P :7:6);

Скомпилировать программу и выполнить вычисления, результаты занести в таблицу.

3. Метод Монте-Карло

Свое название этот метод получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод основан на применении случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и из дождевых капель.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в него четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов от капель внутри квадрата NKV и внутри четверти круга NKR.

Интуитивно представляется, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно, тогда

Вместо следов от капель можно рассмотреть случайные числа от 0 до 1 (Рисунок 1).И тогда каждому следу поставим в соответствие два случайных числа вдоль осей Ох и Оу .

Учитель : Какая функция языка программирования Паскаль поможет нам выбрать случайные числа?

Ответ: RANDOM.

Мы будем сами задавать количество случайных чисел (NKV). Но как же подсчитать количество капель, попавших в четверть круга. Воспользуемся для этого уравнением окружности: x 2 + y 2 = r 2 .

Учитель: Чему равно значение r ?

Учитель: Как вы думаете, при каком условие случайное число попадет в четверть круга?

Ответ: Если x 2 + y 2 1, то nkr=nkr+1.

VAR X,Y,P: REAL; I,NKV,NKR:INTEGER;

WRITE (‘ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО КАПЕЛЬ В КВАДРАТЕ?‘);READLN(NKV);

FOR I:=0 TO NKV DO

WRITELN(‘ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЛА Pi РАВНО: ‘,P:7:6);

Набрать и скомпилировать программу, выполнить вычисления, результаты внести в таблицу.

Примерный вариант ответом может быть такой:

Число пи на клавиатуре и в Word

Существует несколько способов ввода числа Пи, как с клавиатуры компьютера, так и с помощью простого копирования. Опишем, как проще всего написать число Пи.

Способ — 1.
Вот символ числа Пи — π . Просто скопируйте его и вставьте в свой документ.

Способ — 2, для PC.
Нажмите клавишу Alt и не отпуская ее введите код символа числа π — «960» или «227«, отпустите «Alt«. Клавиша Alt находится в нижней части, как правило, слева и справа от клавиши «Пробел«. Цифровой код нужно вводить с помощью цифровой клавиатуры находящейся спава.

Способ — 3, для MAC
Нажмите клавишу «Option» и не отпуская клавишу «P«, появится символ числа Пи.

Способ — 4, получение числа Пи в Ворде или в другом текстовом редакторе
В Word-е, в окне выбора шрифта, выберите шрифт Symbol и нажмите букву «P«.

Способ — 5, таблица символов.
В операционной системе Windows необходимо открыть программу «Таблица символов«. Для этого воспользуйтесь меню «Пуск» — «Все программы» — «Служебные«. В таблице символов выбираем нужный нам шрифт и ищем символ числа Pi в огромном многообразии различных символов.

Кстати, не со всеми шрифтами символ числа Пи будет корректно отображаться. Лучше всего для этого подходит шрифт «Times New Roman«.

Как вычислить число пи на компьютере

Опубликовал
Камила Валиева 1 статья

Вся вселенная в числе Пи.

Число Пи и интересные факты о нем.

• Число Пи — самая известная константа в математическом мире.
• В эпизоде сериала Стар Трек «Волк в овчарне» Спок командует компьютеру из фольги «вычислить до последней цифры значение числа Пи».
• Комик Джон Эванс однажды язвительно заметил: «Что Вы получите, если разделите окружность фонаря из тыквы с прорезанными отверстиями в виде глаза, носа и рта на его диаметр? Тыкву π!».
• Учёные в романе Карла Сагана «Связь» пытались разгадать довольно точное значение числа Пи, чтобы найти скрытые сообщения от создателей человеческой расы и открыть людям доступ к «более глубоким уровням вселенских знаний».
• Символ Пи (π) используется в математических формулах уже на протяжении 250 лет.
• Во время знаменитого суда над О.Дж.Симпсоном возникли споры между адвокатом Робертом Бласиером и агентом ФБР о фактическом значении числа Пи. Задумано это всё было для того, чтобы выявить недостатки в уровне знаний агента госслужбы.
• Мужской одеколон от компании Гивенчи, названный «Пи», предназначен для привлекательных и дальновидных людей.
• Мы никогда не сможем с точностью измерить окружность или площадь круга, так как не знаем полное значение числа Пи. Данное «магическое число» является иррациональным, то есть его цифры вечно меняются в случайной последовательности.
• В греческом («π» (piwas)) и английском («p») алфавитах этот символ располагается на 16 позиции.
• В процессе измерений размеров Великой пирамиды в Гизе оказалось, что она имеет такое же соотношение высоты к периметру своего основания, как радиус окружности к ее длине, то есть 1/2π
• В математике π определяется отношением длины окружности круга к его диаметру. Другими словами, π число раз диаметра круга равно его периметру.
• Первые 144 цифры числа Пи после запятой заканчиваются цифрами 666, которые упоминаются в Библии как «число зверя».
• Если рассчитать длину экватора Земли с использованием числа π с точностью до девятого знака, ошибка в расчетах составит около 6 мм.
• В 1995 году Хирюки Гото смог воспроизвести по памяти 42 195 знаков числа Пи после запятой, и до сих пор считается действительным чемпионом в этой области.
• Людольф ван Цейлен (род.1540 – ум.1610 гг.) провёл большую часть своей жизни над расчетами первых 36 цифр после запятой числа Пи (которые были назваными «цифрами Лудольфа»). Согласно легенде, эти цифры были выгравированы на его надгробной плите после смерти.
• Уильям Шэнкс (род.1812-ум.1882 гг.) работал в течение многих лет, чтобы найти первые 707 цифр числа Пи. Как оказалось позже, он допустил ошибку в 527 разряде.
• В 2002 году японский учёный просчитал 1,24 триллиона цифр в числе Пи с помощью мощного компьютера Hitachi SR 8000. В октябре 2011 года число π было рассчитано с точностью до 10.000.000.000.000 знаков после зяпятой
• Так как 360 градусов в полном круге и число Пи тесно связаны, некоторые математики пришли в восторг, узнав, что цифры 3, 6 и 0 находится на триста пятьдесят девятом разряде после запятой в числе Пи.
• Одно из первых упоминаний о числе Пи можно встретить в текстах египетского писца по имени Ахмес (около 1650 года до н. э.), известных сейчас как папирус Ахмеса (Ринда).
• Люди изучают число π уже на протяжении 4000 лет.
• В папирусе Ахмеса запечатлена первая попытка рассчитать число Пи по «квадратуре круга», которая заключалась в измерении диаметра круга по созданным внутри квадратам.
• В 1888 году доктор по имени Эдвин Гудвин заявил, что он обладает «сверхъестественным значением» точной меры круга. Вскоре был предложен законопроект в парламенте, по принятию которого Эдвин мог бы опубликовать авторские права на свои математические результаты. Но этого так и не произошло — законопроект не стал законом, благодаря профессору математики в законодательном органе, которые доказал, что метод Эдвина привел к очередному неверному значению числа Пи.
• Первый миллион знаков после запятой в числе Пи состоит из: 99959 нулей, 99758 единиц, 100026 двоек, 100229 троек, 100230 четвёрок, 100359 пятёрок, 99548 шестёрок, 99800 семёрок, 99985 восьмёрок и 100106 девяток.
• День Пи отмечается 14 марта (выбран был по причине схожести с 3.14). Официальное празднование начинается в 1:59 после полудня, дабы соблюсти полное соответствии с 3/14|1:59.
• Значение первых чисел в числе Пи после впервые правильно рассчитал одни из величайших математиков древнего мира, Архимед из Сиракуз (род.287 – ум.212 г. до н. э.). Он представил это число в виде нескольких дробей По легенде, Архимед был настолько увлечён расчетами, что не заметил, как римские солдаты взяли его родной город Сиракузы. Когда римский солдат подошел к нему, Архимед закричал по-гречески: «Не трогай моих кругов!». В ответ на это солдат заколол его мечом.
• Точное значение числа Пи было получено китайской цивилизацией намного раньше, чем западной. Китайцы имели два преимущества по сравнению с большинством других стран мира: они использовали десятичную систему обозначения и символ нуля. Европейские математики как раз-таки наоборот не использовали символическое обозначение нуля в счетных системах до позднего средневековья, пока не вступили в контакт с индийскими и арабскими математиками.
• Аль-Хорезми (основатель алгебры) упорно работал над расчетами числа Пи и добился первых четырёх чисел: 3,1416. Термин «алгоритм» происходит от имени этого великого среднеазиатского учёного, а из его текста Китаб аль-Джабер валь-Мукабала появилось слово «алгебра».
• Древние математики пытались вычислить Пи, каждый раз вписывая полигоны с большим количеством сторон, которые намного теснее вписывались в площадь круга. Архимед использовал 96-угольник. Китайский математик Лю Хуэй вписал 192-угольник, и потом 3072-угольник. Цу Чун и его сыну удалось вместить многоугольник с 24576 сторонами
• Уильям Джонс (род.1675 – ум.1749) ввел символ «π» в 1706 году, который позднее был популяризирован в математическом сообществе Леонардо Эйлером (род.1707 – ум.1783).
• Символ Пи «π» стал использоваться в математике лишь в 1700-х годах, арабы изобрели десятичную систему в 1000 г., а знак равенства «=» появился в 1557 году.
• Леонардо да Винчи (род.1452 – ум.1519) и художник Альбрехт Дюрер (род.1471 – ум.1528) имели небольшие наработки по «квадратуре круга», то есть владели приблизительным значением числа Пи.
• Исаак Ньютон рассчитал число Пи до 16 знаков после запятой.
• Некоторые учёные утверждают, что люди запрограммированы для нахождения закономерностей во всём, потому что только так мы можем придать смысл всему миру и самим себе. И именно поэтому нас так привлекает «незакономерное» число Пи.
• Число Пи также может упоминаться как «круговая постоянная», «архимедова константа» или «число Лудольфа».
• В семнадцатом веке число Пи вышло за пределы круга и стало применяться в математических кривых, таких как арка и гипоциклоида. Произошло это после обнаружения, что в данных областях некоторые величины могут быть выражены через само число Пи. В двадцатом веке число Пи уже использовалось во многих математических областях, таких как теория чисел, вероятности и хаоса.
• Первые шесть цифр числа Пи (314159) располагаются в обратном порядке, по крайней мере, шесть раз в числе первых 10 миллионов десятичных знаков после запятой.
• Многие математики утверждают, что правильным будет такая формулировка: «круг — фигура с бесконечным количеством углов».
• Тридцать девять знаков после запятой в числе Пи достаточно для вычисления длины окружности, опоясывающей известные космические объекты во Вселенной, с погрешностью не более чем радиус атома водорода.
• Платон (род. 427 – ум.348 гг. до н. э.) получил довольно точное значение числа Пи для своего времени: √ 2 + √ 3 = 3,146.

Вычисление числа Пи методом Монте-Карло

Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к простейшему перебору точек на площади. Суть расчета заключается в том, что мы берем квадрат со стороной a = 2 R, вписываем в него круг радиусом R. И начинаем наугад ставить точки внутри квадрата. Геометрически, вероятность P₁ того, чтот точка попадет в круг, равна отношению площадей круга и квадрата:
P₁=S_круг / S_{квадрата} = πR 2 / a 2 = πR 2 / (2 R ) 2 = πR 2 / (2 R) 2 = π / 4 (1)
Выглядит это так:

Вероятность попадания точки в круг можно также посчитать после численного эксперимента ещё проще: посчитать количество точек, попавших в круг, и поделить их на общее количество поставленных точек:
P₂=N_{попавших в круг} / N_точек; (2)
Так, при большом количестве точек в численном эксперименте вероятности должны вести себя cледующим образом:
lim_{(Nточек→∞)⁡}(P2-P1)=0; (3)
Следовательно:
π / 4 = N_{попавших в круг} / N_точек; (4)
π =4 Nпопавших в круг / N_точек; (5)
НО! При моделировании мы применяем псевдослучайные числа, которые не являются случайным процессом.
Поэтому, выражение (5), к сожалению, строго не выполняется. Логичны вопросы, каковы оптимальные размеры квадрата и как много нужно применить точек?
Чтобы это выяснить, я написал такую программу:

#include #include #define limit_Nmax 1e7 //Максимальное количество точек #define limit_a 1e6 //Максиальный радиус круга #define min_a 100 //Начальный радиус double circle(double, double); //Выдает квадрат y в зависимости от координаты Х и радиуса круга. int main() < double x,y,Pi; long long int a=min_a//сторона квадарата i=0;//Счетчик double Ncirc=0;//Количество точек, попавших в круг double Nmax=a; //Общее количество точек while (ai++; > Pi=(Ncirc/Nmax)*4; Nmax *= 2; printf("\n%lld,%.0f,%f",a,Nmax,Pi); > a*=2; > > double circle(double x, double radius)

Программа выводит значения числа Пи в зависимости от радиуса и количества точек. Единственное, что остается читателю, это скомпилировать её самостоятельно и запустить с параметрами, которые желает он.

Приведу лишь одну таблицу с полученными значениями:

Радиус	Nточек	Pi
102400	204800	3,145664
102400	409600	3,137188
102400	819200	3,139326
102400	1638400	3,144478
102400	3276800	3,139875
102400	6553600	3,142611
102400	13107200	3,140872
102400	26214400	3,141644
102400	52428800	3,141217
102400	1,05E+08	3,141324
102400	2,1E+08	3,141615
102400	4,19E+08	3,141665
102400	8,39E+08	3,141724
102400	1,68E+09	3,141682

Если что, значение числа Пи можно посмотреть с точностью до определенного знака здесь.
Источник картинки — википедия.

• численные методы
• число пи
• Монте-Карло