Какое число больше в периоде или рациональное

Что больше : десятичная дробь или число в периоде?

уже в прошлом Просветленный (22549) ну и где бред если 1,57 = 1,5700000000 а 1,5(7) = 1,577777777 ну и что будет больше . не знаешь то не пиши. про бред. математик бля.. твою.

Булатова РиммаИскусственный Интеллект (126597) 8 лет назад

Абсолютная величина периодической дроби 1,5(7)>1,57.
Значит на числовой оси число (-1,5(7)) стоит левее числа (-1,57), т. е.
(-1,57)>(-1,5(7)).

уже в прошлом Просветленный (22549) да. с минусом наоборот будет. если то минус у ней а не тире.

для положительных чисел:
+1.5(7) > +1.577777

Сравнение рациональных чисел

Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.

Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.

Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.

В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы

Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:

Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.

Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:

Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Например, сравним числа −3 и −1

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Отвечаем на вопрос:

Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.

Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой

Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.

Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2

Видно, что −4 лежит левее, чем 2. А мы знаем, что «чем левее, тем меньше».

Здесь в первую очередь нужно смотреть на знаки чисел. Минус перед числом будет говорить о том, что число отрицательное. Если знак числа отсутствует, то число положительное, но вы можете записать его для наглядности. Напомним, что это знак плюса

Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.

Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.

Пример 1. Сравнить рациональные числа

Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем

Пример 2. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 3. Сравнить числа 2,35 и

Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем что 2,35 больше, чем

2,35 >

Пример 4. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем

Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и

Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем

Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403

Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.

Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль

Далее применим правило сравнения положительных чисел.

Находим модули чисел

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403

Пример 8. Сравнить рациональные числа и

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа

Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.

Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.

Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256

Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256

поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256

Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа

Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.

Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей

Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.

А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2

Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7

Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:

В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули

Сравниваем найденные модули:

Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7

Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и

Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.

Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь

Находим модули чисел:

Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:

Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Нам дано рациональное число double. Как выяснить, периодическое оно или нет? — Приближение непрерывными (цепными) дробями [дубликат]

Любое рациональное число является периодическим. Но что имеется в виду под словосочетанием «рациональное число double » — решительно непонятно.

28 ноя 2015 в 19:11

число double не может содержать бесконечное колво чисел, т.к. ограничено надо выяснить есть ли у него период или нет элементарно

28 ноя 2015 в 19:12
период 0 не считается
28 ноя 2015 в 19:13

Тип double не имеет возможности представлять числа с периодом отличным от (0) в любой системе счисления, основание которой делиться на два.

28 ноя 2015 в 19:16

2 ответа 2

Сортировка: Сброс на вариант по умолчанию

«Внутри» double хранится в системе счисления с основанием 2 , а поскольку 10 = 2 * 5 , любое число, представимое конечной двоичной дробью, может быть представлено и конечной десятичной.

Соответственно, начиная с некоторого момента бесконечная десятичная запись любого числа, представимого типом double , будет состоять исключительно из нулей, что подходит под определение бесконечной последовательности с периодом 1. Поэтому:

bool is_periodic(double x)

Но есть нюанс: в это не вписываются бесконечности и NaN. Поскольку вещественными числами они не являются, я эти случаи не рассматривал.

Отслеживать
ответ дан 28 ноя 2015 в 19:26
user181100 user181100

@Роберт 0.(3) непредставимо в double 🙂 Если 0.5(0) «не считается», то это уже ваше игрушечное определение, для которого ответ всегда «нет, не является».

– user181100
28 ноя 2015 в 19:30
@Роберт 1/3 в double с идеальной точностью не представляется. Вот совсем никак.
– user181100
28 ноя 2015 в 19:32
@Роберт . и это не 1/3 🙂
– user181100
28 ноя 2015 в 19:34

@Роберт 1/3=0.333333333333333314829616256247 никаких нулей между тройками и мусором нет. 1/2=0.5 ровно без каких-либо погрешностей.

28 ноя 2015 в 19:42

@Роберт: срочно читайте, как устроены числа типа double . Никаких 100 знаков после запятой там нет. Это конечные двоичные дроби.

29 ноя 2015 в 17:40

Любое число double является конечной десятичной дробью (за исключением экзотики типа NaN) и поэтому — рациональным числом.

Поэтому вопрос может стоять только о приближении этой десятичной дроби другим рациональным числом, для чего применяются цепные дроби вида
.
Величины a_i называют неполными частными.

Если исходное число имеет вид p/q, то в соответствии с алгоритмом Евклида
p₀=p, q₀=q, a₀ =[p₀/q₀],
p_i+1=q_i, q_i+1=p_i-a_iq_i, a_i+1 =[p_i+1/q_i+1].
Если q_i+1=1, то итерация была последней.

Разложение в цепную дробь — источник наилучших приближений для любой дроби. Эти приближения получаются, если использовать несколько первых неполных частных.

Если считать последним неполное частное a_k, то получим:
q_k=a_k, q_i-1=a_i-1q_i+1, P=q₀, Q=q₁.

Полученная таким образом дробь P/Q называется подходящей.

Возникает вопрос: c какого момента неполные частные не принимать в расчёт? Ответ понятен из следующего примера.
Пусть (с точностью до способа записи) double = 0.0714285714285714 (15 знаков).
Тогда: p₀=714285714285714, q₀=100000000000000000, a₀=0;
p₁=q₀=100000000000000000, q₁=714285714285714, a₁=[p₁/q₁]=14 (и равно [1/double]),
p₂=q₁=714285714285714, q₁=14, a₂=[p₁/q₁]=51020408163265.

Неполное частное a₂ оказалось совсем большим, а обратная ему величина — пренебрежимо малой. Это и есть ответ: следует удалять неполные частные, начиная с наибольшего, имеющего индекс больше 1.

Ограничиваясь первой подходящей дробью, получаем:
q₁=**a₁=14, q₀=0*14+1=0,
P/Q = 1/14.

Как и всякая дробь со знаменателем, который не делит степень десятки, полученная дробь является периодической:

1/14 = 0.0(714285).

Какое число больше в периоде или рациональное

Докажите, что бесконечная десятичная дробь 0,1234567891011121314. (после запятой подряд выписаны все натуральные числа по порядку) представляет собой иррациональное число.

Решение

Рациональные числа выражаются периодическими десятичными дробями. Предположим, что наша дробь периодическая: некоторая последовательность T, состоящая из n цифр, является периодом дроби начиная с m-го знака после запятой. Среди цифр после m-го знака встречаются ненулевые, поэтому в последовательности цифр T есть ненулевая цифра. Это означает, что начиная с m-й цифры после запятой, среди любых n цифр подряд есть ненулевая цифра. Однако в десятичной записи данной дроби должна присутствовать десятичная запись числа 10 k , где k больше m и n. Эта запись встретится правее m-й цифры и содержит более n нулей подряд. Противоречие.

Источники и прецеденты использования