Задание 4. Вариант 23. Сборник Ященко 36 вариантов ФИПИ школе ЕГЭ 2020.
Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного абонента совпадают?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Скрыть Цифры меняются от 0 до 9, значит, совпадение трех последних цифр — это одно из m = 10 событий: $$000, 111, 222, \dots , 999.$$ Всего возможных комбинаций из трех цифр $$n=^3=1000$$. Получаем значение искомой вероятности: $$P=\frac=\frac=0,01$$
Решение №2839 Какова вероятность того что последние две цифры случайного телефонного номера различны?
Какова вероятность того что последние две цифры случайного телефонного номера различны?
Решение:
Всего существует 10 цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
На предпоследнем месте может быть любая из этих 10 цифр, вероятность этого события:
\frac = 1
На последнем месте может быть любая другая из 9 оставшихся цифр, вероятность этого события:
\frac = 0,9
Вероятность того, что последние две цифры различны:
1·0,9 = 0,9
Ответ: 0,9.
ЕГЭ профильный уровень. №3 Теоремы о вероятностях событий. Задача 14
Задача 14. Какова вероятность того, что в случайном телефонном номере три последние цифры одинаковые?
1 ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ:
Всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Какая будет третья цифра с конца не важно. Главное, чтобы вторая с конца и последняя совпадали с третьей. Вероятность того, что вторая и последняя совпадают с третьей 0,1. Тогда вероятность того, что три последние цифры телефонного номера одинаковые, равна: \(0,1 \cdot 0,1 = 0,01\) .
2 ВАРИАНТ РЕШЕНИЯ:
Всего возможных исходов это количество номеров от 000 до 999, то есть 1000. Поэтому \(n = 1000\) . Из них благоприятными являются 10 исходов:
000, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999.
Поэтому \(m = 10\) . Тогда вероятность того, что три последние цифры телефонного номера одинаковые, равна:
Решение задач по теории вероятностей в ходе подготовки к ОГЭ и ЕГЭ
Помочь учащимся 9, 11 классов научиться решать задачи по теории вероятностей в ходе подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, научить их группировать задачи по типам, систематизировать полученные на уроках знания по решению задач.
(справка о публикации находится на 2 листе в файле со свидетельством)
Ваши документы готовы. Если у вас не получается скачать их, открыть или вы допустили ошибку, просьба написать нам на электронную почту konkurs@edu-time.ru (обязательно укажите номер публикации в письме)
Решение задач по теории вероятностей в ходе подготовки к ЕГЭ
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) призван заменить собой два экзамена выпускной за среднюю школу и вступительный в ВУЗы. В связи с этим в рамках ЕГЭ осуществляется проверка овладения материалом курса алгебры и начал анализа 10-11 классов, усвоение которого проверяется на выпускном экзамене за среднюю школу, а также материалом некоторых тем курсов алгебры основной школы и геометрии основной и средней школы, которые традиционно контролируются на вступительных экзаменах в ВУЗы. Одной из таких тем является тема «Теория вероятностей».
Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Умение решать задачи, является одним из основных показателей уровня математического развития, глубины освоения учебного материала. Умение жизненную ситуацию перевести на язык математики, на язык математических формул, моделировать реальные ситуации на языке теории вероятностей и есть качество усвоения материала.
Анализ результатов проведения ЕГЭ говорит о том, что решаемость задания, содержащего задачу по теории вероятностей, составляет в среднем около 80%. Такая ситуация позволяет сделать вывод о том, что большинство учащихся владеют техникой решения таких задач.
Уроки повторения по решению задач по теории вероятностей направлены на то, чтобы учащиеся расширили и углубили свои знания по математике, помогли школьникам систематизировать полученные на уроках ранее знания по решению задач, научили их группировать задачи по теории вероятностей, что существенно поможет им безошибочно решить задачу.
Задачи по теории вероятностей – не трудный материал для значительной части школьников. Но зачастую они не могут сделать первый шаг, чтобы определить к какому типу задач относится та или иная задача. Во многом это связано с тем, что учащиеся не могут определить характер событий и их отношение между собой.
Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них. Рассмотрим типовые задачи и их решения.
Предлагаемые задачи можно разбить на следующие типы задач:
— задачи на классическую вероятность;
— задачи на сложение вероятностей;
— задачи на умножение вероятностей;
— задачи на сложение и умножение вероятностей.
Задачи по теории вероятности, которые входят в ЕГЭ по математике — это несложные задачи. Большинство из них можно решить, зная всего лишь одну формулу, нужны лишь самые основные понятия теории вероятностей. Многие задания можно решить исходя из простых логических рассуждений.
Прежде чем приступить к решению задач по теории вероятностей необходимо четко классифицировать понятия и термины, встречающиеся в этих задачах:
— благоприятное событие – это событие, которое предпочтительно для исхода какого-либо испытания, события;
— равновозможное событие – это все события, которые обязательно произойдут в определенной ситуации;
— несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно, наступление одного из событий исключает наступление другого;
— независимые события – это события, которые могут произойти одновременно, наступление одного из которых не зависит он наступления другого.
Прочитав внимательно задачу, ученик должен четко понять, что происходит в задаче, найти основной вопрос задачи – найти вероятность того, что ……… . Записать это событие. Понять, к какому «типу» относится задача, т.е. это «простая» задача на нахождение классической вероятности, или задача на сложение вероятностей (происходят несовместные события и нас устраивает наступление хотя бы одного из этих событий), или задача на умножение вероятностей (происходят независимые события и нас устраивает наступление обоих событий одновременно).
Итак, вероятностью события называется отношение числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.
Примеры решения задач на классическую вероятность.
Пример 1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Голландии и 6 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Найдите вероятность того, что тринадцатым будет выступать прыгун из Аргентины.
Решение: Благоприятное событие – прыгун из Аргентины, их 6.
Равновозможное событие – всего спортсменов, их 40.
Пример 2. В среднем их 600 садовых насосов, поступивших в продажу, 3 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Решение: Благоприятное событие – насос не подтекает, их 597.
Равновозможное событие – всего насосов, их 600.
Пример 3. Какова вероятность того, что последние три цифры телефонного номера случайного абонента совпадают?
Решение: Благоприятное событие – последние три цифры одинаковые (000, 111, 222, 333 ……. 999), их 10.
Равновозможное событие – всего трехзначных чисел (000, 001, 002, 003 …….999), их 1000.
Пример 4. В классе 16 учащихся, среди них два друга – Олег и Михаил. Класс случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.
Решение: Благоприятное событие – Олег один из трех, кто попал в группу к Михаилу, их 3.
Равновозможное событие – всего учащихся (Михаила не считаем), их 15.
Примеры решение задач на сложение вероятностей
Пример 1. В группе туристов 12 человек. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдет в магазин.
Решение: Вероятность того, что турист Д. пойдет в магазин, равна . Он может быть либо первым, либо вторым, либо третьим членов группы, эти события несовместны, т.е. наступление одного из них исключает наступление другого.
Пример 2. В классе25 человек, среди них у четверых в году пятерки по математике, а у пятерых в году пятерки по биологии. При этом нет никого, у кого были бы пятерки по этим двум предметам. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик класса имеет пятерку по одному из этих предметов.
Решение: Вероятность того, что выберем ученика с пятеркой по математике, равна , а вероятность того, что выберем ученика с пятеркой по биологии, равна . Эти события несовместны, так как нет учеников, у кого были бы пятерки по этим двум предметам.
Пример 3. Гигрометр измеряет влажность в помещении картинной галереи. Вероятность того, что влажность окажется выше 40%, равна 0, 82. Вероятность того, что влажность окажется ниже 56%, равна 0,74. Найдите вероятность того, что влажность находится в пределах от 40% до 56%.
Решение: Событие А: вероятность того, что влажность окажется ниже 40%, равна 1 – 0,82 = 0,18.
Событие В: вероятность того, что влажность окажется выше 40%, но ниже 56% равна 0,74 – 0,18 = 0,56
Пример 4. В роддоме измеряют вес новорожденного. Вероятность того, что вес окажется больше 3 кг, равна 0,87, вероятность того, что вес окажется меньше 3 кг 600 г, равна 0,93. Найдите вероятность того, что вес случайно выбранного новорожденного окажется в пределах от 3 кг до 3 кг 600 г.
Решение: Событие А: вес новорожденного меньше 3 кг. – 1 – 0,87 = 0,13.
Событие В: вес новорожденного больше 3 кг, но меньше 3 кг 600 г. – 0,93 – 0,13 = 0,8
Пример 5. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0, 95. Вероятность того, что окажется меньше 12 пассажиров, равна 0,6. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 12 до 17.
Решение. Событие А: пассажиров окажется больше 12 но меньше 18 – 0,95 – 0,6 = 0,35
Примеры решения задач на умножение вероятностей.
Пример 1. По отзывам покупателей Петр Петрович оценил надежность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина Б, равна 0,95. Петр Петрович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что оба магазина доставят товар.
Решение: Событие А – это вероятность доставки товара из магазина А. Событие Б – это вероятность доставки товара из магазина Б. Эти события независимые, то есть наступление одного из них не зависит от наступления другого и они должны произойти одновременно.
Р(А) · Р(Б) = 0,8 · 0,95 = 0,76
Пример 2. На уроке физкультуры 26 школьников, из них 12 девочек и, остальные мальчики. По сигналу учителя физкультуры все быстро выстраиваются в одну шеренгу в случайном порядке. Найдите вероятность того, что справа в шеренге первые двое окажутся мальчики.
Решение: Событие А – вероятность того, что первым окажется мальчик, равна . Событие В – вероятность того, что и вторым окажется мальчик, равна . Эти события независимые и они должны произойти одновременно.
Пример 3. Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не попадет в нее. Вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелку потребуется ровно три попытки.
Решение: Событие А – попадание по мишени, равно 0,6. Событие В – промах по мишени, равно 0,4. Вероятность попадания или промаха при первом выстреле не зависит от попадания или промаха при втором выстреле. Но события В (промах), В (промах) и А (попадание) должны произойти одновременно.
Р(В) · Р(В) · Р(А) = 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,096.
Пример 4. За круглый стол на 21 стул в случайном порядке рассаживаются 19 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки не окажутся на соседних местах.
Решение: Для того, чтобы девочки не оказались на соседних местах необходимо, чтобы справа и слева от них находились мальчики. Событие А – вероятность того, что справа окажется мальчик, равна . Событие В – вероятность того, что слева окажется мальчик, равна . Эти события независимые и должны произойти одновременно.
Пример 5. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало не менее четырех очков.
Решение: Событие А – вероятность выпадения не менее 4 очков (т.е. 4, 5, 6) при первом броске, равно = 0,5. Событие В – вероятность выпадения не менее 4 очков при втором броске, равна 0,5. Эти события независимые и должны произойти одновременно.
Р(А) · Р(В) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
Примеры решения задач на сложение и умножение вероятностей.
Пример 1. Из ящика, в котором лежат фломастеры, не глядя достали два фломастера. Найдите вероятность того, что эти фломастеры оказались одного цвета, если известно, что в ящике 12 синих и 13 красных фломастеров.
Решение: Найдем вероятность того, что из ящика достанут синий фломастер: Р(С) = Р(А) · Р(В) = · =
Теперь найдем вероятность того, что из ящика достанут красный фломастер: Р(D) = Р(А) · Р(В) = · =
Эти два события несовместные и нас устраивает наступление хотя бы одного из этих событий Р(С) + Р(D) = + = = 0,48
Пример 2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только три пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.
Решение: Вероятность промаха из пристрелянного револьвера равна 1 – 0,8 = 0,2. Вероятность промаха из непристрелянного револьвера равна 1 – 0,3 = 0,7. Сначала найдем вероятность того, что Джон схватил пристрелянный револьвер (их 3) и промахнулся: Р(А) = 0,3 0,2 = 0,06.
Теперь найдем вероятность того, что Джон схватил непристрелянный револьвер и промахнулся: Р(В) = 0,7 0,7 = 0,49.
Эти два события несовместные и нас устраивает наступление хотя бы одного из этих событий Р(А) + Р(В) = 0,06 + 0,49 = 0,55.
Пример 3. На складе на одном стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных клавиатур: 30 черных, 10 белых и 10 серых. На другом стеллаже лежат в случайном порядке 50 запакованных мышей: 30 черных, 10 белых и 10 серых. Найдите вероятность того, что случайно выбранная клавиатура и мышь будут одинакового цвета.
Решение: Вероятность того, что клавиатура и мышь будут черного цвета равна Р (А) = · = .
Вероятность того, что клавиатура и мышь будут белого цвета равна Р (В) = · = .
Вероятность того, что клавиатура и мышь будут серого цвета равна Р (С) = · = .
Эти три события несовместные и нас устраивает наступление хотя бы одного из этих событий Р(А) + Р(В) + Р(С)= + + = = 0,44.
Пример 4. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 4%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Решение: Вероятность того, что попадется бракованное стекло из первой фабрики равна Р(А) = 0,3 · 0,03 = 0,009.
Вероятность того, что попадется бракованное стекло со второй фабрики равна Р(В) = 0,7 · 0,04 = 0,028.
Эти два события несовместные и нас устраивает наступление хотя бы одного из этих событий Р(А) + Р(В) = 0,009 + 0,028 = 0,037.