По прямому бесконечному цилиндру радиусом r течет ток плотность которого изменяется по закону jar
Перейти к содержимому

По прямому бесконечному цилиндру радиусом r течет ток плотность которого изменяется по закону jar

6. ТЕОРЕМА О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА B

Токи входят в алгебраическую сумму со знаком плюс, если с острия тока обход контура выглядит происходящим против часовой стрелки. Дифференциальная форма закона: B 0 j , где j – плотность тока проводимости. Теорема о циркуляции лежит в основе одного из фундаментальных уравнений современной электродинамики. С помощью теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции B в некоторых случаях можно относительно просто рассчитать результирующее магнитное поле от протяженных объектов. Методика расчета включает в себя следующие этапы: 1) контур проводят через точку, в которой определяется индукция магнитного поля; 2) контур выбирается с учетом симметрии силовых линий магнитного поля. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. По бесконечному цилиндру радиусом R течет ток, плотность которого является функцией расстояния от оси цилиндра: j ( r ) = j 0 ∙ r . Найти закон зависимости индукции магнитного поля B ( r ) от расстояния. 41

Решение: Рассмотрим некоторую точку внутри цилиндра на удалении r от его 1 оси (рис. 31). Проведем окружность радиусом r через эту точку. Плоскость 1 окружности перпендикулярна оси цилиндра. Данная окружность совпадает с силовой линией такого же радиуса. Поэтому в любой точке окружности вектор B 1 B r 1 будет параллелен направленному элементу контура dl 1 , модуль вектора индукции магнитного поля будет постоянной величиной для

j Z r 1 R r 2

любого элемента dl 1 : Рис. 31
B 1 dl B 1 dl cos 0 B 1 dl . Направление обхода контура выберем против
часовой стрелки. Тогда вычисление циркуляции дает следующее:
B 1 dl B 1 dl B 1 2 r 1 . Далее находим произведение суммарного тока,
( l 1 ) ( l 1 )
охватываемого контуром, на магнитную постоянную:
r
1 2
0 j dS 0 j 0 r 2 rdr 0 r 1 3 j 0 . Из равенства, выражающего теорему
3
S 1 0
о циркуляции, имеем: B r 2 r 3 j 1 r 2 j .
1 0
1 3 0 2 r 3 0 1 0
1

Повторяем процедуру для определения индукции магнитного поля B r 2 в некоторой точке внутри цилиндра на удалении r 2 от оси цилиндра. Отличие состоит в вычислении суммарного тока, так как ток ограничен окружностью

R 2
радиусом R : 0 j dS 0 j 0 r 2 rdr 0 R 3 j 0 . Вычисление циркуляции
S 0 3
дает следующее: B dl B dl B 2 r 2 . Из равенства, выражающего
( l 2 ) ( l 2 )
B r 2 R 3 j 1 R 3
теорему о циркуляции, имеем 0 j .
2 r
2 3 0 3 0 r 0
2 2
Ответ : B r 1 r 2 j , B r 1 R 3 j .
3 0 r
1 3 0 1 0 2 0
2
Задача 2. Найти модуль индукции магнитного поля внутри тонкого
соленоида с током I = 1 А и плотностью намотки n = 3,14∙10 3 м –1 .
Решение :
Магнитную индукцию поля бесконечно
длинного соленоида можно вычислить, используя
теорему о циркуляции. Соленоид представляет собой B
тонкий провод, навитый плотно виток к витку на a b
цилиндрический каркас (рис. 32). Он эквивалентен
системе одинаковых круговых токов с общей прямой d c
осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен l
относительно любой плоскости, проведенной через Рис. 32
его ось симметрии. В любой точке внутри соленоида
вектор B имеет направление, параллельное оси, магнитное поле сосредоточено
внутри соленоида. Возьмем прямоугольный контур a b c d , выберем
обход по часовой стрелке. Циркуляцию вектора B можно представить
следующим образом:
B dl B 1 dl 1 B 2 dl 2 B 3 dl 3 B 4 dl 4 .
( abcd ) ( ab ) ( bc ) ( cd ) ( da )

Второй и четвертый интегралы равны нулю, так как вектор B перпендикулярен участкам контура, по которым они берутся. Для этих элементов контура

скалярные произведения обращаются в нуль: B 2 dl 2 0 , B 4 dl 4 0 . На
участке c d , который является внешним для соленоида, магнитное поле
l
равно нулю. В итоге получаем B dl B 1 dl 1 B 1 dl 1 B 1 l . Далее
( abcd ) ( ab ) 0
вычисляем правую сторону теоремы. Учитываем, что контур охватывает
N
суммарный ток 0 I k 0 n l I , где n – плотность намотки витков

k 1 соленоида. Приравнивая обе части теоремы, получаем модуль индукции магнитного поля внутри соленоида: B B 1 0 n I 4 мТл Ответ : B 0 n I 4 мТл . Задача 3. Постоянный ток равномерно распределен по плоскости ХОY так, что модуль его линейной плотности во всех точках плоскости одинаков и равен j 3,14 А м (рис. 33). Определить модуль индукции магнитного поля на высоте 10 см над этой плоскостью, если ток течет в положительном направлении оси ОХ . 43

Решение : Раccмотрим множество токов, которые текут перпендикулярно оси ОY (рис. 33).

Возьмем прямоугольный контур
a b c d , выберем обход против
часовой стрелки. Циркуляцию вектора B
можно представить следующим
образом:
B dl B 1 dl 1 B 2 dl 2 B 3 dl 3 B 4 dl 4 .
( abcd ) ( ab ) ( bc ) ( cd ) ( da )
Z
b B h a
. . . . . . . . . . . . . . . . Y
–s/2 O s/2
B
с –h d
Второй и четвертый интегралы равны нулю, Рис. 33
так как в силу произвольности контура
длины сторон можно выбрать: bc da 0 . Для остальных элементов контура
скалярные произведения имеют вид: B 1 dl 1 B dl , B 3 dl 3 B dl . В итоге
s
2
для левой стороны теоремы получаем: B dl 2 B dl 2 B s . Далее
( abcd ) s
2
вычисляем правую сторону теоремы. Учитываем, что контур охватывает

N суммарный ток 0 I k 0 j s , где n – плотность намотки витков соленоида. k 1 Приравнивая обе части теоремы, получаем модуль индукции магнитного поля внутри соленоида: B 0 2 j 18,28 мкТл Ответ : B 0 2 j 18,28 мкТл Задача 4. По бесконечному цилиндру течет ток постоянной плотностью j . Цилиндрическая полость размещена так, что ее ось параллельна оси цилиндра и находится на расстоянии s от оси цилиндра. Найти закон изменения модуля индукции магнитного поля внутри полости (рис. 34). Решение : Отсутствие тока в полости можно представить как суперпозицию плотностей токов, текущих в противоположных направлениях (рис. 34). Тогда мы имеем 1) один цилиндр с осью OZ , внутри которого течет вверх постоянный ток плотностью j ; 2) второй цилиндр с осью OZ , внутри которого течет вниз постоянный j . 44

Находим индукцию магнитного поля внутри полости в точке А по
принципу суперпозиции полей двух цилиндров: B B 1 B 2 . Z
Определим модуль индукции B 1 от большего цилиндра в точке А ,
Z
выбирая обход по окружности радиусом r 1 против часовой
стрелки: r 0 r
1
B 1 dl B 1 dl B 1 2 r 1 0 j 2 rdr , B 1 jr 1 . j r 2
2
( l 1 ) ( l 1 ) 0 1 A
Определим модуль индукции B 2 от меньшего цилиндра в
j
точке А , выбирая обход по окружности радиуса r 2 по
часовой стрелке:
r 2
B 2 dl B 2 dl B 2 2 r 2 0 j 2 rdr , j
( l 2 ) ( l 2 ) 0
B 0 jr .
2 2 2
В векторном виде Рис. 34
B 0 j , r 1 и B 0 j , r 2 .
1 2 2 2
Результирующее поле в полости , B 0 j s .
B B B 0 j , r 1 r 2 0 j , s
1 2 2 2
0 2
Ответ : B j s .
2

Задача 5. Постоянный ток I течет по полубесконечному прямому проводнику, а затем растекается радиально симметрично по проводящей плоскости, перпендикулярной проводу. Найти закон изменения модуля индукции магнитного поля: 1) на высоте h над плоскостью и на расстоянии r от проводника; 2) на глубине h под плоскостью и на расстоянии r от проводника (рис. 35). Решение : Рассмотрим круговой контур радиусом r , плоскость которого перпендикулярна проводнику и проходит через точку A 1 . Используя закон Био– Савара–Лапласа, легко доказать, что в точке A 1 поля от прямого проводника и от плоскости с током направлены по касательной к выбранному контуру. Выбирая обход контура по часовой стрелке, получаем теорему о циркуляции: B 1 dl B 1 2 r 0 I . Правая сторона содержит только ток проводника, ( l A ) 1 45

так как токи плоскости не попадают в контур. Для

следующий результат: B 0 I .
1 2 r
Рассмотрим круговой контур
радиусом r , плоскость которого
перпендикулярна проводнику и h
проходит через точку A 2 . В этом
случае ни один не пересекает
поверхность контура, поэтому
индукция магнитного поля в этой
точке равна нулю.
Ответ : B 0 I , B 0 .
1 2 r 2 h

точки A 1 получаем I A 1 r A 2

Рис. 35 ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. По бесконечному цилиндру радиусом R течет ток, плотность которого является функцией расстояния от оси цилиндра: j r j 0 r 2 . Найти закон зависимости индукции магнитного поля B r от расстояния r . 2. Бесконечный полый цилиндр радиусом R заряжен электричеством с поверхностной плотностью заряда . Найти модуль индукции магнитного поля как функцию расстояния r от оси цилиндра B r , если он приведен во вращение с угловой скоростью . 3. Магнитное поле создается токами, равномерно распределенными по двум параллельным проводящим плоскостям. Найти закон изменения модуля индукции магнитного поля между плоскостями и с внешней стороны, если плотности токов имеют одинаковый модуль j , но направлены в противоположные стороны. 4. По обмотке тороида с внутренним радиусом R 1 и внешним R 2 , имеющим N витков, течет ток силой I . Найти модуль индукции магнитного поля как функцию расстояния r от оси симметрии B r . 5. Постоянный ток течет по полубесконечному прямому проводнику, а затем растекается радиально симметрично по проводящей среде, плоскость которой перпендикулярна проводнику. Найти закон изменения модуля индукции магнитного поля: 1) на высоте h над средой и на расстоянии r от проводника; 2) на глубине h в среде и на расстоянии r от проводника. 46

7. СИЛА АМПЕРА. СИЛА ЛОРЕНЦА ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И ЗАКОНЫ

I , в месте
На элементарный участок dl тонкого проводника с током
нахождения которого создано магнитное поле с индукцией B , со стороны этого
поля действует сила Ампера:
dF I dl , B .

Вектор dl направлен по касательной к проводнику в направлении тока. На точечный заряд q , движущийся со скоростью v в электрическом и магнитном полях, действует сила Лоренца:

F qE q v , B .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
dl Задача 1. По П-образному проводу,
dF параллельные участки которого
B 1 B
0 l расположены на расстоянии l 1см друг
от друга, течет ток I = 10 А. Найти силу,
действующую на единицу длины провода
Рис. 36 в точке O (рис. 36).
Решение:
Два параллельных участка провода в точке O создают магнитные поля,
индукция которых одинакова: B 1 B 2 . Оба вектора индукции направлены от
нас в рисунок. Их модули равны
B 1 B 2 0 I .
4 l / 2
Третий участок, соединяющий параллельные участки, как видно из
закона Био–Савара, магнитного поля в точке O не создает. Следовательно,
индукция магнитного поля в точке O направлена в рисунок и ее модуль равен
B B B 0 I .
1 2 l
На участок провода dl действует сила Ампера: dF I dl , B . Модуль этой
силы равен
0 I 2
dF IB dl dl .
l

Модуль силы, действующей на единицу длины участка, равен 47

dF I 2 мН
F ед 0 0 , 4 .
dl l
м

Задача 2. Тонкий стержень массой m = 11,1 мг и длиной S = 1 см, подвешенный в горизонтальном положении на двух нитях длиной l = 1 м, находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией 1 мТл, направленном перпендикулярно стержню (рис. 37). По стержню течет ток I 0 = 1 А. Найти период малых колебаний такого стержня.

Решение :
На рис. 37 провод расположен O
перпендикулярно к плоскости рисунка, ток идет от
нас. Воспользуемся уравнением динамики твердого
тела, вращающегося вокруг неподвижной оси OZ :
I d 2 M iz внешн .
dt 2
Ось OZ проходит через точку подвеса О
перпендикулярно рисунку и направлена на нас.
Момент инерции стержня I ml 2 . На стержень
действуют сила тяжести Ампера
mg , сила
F I 0 d , B , сила натяжения нитей T . Моменты
А
этих сил относительно оси OZ равны
M mgz mgl sin , M F z I 0 SBl sin ,
А

Подстановка этих выражений в уравнение динамики дает

l F A T I B mg Рис. 37 M Tz 0 .

ml 2 d 2 mgl sin I SBl sin .
dt 2 0
При малых колебаниях можно заменить sin на . В результате получаем
динамическое уравнение гармонических колебаний:
d 2 ( mg I 0 SB )
m .
dt 2 l

Решениями этого уравнения являются гармонические функции, период колебаний которых определяется выражением

T 2 ml 6,3 c
mg I 0 SB
Ответ: T 2 ml 6,3 c
mg I 0 SB

Задача 3. По двум длинным тонким параллельным проводникам (рис. 38) текут постоянные токи I 1 = 4 А и I 2 = 8 А. Расстояние между проводниками – a = 2 мм, ширина правого проводника равна b = 4 мм. Имея в виду, что оба проводника лежат в одной плоскости, найти силу магнитного взаимодействия

a b между ними в расчете на единицу их длины.
Решение:
x Разбиваем широкий проводник на
параллельные тонкие полосы. Положение полосы
dx
задается координатой x , а ее ширина равна dx . По
полосе протекает ток dI 2 I 2 dx . Ток I создает в
b 1
I 1 I 2 месте нахождения полосы магнитное поле, модуль
индукции которого равен
Рис. 38 B 0 I 1 .
2 x
Вектор B направлен в рисунок. На полосу dx длины h действует сила Ампера,
направленная влево и равная по модулю
dF I 2 dx 0 I 1 h .
b 2 x
Сила, действующая на участок широкой полосы длиной h , равна
a b I I h I I h b
F 0 1 2 dx 0 1 2 ln 1 .
2 bx 2 b
a
a
Сила взаимодействия, приходящаяся на единицу их длины, равна
F F 0 I 1 I 2 ln 1 b 1 , 76 мН .
ед h 2 b a м
Ответ: F 0 I 1 I 2 ln 1 b 1 , 76 мН .
ед 2 b м
a
Задача 4. Из начала координат O Y
области, где созданы однородные,
параллельные оси OY электрическое и E
магнитное поля с напряженностью E =
= 10 кВ/м и индукцией B = 1 мкТл (рис. 39), B
вылетает в направлении оси OX частица с
удельным зарядом q / m = 10 20 Кл/кг. 0
Начальная скорость частицы равна v 0 =
O X
= 10 7 м/с. Найти для нерелятивистского
случая координату y n частицы в момент, Z
когда она 10 раз пересечет ось OY . Рис. 39
49

Определить угол между вектором скорости частицы и осью OY в этот момент времени.

Решение:
На частицу со стороны электрического поля действует сила qE ,
направленная вдоль оси OY . Со стороны магнитного поля действует сила
q v , B , перпендикулярная оси OY . Под действием электрического поля у
скорости частицы появится компонента, параллельная OY . Разобьем скорость
на две составляющие: v || , направленную вдоль полей, и v , лежащую в
плоскости XOZ , перпендикулярной полям. Скорость частицы равна
v v || v .
Проекция уравнения движения частицы
dv
m qE q v , B
dt
на ось OY
m dv || qE .
dt
Следовательно,
v qEt и y qEt 2
|| m 2 m
с учетом начальных условий.
Проекция уравнения движения на плоскость XOZ имеет вид
dv dv
m q v || v , B или m q v , B .
dt dt

Последнее уравнение формально описывает движение частицы под действием силы, перпендикулярной скорости и равной по модулю qv B . Такое движение

происходит по окружности с центростремительным ускорением v 2 / R в
соответствии с уравнением
m v 2 qv B .
R
Вследствие ортогональности силы q v , B и скорости v ее величина не

меняется и равна v v 0 . Радиус окружности R постоянен. Частица одновременно движется с постоянной по величине скоростью v по окружности радиусом R и возрастающей со временем скоростью v || вдоль оси OY . Таким образом, траектория движения представляет собой спираль на цилиндре, шаг которой возрастает. Частица будет пересекать ось OY через промежутки времени, равные времени одного оборота проекции частицы на плоскость XOZ : T 2 R 2 m . v qB Искомая координата пересечения OY равна 50

y qE( nT ) 2 2 2 mEn 2 0 , 2 м .
n qB 2
2 m
Угол между вектором скорости v и осью OY определяется соотношением
tg v v 0 B 1 , 6 10 5 .
v 2 En
||
2 2 mEn 2 v B 1 , 6 10 5 .
Ответ: y 0 , 2 м , tg 0
n qB 2 2 En
Задача 5. С поверхности цилиндрического провода радиусом a = 1 см,
по которому течет постоянный ток I = 5 А, вылетает электрон с начальной
скоростью v = 10 5 км/с, перпендикулярной поверхности провода. Найти, на

0 какое максимальное расстояние H удалится электрон от оси провода, прежде чем повернуть обратно под действием магнитного поля тока. Решение: Проводник с током создает магнитное поле, модуль индукции которого равен B 0 I , 2 y где y – расстояние от точки наблюдения до оси цилиндра. Над цилиндром

вектор B направлен на нас перпендикулярно рисунку (рис. 40). На электрон
действует сила, равная ( e ) v , B , которая в силу ортогональности B лежит в
плоскости рисунка. Поэтому движение с Y
учетом начальных данных будет
происходить в плоскости XOY . Запишем B
уравнение движения: H
i j k 0
dv
m e v , B e v x v y 0 .
dt
0 0 B
Проекции на координатные оси приводят к
уравнениям Z
m dv x ev y 0 I , X I
dt
2 y
dv y ev x 0 I Рис. 40
m dt 2 y .
Производная
dv y dv y dy dv y v 1 dv 2 y .
y
dt dy dt dt 2 dy
51

При движении частицы в магнитном поле модуль ее скорости сохраняется:

v 2 v 2 v 2
или v x v 2 v 2 .
o x y 0 y

Подставив два последних выражения в проекцию уравнения движения на ось OY , получим

m dv 2 y I
e v 2 v 2 0 .
2 y
2 dy 0 y
После разделения переменных получаем уравнение
m dv 2 y e 0 I dy ,
2 y
2 2 2
v 0 v y
которое легко интегрируется:
0 m dv 2 y H e 0 I dy
,
2 y
2 2
v y 2
v 0 v y a
(при выборе пределов интегрирования мы учли, что на искомой высоте H
v y 0 ). Выполнив интегрирование, получаем
0 e 0 I ln y H e 0 I ln H .
m v 2 v 2 или mv 0
0 y v 2 a 2 a
0

Отсюда находим выражение для максимальной высоты: H a exp 2 mv 0 0 , 02 м . e 0 I Ответ: H a exp 2 mv 0 0 , 02 м . e 0 I ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Два одинаковых заряда q = 10 –10 Кл, находящихся на расстоянии l = 10 см 5 друг от друга, движутся с одинаковой скоростью 10 м/с. Скорость v перпендикулярна прямой, проходящей через оба заряда. Найти отношение магнитной F м и электрической F э сил, действующих на один из зарядов со стороны другого. 2. Замкнутый провод имеет форму полуокружности, концы которой соединены диаметром. По проводу течет ток I = 10 А. Найти силу, с которой магнитное поле действует на единицу длины провода в центре диаметра. 52

3. Параллельно бесконечному проводу с током I = 10 А на расстоянии d = 10 см движется заряд q = 10 –10 Кл. С какой силой провод действует на заряд? 4. На двух параллельных рельсах, расположенных под углом к горизонту, в горизонтальном положении лежит стержень длиной l , по которому течет ток I . Найти индукцию вертикального магнитного поля, при которой стержень не скользит по перемычке. Силой трения пренебречь. 5. Квадратная рамка со стороной a лежит в одной плоскости с бесконечным длинным прямым проводом. Две стороны рамки параллельны проводу. Ближайшая из сторон находится на расстоянии d от провода. По проводу течет ток I 0 , а по рамке – I . Найти силу взаимодействия провода и рамки. 8. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ФОРМУЛЫ При помещении вещества во внешнее магнитное поле B 0 магнитные моменты отдельных молекул, создаваемые молекулярными токами, стремятся ориентироваться вдоль линий индукции. В результате вещество приобретает ненулевой магнитный момент – намагничивается. Степень его намагничивания характеризуется вектором намагниченности

1
J p m ,
V

который равен магнитному моменту единицы объема вещества. Для вектора намагниченности справедлива теорема о циркуляции: ( J , dl ) I , L

где I – сумма молекулярных токов, охватываемых контуром интегрирования.
Молекулярные токи создают дополнительное магнитное поле B , поэтому
индукция результирующего Теорема о циркуляции для
поля B B 0 B .
вектора напряженности магнитного поля
H B J
0
включает только токи проводимости
( H , dl ) I .
При определенных условиях выполняется соотношение J H , где
магнитная восприимчивость. Тогда
B 0 (1 ) H 0 H ,
53

где 1 – магнитная проницаемость вещества. На границе раздела двух магнетиков выполняются граничные условия для нормальных и тангенциальных составляющих полей: B 1 n B 2 n , H 1 H 2 . ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача 1. Модуль вектора индукции магнитного поля в вакууме вблизи

плоской поверхности однородного изотропного
магнетика равен 1 мТл, причем вектор B 0
B n
0
составляет угол с нормалью к поверхности
6 B
(рис. 41). Магнитная проницаемость магнетика
равна = 141. Найти модуль вектора индукции
магнитного поля в магнетике вблизи
поверхности. Рис. 41
Решение:
Равенство нормальных составляющих индукции магнитного поля
позволяет определить
B n B 0 n B 0 cos 0 .
Тангенциальную составляющую магнитного поля определим из равенства
тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля:
H H 0 B B 0 B B 0 B 0 sin 0 . Следовательно, модуль
0 0

вектора индукции магнитного поля равен B B n 2 B 2 B 0 cos 2 0 2 sin 2 0 6 мТл . Ответ: B B 0 cos 2 0 2 sin 2 0 6 мТл . Задача 2. Постоянный ток I = 1 А течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения радиусом R = 5 см. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью = 175. Найти величину

поверхностного молекулярного тока
I пов .
Решение :
В результате намагничивания возникают объемные и поверхностные
молекулярные токи I и I (рис. 42). Для их вычисления воспользуемся
об пов L
теоремами о циркуляции для H и J . В качестве замкнутого контура
54
p , H , J , B
I об
m

I Рис. 42 Итак, по объему провода токи Выделим замкнутый контур L

выберем окружность радиусом r R с
центром на оси цилиндра, лежащую в
плоскости, перпендикулярной оси. При
условии r R получим
H 2 R I , J 2 R I об .
С учетом связи J H получаем
H I / 2 R , I об 2 RJ 2 R H I .
I направлении.
и I об протекают в одном
в виде окружности радиусом r R , r R ,

лежащей в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра с центром на оси. Контур расположен вне магнетика, поэтому намагниченность во всех точках контура равна нулю. Следовательно, по теореме о циркуляции для J получаем

0 I
I об I пов .
Поверхностный молекулярный ток равен
175А .
I пов I об I

Знак минус указывает на то, что этот ток течет в обратном направлении по отношению к I .

I 175А .
Ответ: I пов
Задача 3. Прямой, бесконечно длинный
проводник с током I = 1 А лежит в плоскости
раздела двух непроводящих сред с 1 I
магнитными проницаемостями 1 = 125 и 2 =
= 175. Найти модуль вектора индукции H ,
магнитного поля на расстояния r = 2,65 см от 2
B 1 ,
провода. Иметь в виду, что линии вектора B
являются окружностями с центром на оси B 2
проводника (рис. 43). Рис. 43
Решение:
B 1 B 2 .
В силу граничных условий Так как B 0 H , то линиями H
будут также окружности. По теореме о циркуляции для вектора H получаем
H 1 r H 2 r I .
Воспользовавшись соотношениями
H 1 B 1 B , H 2 B 2 B ,
1 0 1 0 2 0 2 0
получаем, что модуль вектора индукции равен
B 1 B 2 B 0 1 2 I 1 , 1мТл .
r( 1 2 )
55
Ответ: B 1 B 2 0 1 2 I 1 , 1мТл .
r( 1 2 )
Задача 4. Постоянный магнит имеет вид кольца с узким зазором между
полюсами. Диаметр середины кольца – d = 10 см. Ширина зазора b = 1 мм,
индукция магнитного поля в зазоре B = 0,8 мТл. Пренебрегая рассеянием

магнитного поля на краях зазора, найти модуль вектора напряженности магнитного поля внутри магнита. Решение: Вспомогательный замкнутый контур выбираем в виде окружности диаметром d , проходящей в середине кольца. В отсутствие макроскопических токов циркуляция H по выбранному контуру равна нулю: H 1 ( d b ) H 2 b 0 , где H 1 – напряженность поля в магните, H 2 – напряженность поля в зазоре. Так как по условию задачи нам известна индукция в зазоре B , то мы можем определить напряженность магнитного поля в зазоре H 2 B / 0 . Подстановка этого выражения в теорему о циркуляции дает напряженность магнитного поля в магните

H 1 Bb 2 А .
0 d
м
Здесь мы опустили знак минус и учли, что d >> b .
Ответ: H 1 Bb 2 А .
0 d м
B B 0 Задача 5. Длинный тонкий
цилиндрический стержень из парамагнетика с
магнитной восприимчивостью = 175 и
x x dx
0 X площадью поперечного сечения S = 1,21 мм 2
Рис. 44 расположен вдоль оси катушки с током. Один
конец стержня находится в центре катушки,

где индукция магнитного поля равна B = 0,1 Тл, а другой конец – в области, где магнитное поле практически отсутствует (рис. 44). С какой силой катушка действует на стержень? Решение: Разбиваем цилиндр на небольшие участки длиной dx . Каждый такой участок обладает магнитным моментом dp m J dV JS dx . Намагниченность 56

J H B
.
0 (1 )

Магнитное поле в области расположения цилиндра неоднородно. Поэтому на каждый выделенный элемент действует сила, проекция которой равна dF x dp m dB BS dx dB . dx 0 (1 ) dx Проекция силы, действующей на весь цилиндр, равна

l l BS dx dB 0 SB dB SB 2
F x dF 1 , 5мН .
0 ( 1 ) dx 0 ( 1 ) 2 0 ( 1 )
0 0 B

Знак минус указывает на то, что сила направлена влево.

SB 2
Ответ: F x 1 , 5мН .
2 0 ( 1 )
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. В однородное магнитное поле с индукцией B 0 помещена бесконечная
плоскопараллельная пластина из однородного изотропного магнетика с
проницаемостью .
Пластина расположена перпендикулярно линиям B 0 .
Найти напряженность магнитного поля H в магнетике.
2. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного

цилиндрического провода круглого сечения радиусом R . Материалом провода является парамагнетик с восприимчивостью . Найти зависимость индукции B от расстояния r до оси провода и плотность тока намагничивания j внутри провода.

3. Индукция магнитного поля в вакууме вблизи плоской поверхности
с нормалью к
магнетика равна B , и вектор B составляет угол n
поверхности. Магнитная проницаемость магнетика равна . Найти поток

вектора H через поверхность сферы S радиусом R , центр которой лежит на поверхности магнетика. 4. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом R имеется обмотка с общим числом витков N . В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной b . При токе I через обмотку индукция магнитного поля в зазоре равна B . Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора, найти магнитную проницаемость железа при этих условиях. 5. Небольшой шарик объемом V из парамагнетика с магнитной восприимчивостью медленно переместили вдоль оси катушки с током из 57

точки, где индукция магнитного поля равна B , в область, где магнитное поле практически отсутствует. Какую при этом совершили работу? 9. ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Явление электромагнитной индукции состоит в том, что в замкнутом проводящем контуре при любом изменении магнитного потока, который охватывается этим контуром, возникает электрический ток. Данный ток получил название индукционного, и он связан с величиной ЭДС индукции i следующим образом: I i i R . Закон Фарадея устанавливает, что ЭДС индукции i равна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, взятой со знаком минус: i d dt . Знак минус – математическое выражение правила Ленца о направлении индукционного тока: индукционный ток всегда направлен так, чтобы своим полем противодействовать изменению магнитного потока. Приведенное выражение для ЭДС индукции контура является совершенно универсальным, не зависящим от способа изменения потока магнитной индукции . Магнитный поток является функцией времени, если хотя бы одна из величин является функцией времени: B = B ( t ), S = S ( t ), α = α ( t ).

Данный факт следует из определения потока вектора: B cos d S .
S п
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Виток
изолированного медного B
провода изогнут путем
перекручивания в виде
восьмерки. Найти
направление Рис. 45
индукционного тока в

контуре, если вектор индукции однородного магнитного поля перпендикулярен плоскости контура (рис. 45), а его модуль увеличивается с течением во времени. Решение : Обозначим площади контуров как S 1 и S 2 (рис. 46). Полная ЭДС определяется как алгебраическая сумма ЭДС контуров i 1 и i 2 . Поток вектора B с течением времени через площади контуров S 1 и S 2 растет и создает в контуре индукционный ток, направление которого указан на рис. 46. В 58

соответствии с правилом Ленца этот ток порождает дополнительный

магнитный поток,
противодействующий B i B
изменению внешнего
магнитного потока. S S 2
Знаки ЭДС i 1 и i 2 1
будут разными,
однако ток течет в Рис. 46

направлении,совпада- ющем с направлением ЭДС i 1 . Задача 2. Форма проводника описывается уравнением параболы y kx 2 . По проводнику движется вверх с постоянным ускорением а горизонтальная проводящая перемычка. Вся конструкция находится во внешнем магнитном поле с индукцией B . Найти зависимость ЭДС индукции от высоты подъема перемычки y , если начальная скорость перемычки равна нулю.

Решение :
Пусть перемычка за время dt перемещается вверх из точки с координатой
y в точку с координатой y dy . При этом площадь
прямоугольника на рис. 47 определяется как dS 2 xdy . B Y
Из кинематики следует, что координата y является

функцией времени y a 2 t 2 . Так как магнитное поле является постоянным, то поток изменяется вследствие того, что величина площади изменяется во времени. Определим функцию S t :

3
S y 2 y 4
d y y 2 ,
k 3 k
выполняя подстановку y a t 2 , получаем
2
3
S t 2 y 2 I
d y a 2 t 3 . Находим ЭДС
k 3 k
индукции из закона Фарадея:
3
d S 2 2 a By .
B Ba 2 t 2 2
i d t k k
Ответ : i 2 2 a By .
O
k

y dy y X O Рис. 47 Y B

X
x x dx

Задача 3. В магнитном поле, создаваемом длинным прямым проводником с током I , находится квадратная рамка со стороной а . Найти ЭДС индукции i r как функцию расстояния r между рамкой и проводником. Проводник находится в одной плоскости с рамкой, вектор скорости рамки v перпендикулярен проводнику с током (рис. 48). Решение : На расстоянии x от проводника величина индукции магнитного поля

определяется как B 1 0 I . В пределах бесконечно малого прямоугольника
2 x
площадью dS adx модуль индукции магнитного поля практически не

изменяется (см. рис. 48). Находим поток через квадратную рамку, левый край которой находится на расстоянии r от проводника:

r a 1 0 I I a r a
B cos 0 dS a dx 0 ln .
2 x 2 r
S n r

В соответствии с законом Фарадея находим ЭДС индукции, выполнив подстановку r vt ,

d d I 0 a vt a I 0 a v
i ln
dt 2 vt 2
dt vt a
Ответ : i I 0 a 2 v .
2 r r a
v I 0 a 2 v .
2 r r a
vt

Задача 4. Между полюсами магнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением вектора индукции магнитного поля магнита. Площадь поперечного сечения катушки равна S = 100 см 2 , число витков – N = =1000. При переворачивании катушки на 180 o через подключенный к ней гальванометр протекает заряд q = 0,2 мКл. Найти модуль индукции внешнего магнитного поля, если сопротивление цепи – R = 100 Ом. Решение : Из закона Ома и закона Фарадея находим закон наращивания заряда при изменении потока индукции магнитного поля: i IR d dt , dq dt R d dt , dq d R . Так как при перевороте поток изменяется с 1 до 2 , то протекший 60

за это время заряд равен q 1 2 BSN BSN 2 BSN . Отсюда R R R находим величину индукции внешнего магнитного поля: B 2 qR SN 1мТл . Ответ : B 2 qR SN 1мТл . Задача 5. Стержень длиной R = 20 см вращают вокруг оси, проходящей через один из его концов в плоскости, перпендикулярной вектору индукции однородного магнитного поля B = 5 мТл, с постоянной угловой скоростью = = 2000 рад/с. Найти разность потенциалов между концами стержня.

Решение :
Находим разность потенциалов из закона Фарадея: B dS .
i
dt
Определим площадь сектора, который заметает стержень за время dt из
пропорции
R 2 dS .
2 d
Тогда получаем
R 2 d R 2
B B 0 , 2 В .
i 2 dt 2
Ответ : B R 2 0 , 2 В.
2

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Найти направление индукционного тока в контуре, если вектор индукции однородного магнитного поля перпендикулярен плоскости контура (рис. 45), а его модуль уменьшается с течением времени. 2. Форма проводника описывается уравнением параболы y kx 2 . По

проводнику движется вверх горизонтальная проводящая перемычка с
постоянной скоростью v . Вся конструкция находится во внешнем магнитном поле с
индукцией B . Найти зависимость ЭДС индукции от высоты подъема перемычки y ,
если начальная скорость перемычки равна нулю.
I 3. В магнитном поле, создаваемом длинным
прямым проводником с током I, находится
l v П-образный проводник, по которому скользит
проводящая перемычка длиной l (рис. 49). Найти
ЭДС индукции i x как функцию расстояния x
между перемычкой и проводником. Проводник
Рис. 49
61

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *