Эквивалентность — Введение в математическую логику
У современной математики есть собственный формальный язык. С его помощью мы сводим сложные высказывания к формальностям — то есть переводим рассуждения и мысли в плоскость математики. Так мы лучше понимаем мысли других людей, точнее высказываем свои рассуждения и учимся рассуждать логически.
В этом уроке мы продолжим изучать формальный язык логики высказываний. Мы разберем отношения эквивалентности и научимся определять высказывания, которые равнозначны по смыслу. Так мы сможем экономить время и заранее понимать, какие высказывания можно посчитать истинными или ложными без дополнительных рассуждений.
Логическая эквивалентность
Возьмем для примера такое предложение:
Если Вася получит прибавку к зарплате, то он пойдет в театр
С точки зрения логики в этом высказывании есть и такой смысл:
Если Вася не пошел в театр, значит он не получил прибавку к зарплате
Эти высказывания логически эквивалентны — одно можно заменить на другое без потери смысла. В этом и заключается логическая эквивалентность — два выражения считаются эквивалентными, если они имеют одинаковое истинностное значение во всех случаях.
Как эквивалентность помогает доказывать
Основная польза эквивалентности в том, что она помогает доказывать математические результаты. Допустим, мы знаем, что
. Попробуем это доказать.
Можно заменить выражение
на другое эквивалентное выражение
, которое также будет равно
Как видите, значение составной пропозиции не изменилось. Значит, эквивалентность помогла нам доказать первоначальное высказывание —
Как эквивалентность помогает рассуждать
Кроме доказательств, эквивалентность используется и в рассуждениях. Она помогает осмыслить предложение и отнести его к одной из трех категорий в таблице истинности.
Таблица истинности — это разбиение логической функции путем перечисления всех возможных значений, которые может принимать функция. Такая таблица обычно содержит несколько строк и столбцов. В верхней строке представлены логические переменные и комбинации, которые по возрастанию сложности приводят к конечной функции.
В логической функции есть три основные операции:
- НЕ (Инверсия или отрицание, обозначается как ¬)
- ИЛИ (Дизъюнкция или сложение, обозначается как )
- И (Конъюнкция или умножение, обозначается как )
Значениям функций обычно присваивается логический ноль (ложь) или логическая единица (истина).
Таблица истинности выглядит так:
Как определить эквивалент вещества?
Эквивалентная масса (молярная масса эквивалента вещества) mэкв также является одной из важнейших характеристик вещества. По определению эквивалент вещества — это такое количество химического вещества, которая реагирует с 1 г водорода или вытесняет такое же количество водорода из его соединений. Величина mэкв определяется или экспериментально, или, чаще всего, исходя из химической формулы вещества и его принадлежности к тому или иному классу химических соединений (мы будем рассматривать только неорганические соединения)
mэкв (оксида) = Моксида/(число атомов кислорода·2);
mэкв (основания) = Моснования/кислотность основания;
mэкв (кислоты) = Мкислоты/основность кислоты;
mэкв (соли) = Мсоли/(число атомов металла·валентность металла) .
Можно отметить, что в большинстве случаев кислотность основания равна числу гидроксильных групп в формуле основания, а основность кислоты равна числу атомов водорода в формуле кислоты.
Например: mэкв (Fe2O3) = М (Fe2O3)/(3·2) = 160/6 = 26,7 г/моль;
mэкв (H2SO4) = M(H2SO4)/2 = 98/2 = 49 г/моль;
mэкв (Ca(OH)2) = M(Ca(OH)2)/2 = 74/2 = 37 г/моль;
mэкв (Al2(SO4)3) = M(Al2(SO4)3) = 342/2 = 171 г/моль;
Эквивалентные массы веществ используют для количественных расчетов при химических взаимодействиях между веществами. Огромным преимуществом при этом является то, что для этого не нужно использовать уравнение химической реакции (которое во многих случаях написать затруднительно) , нужно только знать, что данные химические вещества взаимодействуют между собой или вещество является продуктом химической реакции.
Для количественных расчетов используется закон эквивалентов: массы реагирующих и образующихся веществ относятся друг к другу, как их эквивалентные массы.
Математическое выражение закона эквивалентов имеет следующий вид:
m1/m2 = mэкв (1)/mэкв (2)(1.2)
где: m 1 и m 2 — массы реагирующих или образующихся веществ,
mэкв (1) и mэкв (2) — эквивалентные массы этих веществ.
Пример: определить массу соды (карбоната натрия) Na2CO3, необходимую для полной нейтрализации 1,96 кг серной кислоты H2SO4.
Решение:
Воспользуемся законом эквивалентов
m(Na2CO3)/m(H2SO4) = mэкв (Na2CO3)/mэкв ( H2SO4)
Определяем эквивалентные массы веществ, исходя из их химических формул:
m (Na2CO3) = 106 /(2·1) = 53 г/моль;
mэкв (H2SO4) = 98/2·1 = 49 г/моль.
Тогда:
Х / 1,96кг = 53 г/моль / 49 г/моль
Х = 2,12 кг.
Источник: [ссылка появится после проверки модератором]
Остальные ответы
смотря какого . для щелочей кислот и оснований разные формулы
Для щёлочи молярная масса поделить на количество ОН, для кислоты — она же на количество Н, для соли — она же делить на произведение кол-ва атомов металла и валентоности этого металла.
Похожие вопросы
Эквивалент как проверить
Эквивалент – это реальная или условная частица, которая в кислотно-основных реакциях присоединяет (или отдает) один ион Н + или ОН – , в окислительно-восстановительных реакциях принимает (или отдает) один электрон, реагирует с одним атомом водорода или с одним эквивалентом другого вещества. Например, рассмотрим следующую реакцию:
В ходе этой реакции только два атома водорода замещаются на атомы калия, иначе, в реакцию вступают два иона Н + (кислота проявляет основность 2). Тогда по определению эквивалентом H 3 PO 4 будет являться условная частица 1/2 H 3 PO 4, т.к. если одна молекула H 3 PO 4 предоставляет два иона Н + , то один ион Н + дает половина молекулы H 3 PO 4.
С другой стороны, на реакцию с одной молекулой ортофосфорной кислотой щелочь отдает два иона ОН – , следовательно, один ион ОН – потребуется на взаимодействие с 1/2 молекулы кислоты. Эквивалентом кислоты является условная частица 1/2Н3РО4, а эквивалентом щелочи частица КОН.
Число, показывающее, какая часть молекулы или другой частицы вещества соответствует эквиваленту, называется фактором эквивалентности ( f Э). Фактор эквивалентности – это безразмерная величина, которая меньше, либо равна 1. Формулы расчета фактора эквивалентности приведены в таблице 1.1.
Таким образом, сочетая фактор эквивалентности и формульную единицу вещества, можно составить формулу эквивалента какой-либо частицы, где фактор эквивалентности записывается как химический коэффициент перед формулой частицы:
В примере, рассмотренном выше, фактор эквивалентности для кислоты, соответственно, равен 1/2, а для щелочи КОН равен 1.
Между H 3 PO 4 и КОН также могут происходить и другие реакции. При этом кислота будет иметь разные значения фактора эквивалентности:
Следует учитывать, что эквивалент одного и того же вещества может меняться в зависимости от того, в какую реакцию оно вступает. Эквивалент элемента также может быть различным в зависимости от вида соединения, в состав которого он входит. Эквивалентом может являться как сама молекула или какая-либо другая формульная единица вещества, так и ее часть.
Таблица 1.1 – Расчет фактора эквивалентности
Эквивалент как проверить
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЛЯРНОЙ МАССЫ
ЭКВИВАЛЕНТОВ МЕТАЛЛОВ
Цель работы – ознакомление с понятием эквивалент вещества и методикой расчета молярной массы эквивалентов по закону эквивалентов.
1.ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ
Моль эквивалентов вещества (эквивалент) — это такое его количество, которое взаимодействует с одним молем атомов водорода или замещает то же количество атомов водорода в химических реакциях. Моль эквивалентов водорода равен одному 1 моль.
Чтобы определить эквивалент вещества надо исходить из конкретной реакции, в которой участвует данное вещество.
Одному молю атомов водорода соответствует ½ моля магния, ½ моля MgSO 4 и ½ H 2 SO 4 .
Э ( Mg ) = ½ моля, Э ( MgSO 4 ) = ½ моля, Э( H 2 SO 4 ) = ½ моля.
Э ( NaOH ) = 1 моль , Э (Na2SO4) = ½ моля .
Э ( О2) = ¼ моля, Э(Н2О) = ½ моля.
Массу 1 моля эквивалентов называют молярной массой эквивалентов (эквивалентная масса МЭ). Исходя из понятия моля эквивалентов и эквивалентной массы, для расчета молярной массы эквивалентов вещества можно использовать формулы:
для простого вещества
Для сложного вещества
М А— атомная масса элемента
М – молярная масса вещества
В — валентность элемента или функциональной группы
n — количество функциональных групп.
Для оснований функциональной является гидроксогруппа (ОН‾), для кислот ион водорода (Н + ), для солей ион металла.
Рассчитать молярную массу эквивалентов сульфата алюминия.
Для газообразных веществ удобнее пользоваться понятием объем моля эквивалентов (эквивалентный объем). Согласно закону Авогадро моль любого газа при нормальных условиях занимает объем 22,4 литра (молярный объем, V М ). Исходя из этого можно рассчитать эквивалентный объем любого газа ( V Э ). Например V Э (Н 2 )=11,2 л, V Э (О2)=5,6 л.
Все вещества реагируют друг с другом в эквивалентных количествах в соответствии с законом эквивалентов:
Массы (объемы), участвующих в реакции веществ, пропорциональны их эквивалентным массам (эквивалентным объемам).
Из закона эквивалентов следует, что число молей эквивалентов участвующих в реакции веществ одинаковы.
Эквивалент вещества может измениться в зависимости от условий реакций.
1 экв . 1 экв . 1 экв . 1 экв .
МЭ ( NaOH ) = М ( NaOH ) = 40 г / моль
2 экв . 2 экв . 2 экв . 2 экв .
1 экв . 1 экв . 1 экв . 1 экв
2 экв . 2 экв . 2 экв . 2 экв
Молярная масса эквивалентов металла равна 56 г/моль. Какой объем кислорода (н.у.) образуется при разложении 1,28 г оксида этого металла.
Согласно закону эквивалентов:
Оксид металла это соединение металла с кислородом, поэтому молярная масса эквивалентов оксида представляет собой сумму:
М Э( оксида) = МЭ(металла) + МЭ(О2) = 56 + 8 = 64 г/моль
2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Приборы и реактивы: прибор для измерения объема водорода, кислота соляная ( W = 20%), цинк гранулированный.
Сущность опыта заключается в определении объема водорода, выделившегося при взаимодействии цинка с кислотой и расчете эквивалентной массы цинка по закону эквивалентов.
Описание работы:
Определение эквивалентной массы цинка по объему вытесненного водорода осуществляется на лабораторной установке (рис.1).
Установка состоит из двух бюреток: рабочей измерительной Б 1 и уравнительной Б2, соединенных резиновой трубкой Т и заполненных подкрашенной водой. К рабочей бюретке при помощи газоотводной трубки Г присоединена пробирка П.
Перед началом выполнения опыта необходимо проверить герметичность установки. Для этого пробирку плотно надеть на пробку газоотводной трубки, после чего уравнительную бюретку поднять или опустить на 15-20 см, закрепить ее в этом положении лапками штатива и наблюдать в течение 1-2 минут за положением в ней уровня жидкости. Если за это время уровень воды не изменится, это будет означать, что прибор герметичен, и можно приступать к выполнению работы.
Для удобства отсчета объема выделившегося водорода перед началом работы жидкость в измерительной бюретке установить на нулевую отметку (по нижнему мениску).
В пробирку П налить 5-6 мл 20% -ой соляной или серной кислоты, опустить в пробирку навеску металла и быстро надеть пробирку на пробку с газоотводной трубкой, не нарушая герметичности прибора.
Когда весь металл растворится и прекратится выделение водорода, дать пробирке остыть 1-2 минуты, и не снимая пробирки, привести положение жидкости в измерительной и уравнительной бюретке к одному уровню, для чего уравнительную бюретку опустить вниз. Отметить объем выделившегося водорода в мл в измерительной бюретке от нулевой отметки до уровня жидкости (по нижнему мениску).
Рис.1. Лабораторная установка для определения эквивалентной массы металла
1. Навеска металла m , кг
2. Объем выделившегося водорода V , л
3. Температура t , 0 С
4. Абсолютная температура Т , К
5. Атмосферное давление Р , кПа
6. Давление насыщенного водяного пара при данной температуре (РН 2 O ), кПа (см. таблицу 1).
7. Парциальное давление водорода, РН 2 = Р — РН 2 О, кПа
Расчет эквивалентной массы
1. Привести объем выделившегося водорода V к нормальным условиям V o , применив уравнение объединенного газового закона:
где ТО— абсолютная температура, 273 К
Р О— давление при нормальных условиях, 101325 Па.
2. По закону эквивалентов рассчитать эквивалентную массу металла Э.
где М э — эквивалентная масса металла, кг/моль
m – масса навески металла, кг
V эо — эквивалентный объем водорода, л
Vо – объем водорода, приведенный к нормальным условиям, л
3. Рассчитать относительную погрешность опыта:
где Этеор .- теоретическое значение эквивалентной массы металла,
М А— атомная масса металла
В – валентность металла.
Давление насыщенного водяного пара.