Как вычислить радиус кривизны траектории
1.1.8. Движение точки по окружности
Рейтинг: 0
Понятие о кривизне траектории
Если материальная точка движется по криволинейной траектории, то отличие этой траектории от прямолинейной траектории характеризуется радиусом кривизны, или кривизной траектории.
На рис. 1.8 Δφ – угол между касательными в точках, отстоящих друг от друга на расстоянии ΔS.
Кривизна траектории характеризует скорость поворота касательной при движении.
Радиус кривизны траектории в данной точке есть величина, обратная кривизне:
Радиус кривизны траектории в данной точке – это радиус окружности, которая сливается на бесконечно малом участке в данном месте с кривой (рис. 1.8).
Задача 3: найти радиус кривизны траектории брошенного тела
С башни брошено тело в горизонтальном направлении со скоростью 15 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить радиус кривизны траектории тела через 2 с после начала движения.
Эта задача была размещена посетителями в разделе Решаем вместе 9 октября 2007 года.
Радиус кривизны траектории — это радиус окружности R, по которой в этот момент движется тело.
После вычислений R = 104,2 м.
Ответ: радиус кривизны через 2 с составляет 104,2 м.
- задачи с решениями
- кинематика
- механика
- равноускоренное движение
- свободное падение
- криволинейное движение
- Войдите или зарегистрируйтесь, чтобы отправлять комментарии
Найти радиус кривизны траектории
Камень брошен горизонтально со скоростью vx = 10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t = 3 с после начала движения.
ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- радиус дуги окружности, наиболее точно соответствующей форме закругления рассматриваемого элемента
- векторная физическая величина, которая служит для количественной оценки направления и быстроты движения тела, она равняется отношению перемещения ∆r тела к интервалу времени ∆t, за которое произошло это перемещение: \(v=\frac < \Delta r >< \Delta t >\)
- непрерывная линия, которую описывает точка при своём движении
- скалярная, непрерывно изменяющаяся величина, равна отношению пройденного пути к скорости движения. Единица измерения: секунда, t=[c]
Дополнительные материалы
Для данной задачи нет дополнительных материалов
Похожие задачи
С какой скоростью был брошен камень
Камень, брошенный горизонтально, через время t = 0,5 с после начала движения имел скорость v, в 1,5 раза большую скорости vx в момент бросания. С какой скоростью vx был брошен камень?
На какое расстояние полетит такое же ядро
На спортивных состязаниях в Ленинграде спортсмен толкнул ядро на расстояние l1 = 16,2 м. На какое расстояние l2 полетит такое же ядро в Ташкенте при той же начальной скорости и при том же угле наклона ее к горизонту?
Определение радиуса кривизны траектории точки
В том случае, когда движение задано координатным способом, радиус кривизны траектории определяется следующим образом: по формулам координатного способа задания движения (1.1) определяются скорость и полное ускорение точки: 
; по формулам траекторного способа задания движения (1.2) определяются нормальное и касательное ускорения: 
, 
и далее радиус кривизны траектории по формуле (1.3): 
. (1.4)
Порядок выполнения задания
Движение точки задано кинематическими уравнениями в соответствии с номером варианта задачи (см. таблицу «Исходные данные» с. 10-14). 1. Определить траекторию точки и изобразить ее на чертеже. Указать на ней положение точки в заданные моменты времени, обозначив их М0 и М1 (М0 – в момент времени t = 0; М1 в момент t = t1). 2. Определить алгебраические величины проекций скорости точки в общем виде, а затем для момента времена t = t1. По найденным алгебраическим величинам проекций скорости построить вектор на чертеже и вычислить его величину. 3. Определить алгебраические величины проекций ускорений точки на оси координат в общем виде, а затем для момента времени t = t1. Построить вектор ускорения на чертеже и вычислить его величину. 4. Для определения касательного ускорения необходимо иметь проекцию вектора скорости точки на касательную в виде функции времени: 
, тогда касательное ускорение точки опреде-ляется по формуле
. Определить
для момента време-ни t = t1 и построить этот вектор на чертеже. 5. Установить характер движения точки в момент времени t = t1 (по направлениям векторов 
и
). Если векторы сонаправлены, то движение точки ускоренное, если они противоположны по направлению, то – замедленное. 6. Нормальное ускорение точки в момент времени определяется из равенства 
, в котором каждый из векторов 
и
вычислен в этот момент времени. Вектор
построить на чертеже. 7. Радиус кривизны траектории точки в момент времени t = t1 определить по формуле (1.4).
Исходные данные
| № вар. | x =x(t) | y =y(t) | z =z(t) | t1, с |
| м | ||||
| 1 |  |  | 0 |  |
| 0 |  |  |  | |
 | 0 |  |  | |
| 2 |  |  | 0 | 1 |
 | 0 |  |  | |
| 0 |  |  |  | |
| № вар. | x = x(t) | y = y(t) | z = z(t) | t1, с |
| м | ||||
| 3 |  |  | 0 | 0 |
 |  | 0 |  | |
| 0 |  |  |  | |
| 4 | 0 |  |  |  |
 | 0 |  | 1 | |
| 0 |  |  |  | |
| 5 |  |  | 2 | 1 |
 | 0 |  |  | |
| 2 |  |  |  | |
| 6 |  |  | 3 |  |
 | 0 |  |  | |
 |  | 6 | 1 | |
| 7 |  |  | 0 |  |
 | 0 |  | 1 | |
| 0 |  |  |  | |
| № вар. | x =x(t) | y =y(t) | z =z(t) | t1, с |
| м | ||||
| 8 | 0 |  |  |  |
 |  | 0 | 1 | |
 | 0 |  |  | |
| 9 |  |  | 0 |  |
 | 0 |  |  | |
| 0 |  |  |  | |
| 10 |  |  | 0 |  |
 | 0 |  |  | |
 |  | 0 |  | |
| 11 | 0 |  |  |  |
 | 0 |  |  | |
 |  | 0 |  | |
| 12 |  | 0 |  | 1 |
 |  | 0 | 1 | |
 | 0 |  |  | |
| № вар. | x =x(t) | y =y(t) | z =z(t) | t1, с |
| м | ||||
| 13 |  |  | 0 |  |
| 0 |  |  | 1 | |
 | 0 |  |  | |
| 14 |  | 0 |  |  |
| 0 |  |  |  | |
 |  | 0 |  | |
| 15 |  |  | 0 | 1 |
 | 0 |  | 2 | |
| 0 |  |  |  | |
| 16 | 0 |  |  |  |
 | 0 |  |  | |
 |  | 0 |  | |
| 17 |  |  | 0 | 20 |
| 0 |  |  |  | |
| t | 0 |  | 1 | |
| 18 |  |  | 0 |  |
 | 0 |  |  | |
| 0 |  |  | 1 | |
| № вар. | x =x(t) | y =y(t) | z =z(t) | t1, с |
| м | ||||
| 19 | 0 |  |  |  |
 |  | 0 |  | |
 | 0 |  |  | |
| 20 |  |  | 0 |  |
 | 0 |  | 1 | |
| 0 |  |  | 1 | |
П р и м е р. Движение точки задано кинематическими урав-нениями: 
;
;
;
, гдеx и y в м, а t в с. 1. Определить траекторию точки и построить её на чертеже. Указать на ней положения точки в заданные моменты времени, обозначить их 
и
(
– в момент времени
;
– в момент
с) pис. 1.4. Исключив параметр 
из уравнений, получим 
. Так как 
, то
это уравнение окруж-ности с радиусом 
. При 
Рис. 1.4 При 
с,
а (м), 
, 
. 
;
, так как
. 2. Для момента времени 
определить и построить на чертеже: скорость точки 
: 
, 
(м/с), 
(м/с), 
, 
модуль вектора скорости. Направляющие косинусы вектора скорости: 
, 
, 
. ускорение точки 
: 
, 
. Модуль вектора ускорения точки 
: 
. Направляющие косинусы вектора ускорения точки: 
, 
, 
. 3. Определить касательное и нормальное ускорения точки 
, 
постоянные величины; 
, 
. Полное ускорение точки 
равно нормальному ускорению, так как скорость по величине постоянна:
. 4. Определить характер движения точки: точка 
движется по окружности равномерно! 5. Определить радиус кривизны траектории точки в момент 
: 
нормальное ускорение; отсюда 
радиус окружности траектории точки 
.