Как высчитать вектор из матрицы

Собственные числа матрицы линейного оператора

Собственный вектор оператора A — ненулевой вектор X , переводящий X в коллинеарный ему вектор, то есть AX = λX . где λ — собственное значение или собственное число оператора A .

• Шаг №1
• Шаг №2
• Видеоинструкция
• Оформление Word

Инструкция . Выберите размерность матрицы. Полученное решение сохраняется в файле Word .

Пример . Исходная матрица имеет вид:

Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(17 — λ)x₁ + 6x₂ = 0
6x₁ + (8 — λ)x₂ = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его:

λ 2 -25 λ + 100 = 0
D = (-25) 2 — 4 • 1 • 100 = 225

-3x₁ + 6y₁ = 0
6x₁-12y₁ = 0
или
-3x₁ + 6y₁ = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ₁ = 20 при x₁ = 2: x ₁ = (2,1)
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:

где — длина вектора x₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ₂ = 5, находим из системы:
12x₁ + 6y₁ = 0
6x₁ + 3y₁ = 0
или
12x₁ + 6y₁ = 0

• Задать вопрос или оставить комментарий
• Помощь в решении
• Поиск
• Поддержать проект

Как считать матрицу из файла в двумерный вектор?

Люди, помогите, пожалуйста! Есть двумерный вектор, описанный в классе. Привел только 2 метода из всех, лишние не стал писать. Сохранение матрицы в файл работает, а вот пытался сделать таким же образом загрузку матрицы из файла в программу — не работает! В файле матрица — неизвестного размера, но всегда прямоугольная.

typedef vector>::iterator matrix_iterator; class Matrix < public: vector>v; Matrix(); void SaveMatrix(int err); void LoadMatrix(); >; // если err=0 матрица не записывается, // err используется, чтоб не было бесконечной рекурсии void Matrix::SaveMatrix(int err) < if (!FileExists(FNAME_MATRIX) || err != 0) < ofstream ofst(FNAME_MATRIX); for (matrix_iterator it = v.begin(); it != v.end(); ++it) < copy(it->begin(), it->end(), ostream_iterator (ofst, " ")); ofst cout else < char ch; cout >ch; if (ch == '+') SaveMatrix(1); else cout > void Matrix::LoadMatrix() < ifstream ifst(FNAME_MATRIX); while (!ifst.eof()) < int temp; ifst>>temp; matrix_iterator iterlvl2; vector::iterator iterlvl1; for (iterlvl2 = v.begin(); iterlvl2 != v.end(); iterlvl2++) < iterlvl1 = (*iterlvl2).begin(); (*iterlvl2).push_back(temp); >> > 

Отслеживать

51.2k 86 86 золотых знаков 266 266 серебряных знаков 505 505 бронзовых знаков

NumPy: матрицы и операции над ними

В этом ноутбуке из сторонних библиотек нам понадобится только NumPy. Для удобства импортируем ее под более коротким именем:

import numpy as np 

1. Создание матриц

Приведем несколько способов создания матриц в NumPy.

Самый простой способ — с помощью функции numpy.array(list, dtype=None, . ).

В качестве первого аргумента ей надо передать итерируемый объект, элементами которого являются другие итерируемые объекты одинаковой длины и содержащие данные одинакового типа.

Второй аргумент является опциональным и определяет тип данных матрицы. Его можно не задавать, тогда тип данных будет определен из типа элементов первого аргумента. При задании этого параметра будет произведена попытка приведения типов.

Например, матрицу из списка списков целых чисел можно создать следующим образом:

a = np.array([1, 2, 3]) # Создаем одномерный массив print(type(a)) # Prints "" print(a.shape) # Prints "(3,)" - кортеж с размерностями print(a[0], a[1], a[2]) # Prints "1 2 3" a[0] = 5 # Изменяем значение элемента массива print(a) # Prints "[5, 2, 3]" b = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]) # Создаем двухмерный массив print(b.shape) # Prints "(2, 3)" print(b[0, 0], b[0, 1], b[1, 0]) # Prints "1 2 4" print(np.arange(1, 5)) #Cоздает вектор с эелементами от 1 до 4 

 (3,) 1 2 3 [5 2 3] (2, 3) 1 2 4 [1 2 3 4]

matrix = np.array([[1, 2, 3], [2, 5, 6], [6, 7, 4]]) print ("Матрица:\n", matrix) 

Матрица: [[1 2 3] [2 5 6] [6 7 4]]

Второй способ создания — с помощью встроенных функций numpy.eye(N, M=None, . ), numpy.zeros(shape, . ), numpy.ones(shape, . ).

Первая функция создает единичную матрицу размера N×M ; если M не задан, то M = N .

Вторая и третья функции создают матрицы, состоящие целиком из нулей или единиц соответственно. В качестве первого аргумента необходимо задать размерность массива — кортеж целых чисел. В двумерном случае это набор из двух чисел: количество строк и столбцов матрицы.

Примеры:

b = np.eye(5) print ("Единичная матрица:\n", b) 

Единичная матрица: [[1. 0. 0. 0. 0.] [0. 1. 0. 0. 0.] [0. 0. 1. 0. 0.] [0. 0. 0. 1. 0.] [0. 0. 0. 0. 1.]]

c = np.ones((7, 5)) print ("Матрица, состоящая из одних единиц:\n", c) 

Матрица, состоящая из одних единиц: [[1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.] [1. 1. 1. 1. 1.]]

d = np.full((2,2), 7) # Создает матрицу (1, 2) заполненую заданным значением print(d) # Prints "[[ 7. 7.] # [ 7. 7.]]" e = np.random.random((2,2)) # Создает еденичную матрицу (2, 2) заполненую случаными числами (0, 1) print(e) # Might print "[[ 0.91940167 0.08143941] # [ 0.68744134 0.87236687]]" 

[[7 7] [7 7]] [[0.25744383 0.48056466] [0.13767881 0.40578168]]

Обратите внимание: размерность массива задается не двумя аргументами функции, а одним — кортежем!

Вот так — np.ones(7, 5) — создать массив не получится, так как функции в качестве параметра shape передается 7, а не кортеж (7, 5).

И, наконец, третий способ — с помощью функции numpy.arange([start, ]stop, [step, ], . ), которая создает одномерный массив последовательных чисел из промежутка [start, stop) с заданным шагом step, и метода array.reshape(shape).

Параметр shape, как и в предыдущем примере, задает размерность матрицы (кортеж чисел). Логика работы метода ясна из следующего примера:

v = np.arange(0, 24, 2) print ("Вектор-столбец:\n", v) 

Вектор-столбец: [ 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22]

d = v.reshape((3, 4)) print ("Матрица:\n", d) 

Матрица: [[ 0 2 4 6] [ 8 10 12 14] [16 18 20 22]]

Более подробно о том, как создавать массивы в NumPy, см. документацию.

2. Индексирование

Для получения элементов матрицы можно использовать несколько способов. Рассмотрим самые простые из них.

Для удобства напомним, как выглядит матрица d:

print ("Матрица:\n", d) 

Матрица: [[ 0 2 4 6] [ 8 10 12 14] [16 18 20 22]]

Элемент на пересечении строки i и столбца j можно получить с помощью выражения array[i, j].

Обратите внимание: строки и столбцы нумеруются с нуля!

print ("Второй элемент третьей строки матрицы:", d[2, 1]) 

Второй элемент третьей строки матрицы: 18

Из матрицы можно получать целые строки или столбцы с помощью выражений array[i, :] или array[:, j] соответственно:

print ("Вторая строка матрицы d:\n", d[1, :]) print ("Четвертый столбец матрицы d:\n", d[:, 3]) 

Вторая строка матрицы d: [ 8 10 12 14] Четвертый столбец матрицы d: [ 6 14 22]

Еще один способ получения элементов — с помощью выражения array[list1, list2], где list1, list2 — некоторые списки целых чисел. При такой адресации одновременно просматриваются оба списка и возвращаются элементы матрицы с соответствующими координатами. Следующий пример более понятно объясняет механизм работы такого индексирования:

print ("Элементы матрицы d с координатами (1, 2) и (0, 3):\n", d[[1, 0], [2, 3]]) 

Элементы матрицы d с координатами (1, 2) и (0, 3): [12 6]

# Slicing # Создадим матрицу (3, 4) # [[ 1 2 3 4] # [ 5 6 7 8] # [ 9 10 11 12]] a = np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,10,11,12]]) # Используя слайсинг, созадим матрицу b из элементов матрицы а # будем использовать 0 и 1 строку, а так же 1 и 2 столебц # [[2 3] # [6 7]] b = a[:2, 1:3] print(b) # ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ НА ИЗМЕНЕНИЕ ИСХОДОЙ МАТРИЦЫ print(a[0, 1]) # Prints "2" b[0, 0] = 77 # b[0, 0] is the same piece of data as a[0, 1] print(a[0, 1]) # Prints "77" 

[[2 3] [6 7]] 2 77

# Integer array indexing a = np.array([[1,2], [3, 4], [5, 6]]) print(a) print() # Пример Integer array indexing # В результате получится массив размерности (3,) # Обратите внимание, что до запятой идут индексы строк, после - столбцов print(a[[0, 1, 2], [0, 1, 0]]) # Prints "[1 4 5]" print() # По-другому пример можно записать так print(np.array([a[0, 0], a[1, 1], a[2, 0]])) # Prints "[1 4 5]" 

[[1 2] [3 4] [5 6]] [1 4 5] [1 4 5]

Примеры использования слайсинга:

# Создадим новый маассив, из которого будем выбирать эллементы a = np.array([[1,2,3], [4,5,6], [7,8,9], [10, 11, 12]]) print(a) # prints "array([[ 1, 2, 3], # [ 4, 5, 6], # [ 7, 8, 9], # [10, 11, 12]])" # Создадим массив индексов b = np.array([0, 2, 0, 1]) # Выберем из каждой строки элемент с индексом из b (индекс столбца берется из b) print(a[np.arange(4), b]) # Prints "[ 1 6 7 11]" print() # Добавим к этим элементам 10 a[np.arange(4), b] += 10 print(a) # prints "array([[11, 2, 3], # [ 4, 5, 16], # [17, 8, 9], # [10, 21, 12]]) 

[[ 1 2 3] [ 4 5 6] [ 7 8 9] [10 11 12]] [ 1 6 7 11] [[11 2 3] [ 4 5 16] [17 8 9] [10 21 12]]

a = np.array([[1,2], [3, 4], [5, 6]]) bool_idx = (a > 2) # Найдем эллементы матрицы a, которые больше 2 # В результате получим матрицу b, такой же размерности, как и a print(bool_idx) # Prints "[[False False] print() # [ True True] # [ True True]]" # Воспользуемся полученным массивом для создания нового массива, ранга 1 print(a[bool_idx]) # Prints "[3 4 5 6]" # Аналогично print(a[a > 2]) # Prints "[3 4 5 6]" 

[[False False] [ True True] [ True True]] [3 4 5 6] [3 4 5 6]

#Помните, что вы можете пользоваться сразу несколькими типами индексирования a = np.array([[1,2,3,4], [5,6,7,8], [9,10,11,12]]) row_r1 = a[1, :] row_r2 = a[1:2, :] print(row_r1, row_r1.shape) # Prints "[5 6 7 8] (4,)" print(row_r2, row_r2.shape) # Prints "[[5 6 7 8]] (1, 4)" 

[5 6 7 8] (4,) [[5 6 7 8]] (1, 4)

Более подробно о различных способах индексирования в массивах см. документацию.

3. Векторы, вектор-строки и вектор-столбцы

Следующие два способа задания массива кажутся одинаковыми:

a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([[1], [2], [3]]) 

Однако, на самом деле, это задание одномерного массива (то есть вектора) и двумерного массива:

print ("Вектор:\n", a) print ("Его размерность:\n", a.shape) print ("Двумерный массив:\n", b) print ("Его размерность:\n", b.shape) 

Вектор: [1 2 3] Его размерность: (3,) Двумерный массив: [[1] [2] [3]] Его размерность: (3, 1)

Обратите внимание: вектор (одномерный массив) и вектор-столбец или вектор-строка (двумерные массивы) являются различными объектами в NumPy, хотя математически задают один и тот же объект. В случае одномерного массива кортеж shape состоит из одного числа и имеет вид (n,), где n — длина вектора. В случае двумерных векторов в shape присутствует еще одна размерность, равная единице.

В большинстве случаев неважно, какое представление использовать, потому что часто срабатывает приведение типов. Но некоторые операции не работают для одномерных массивов. Например, транспонирование (о нем пойдет речь ниже):

a = a.T b = b.T 

print ("Вектор не изменился:\n", a) print ("Его размерность также не изменилась:\n", a.shape) print ("Транспонированный двумерный массив:\n", b) print ("Его размерность изменилась:\n", b.shape) 

Вектор не изменился: [1 2 3] Его размерность также не изменилась: (3,) Транспонированный двумерный массив: [[1 2 3]] Его размерность изменилась: (1, 3)

4. Datatypes

Все элементы в массиве numpy принадлежат одному типу. В этом плане массивы ближе к C, чем к привычным вам листам питона. Numpy имеет множество встренных типов, подходящих для решения большинства задач.

x = np.array([1, 2]) # Автоматический выбор типа print(x.dtype) # Prints "int64" x = np.array([1.0, 2.0]) # Автоматический выбор типа print(x.dtype) # Prints "float64" x = np.array([1, 2], dtype=np.int64) # Принудительное выставление типа print(x.dtype) # Prints "int64" 

int32 float64 int64

5. Математические операции

К массивам (матрицам) можно применять известные вам математические операции. Следут понимать, что при этом у элементов должны быть схожие размерности. Поведение в случае не совпадения размерностей хорошо описанно в документации numpy.

x = np.array([[1,2],[3,4]], dtype=np.float64) y = np.array([[5,6],[7,8]], dtype=np.float64) arr = np.array([1, 2]) 

# Сложение происходит поэлеметно # [[ 6.0 8.0] # [10.0 12.0]] print(x + y) print() print(np.add(x, y)) print('С числом') print(x + 1) print('C массивом другой размерности') print(x + arr) 

[[ 6. 8.] [10. 12.]] [[ 6. 8.] [10. 12.]] С числом [[2. 3.] [4. 5.]] C массивом другой размерности [[2. 4.] [4. 6.]]

# Вычитание print(x - y) print(np.subtract(x, y)) 

[[-4. -4.] [-4. -4.]] [[-4. -4.] [-4. -4.]]

# Деление # [[ 0.2 0.33333333] # [ 0.42857143 0.5 ]] print(x / y) print(np.divide(x, y)) 

[[0.2 0.33333333] [0.42857143 0.5 ]] [[0.2 0.33333333] [0.42857143 0.5 ]]

# Другие функции # [[ 1. 1.41421356] # [ 1.73205081 2. ]] print(np.sqrt(x)) 

[[1. 1.41421356] [1.73205081 2. ]]

6. Умножение матриц и столбцов

Напоминание теории. Операция умножения определена для двух матриц, таких что число столбцов первой равно числу строк второй.

Пусть матрицы A и B таковы, что A ∈ ℝ n×k и B ∈ ℝ k×m . Произведением матриц A и B называется матрица C , такая что c_ij = ∑ k _{r = 1} a_irb_rj , где c_ij — элемент матрицы C , стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j .

В NumPy произведение матриц вычисляется с помощью функции numpy.dot(a, b, . ) или с помощью метода array1.dot(array2), где array1 и array2 — перемножаемые матрицы.

a = np.array([[1, 0], [0, 1]]) b = np.array([[4, 1], [2, 2]]) r1 = np.dot(a, b) r2 = a.dot(b) 

print ("Матрица A:\n", a) print ("Матрица B:\n", b) print ("Результат умножения функцией:\n", r1) print ("Результат умножения методом:\n", r2) 

Матрица A: [[1 0] [0 1]] Матрица B: [[4 1] [2 2]] Результат умножения функцией: [[4 1] [2 2]] Результат умножения методом: [[4 1] [2 2]]

Матрицы в NumPy можно умножать и на векторы:

c = np.array([1, 2]) r3 = b.dot(c) 

print ("Матрица:\n", b) print ("Вектор:\n", c) print ("Результат умножения:\n", r3) 

Матрица: [[4 1] [2 2]] Вектор: [1 2] Результат умножения: [6 6]

Обратите внимание: операция * производит над матрицами покоординатное умножение, а не матричное!

r = a * b 

print ("Матрица A:\n", a) print ("Матрица B:\n", b) print ("Результат покоординатного умножения через операцию умножения:\n", r) 

Матрица A: [[1 0] [0 1]] Матрица B: [[4 1] [2 2]] Результат покоординатного умножения через операцию умножения: [[4 0] [0 2]]

Более подробно о матричном умножении в NumPy см. документацию.

7. Объединение массивов

Массивы можно Объединенять. Есть горизонтальное и вертикальное объединение.

a = np.floor(10*np.random.random((2,2))) b = np.floor(10*np.random.random((2,2))) print(a) print(b) print() print(np.vstack((a,b))) print() print(np.hstack((a,b))) 

[[4. 0.] [1. 4.]] [[9. 7.] [2. 6.]] [[4. 0.] [1. 4.] [9. 7.] [2. 6.]] [[4. 0. 9. 7.] [1. 4. 2. 6.]]

Массивы можно переформировать при помощи метода, который задает новый многомерный массив. Следуя следующему примеру, мы переформатируем одномерный массив из десяти элементов во двумерный массив, состоящий из пяти строк и двух столбцов:

a = np.array(range(10), float) print(a) print() # Превратим в матрицу a = a.reshape((5, 2)) print(a) print() # Вернем обратно print(a.flatten()) # Другой вариант print(a.reshape((-1))) # Превратим в марицу (9, 1) print(a.reshape((-1, 1))) # Превратим в марицу (1, 9) print(a.reshape((1, -1))) 

[0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.] [[0. 1.] [2. 3.] [4. 5.] [6. 7.] [8. 9.]] [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.] [0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.] [[0.] [1.] [2.] [3.] [4.] [5.] [6.] [7.] [8.] [9.]] [[0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.]]

Задания: (Блок 1)

Задание 1:

Решите без использования циклов средставми NumPy (каждый пункт решается в 1-2 строчки)

1. Создайте вектор с элементами от 12 до 42
2. Создайте вектор из нулей длины 12, но его пятый елемент должен быть равен 1
3. Создайте матрицу (3, 3), заполненую от 0 до 8
4. Найдите все положительные числа в np.array([1,2,0,0,4,0])
5. Умножьте матрицу размерности (5, 3) на (3, 2)
6. Создайте матрицу (10, 10) так, чтобы на границе были 0, а внтури 1
7. Создайте рандомный вектор и отсортируйте его
8. Каков эквивалент функции enumerate для numpy массивов?
9. *Создайте рандомный вектор и выполните нормализацию столбцов (из каждого столбца вычесть среднее этого столбца, из каждого столбца вычесть sd этого столбца)
10. *Для заданного числа найдите ближайший к нему элемент в векторе
11. *Найдите N наибольших значений в векторе

# ваш код здесь 

Задание 2:

Напишите полностью векторизованный вариант

Дан трёхмерный массив, содержащий изображение, размера (height, width, numChannels), а также вектор длины numChannels. Сложить каналы изображения с указанными весами, и вернуть результат в виде матрицы размера (height, width). Считать реальное изображение можно при помощи функции scipy.misc.imread (если изображение не в формате png, установите пакет pillow: conda install pillow). Преобразуйте цветное изображение в оттенки серого, использовав коэффициенты np.array([0.299, 0.587, 0.114]).

# ваш код здесь 

8. Транспонирование матриц

Напоминание теории. Транспонированной матрицей A T называется матрица, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы. Формально: элементы матрицы A T определяются как a T _ij = a_ji , где a T _ij — элемент матрицы A T , стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j .

В NumPy транспонированная матрица вычисляется с помощью функции numpy.transpose() или с помощью метода array.T, где array — нужный двумерный массив.

a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) b = np.transpose(a) c = a.T 

print ("Матрица:\n", a) print ("Транспонирование функцией:\n", b) print ("Транспонирование методом:\n", c) 

Матрица: [[1 2] [3 4]] Транспонирование функцией: [[1 3] [2 4]] Транспонирование методом: [[1 3] [2 4]]

В следующих разделах активно используется модуль numpy.linalg, реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Более подробно о функциях, описанных ниже, и различных других функциях этого модуля можно посмотреть в его документации.

9. Определитель матрицы

Напоминание теории. Для квадратных матриц существует понятие определителя.

Пусть A — квадратная матрица. Определителем (или детерминантом) матрицы A ∈ ℝ n×n назовем число

detA = ∑ _{α1, α2, …, αn} ( − 1) N(α₁, α₂, …, α_n) ⋅a_α11⋅⋅⋅a_αnn,

где α₁, α₂, …, α_n — перестановка чисел от 1 до n , N(α₁, α₂, …, α_n) — число инверсий в перестановке, суммирование ведется по всем возможным перестановкам длины n .

Не стоит расстраиваться, если это определение понятно не до конца — в дальнейшем в таком виде оно не понадобится.

Например, для матрицы размера 2×2 получается:

det ⎛ ⎜ ⎝ a₁₁ a₁₂ a₂₁ a₂₂ ⎞ ⎟ ⎠ = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁

Вычисление определителя матрицы по определению требует порядка n! операций, поэтому разработаны методы, которые позволяют вычислять его быстро и эффективно.

В NumPy определитель матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.det(a), где a — исходная матрица.

a = np.array([[1, 2, 1], [1, 1, 4], [2, 3, 6]], dtype=np.float32) det = np.linalg.det(a) 

print ("Матрица:\n", a) print ("Определитель:\n", det) 

Матрица: [[1. 2. 1.] [1. 1. 4.] [2. 3. 6.]] Определитель: -1.0

Рассмотрим одно интересное свойство определителя. Пусть у нас есть параллелограмм с углами в точках (0, 0), (c, d), (a + c, b + d), (a, b) (углы даны в порядке обхода по часовой стрелке). Тогда площадь этого параллелограмма можно вычислить как модуль определителя матрицы ⎛ ⎜ ⎝ a c b d ⎞ ⎟ ⎠ . Похожим образом можно выразить и объем параллелепипеда через определитель матрицы размера 3×3 .

10. Ранг матрицы

Напоминание теории. Рангом матрицы A называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.

В NumPy ранг матрицы вычисляется с помощью функции numpy.linalg.matrix_rank(M, tol=None), где M — матрица, tol — параметр, отвечающий за некоторую точность вычисления. В простом случае можно его не задавать, и функция сама определит подходящее значение этого параметра.

a = np.array([[1, 2, 3], [1, 1, 1], [2, 2, 2]]) r = np.linalg.matrix_rank(a) 

print ("Матрица:\n", a) print ("Ранг матрицы:", r) 

Матрица: [[1 2 3] [1 1 1] [2 2 2]] Ранг матрицы: 2

С помощью вычисления ранга матрицы можно проверять линейную независимость системы векторов.

Допустим, у нас есть несколько векторов. Составим из них матрицу, где наши векторы будут являться строками. Понятно, что векторы линейно независимы тогда и только тогда, когда ранг полученной матрицы совпадает с числом векторов. Приведем пример:

a = np.array([1, 2, 3]) b = np.array([1, 1, 1]) c = np.array([2, 3, 5]) m = np.array([a, b, c]) 

print (np.linalg.matrix_rank(m) == m.shape[0]) 

True

11. Системы линейных уравнений

Напоминание теории. Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида Ax = b , где A ∈ ℝ n×m , x ∈ ℝ m×1 , b ∈ ℝ n×1 . В случае квадратной невырожденной матрицы A решение системы единственно.

В NumPy решение такой системы можно найти с помощью функции numpy.linalg.solve(a, b), где первый аргумент — матрица A , второй — столбец b .

a = np.array([[3, 1], [1, 2]]) b = np.array([9, 8]) x = np.linalg.solve(a, b) 

print ("Матрица A:\n", a) print ("Вектор b:\n", b) print ("Решение системы:\n", x) 

Матрица A: [[3 1] [1 2]] Вектор b: [9 8] Решение системы: [2. 3.]

Убедимся, что вектор x действительно является решением системы:

print (a.dot(x)) 

Бывают случаи, когда решение системы не существует. Но хотелось бы все равно “решить” такую систему. Логичным кажется искать такой вектор x , который минимизирует выражение ‖ Ax − b ‖ 2 — так мы приблизим выражение Ax к b .

В NumPy такое псевдорешение можно искать с помощью функции numpy.linalg.lstsq(a, b, . ), где первые два аргумента такие же, как и для функции numpy.linalg.solve(). Помимо решения функция возвращает еще три значения, которые нам сейчас не понадобятся.

a = np.array([[0, 1], [1, 1], [2, 1], [3, 1]]) b = np.array([-1, 0.2, 0.9, 2.1]) x, res, r, s = np.linalg.lstsq(a, b, rcond=None) 

print ("Матрица A:\n", a) print ("Вектор b:\n", b) print ("Псевдорешение системы:\n", x) 

Матрица A: [[0 1] [1 1] [2 1] [3 1]] Вектор b: [-1. 0.2 0.9 2.1] Псевдорешение системы: [ 1. -0.95]

12. Обращение матриц

Напоминание теории. Для квадратных невырожденных матриц определено понятие обратной матрицы.

Пусть A — квадратная невырожденная матрица. Матрица A − 1 называется обратной матрицей к A , если

AA − 1 = A − 1 A = I,

где I — единичная матрица.

В NumPy обратные матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.inv(a), где a — исходная матрица.

a = np.array([[1, 2, 1], [1, 1, 4], [2, 3, 6]], dtype=np.float32) b = np.linalg.inv(a) 

print ("Матрица A:\n", a) print ("Обратная матрица к A:\n", b) print ("Произведение A на обратную должна быть единичной:\n", a.dot(b)) 

Матрица A: [[1. 2. 1.] [1. 1. 4.] [2. 3. 6.]] Обратная матрица к A: [[ 6. 9. -7.] [-2. -4. 3.] [-1. -1. 1.]] Произведение A на обратную должна быть единичной: [[1. 0. 0.] [0. 1. 0.] [0. 0. 1.]]

13. Собственные числа и собственные вектора матрицы

Напоминание теории. Для квадратных матриц определены понятия собственного вектора и собственного числа.

Пусть A — квадратная матрица и A ∈ ℝ n×n . Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор x ∈ ℝ n , что для некоторого λ ∈ ℝ выполняется равенство Ax = λx . При этом λ называется собственным числом матрицы A . Собственные числа и собственные векторы матрицы играют важную роль в теории линейной алгебры и ее практических приложениях.

В NumPy собственные числа и собственные векторы матрицы вычисляются с помощью функции numpy.linalg.eig(a), где a — исходная матрица. В качестве результата эта функция выдает одномерный массив w собственных чисел и двумерный массив v, в котором по столбцам записаны собственные вектора, так что вектор v[:, i] соотвествует собственному числу w[i].

a = np.array([[-1, -6], [2, 6]]) w, v = np.linalg.eig(a) 

print ("Матрица A:\n", a) print ("Собственные числа:\n", w) print ("Собственные векторы:\n", v) 

Матрица A: [[-1 -6] [ 2 6]] Собственные числа: [2. 3.] Собственные векторы: [[-0.89442719 0.83205029] [ 0.4472136 -0.5547002 ]]

Обратите внимание: у вещественной матрицы собственные значения или собственные векторы могут быть комплексными.

14. Расстояния между векторами

Вспомним некоторые нормы, которые можно ввести в пространстве ℝ n , и рассмотрим, с помощью каких библиотек и функций их можно вычислять в NumPy.

p-норма

p-норма (норма Гёльдера) для вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

‖ x ‖ _p = ( n ∑ _{i = 1} | x_i | p ) 1 ⁄ p , p ≥ 1.

В частных случаях при: * p = 1 получаем ℓ₁ норму * p = 2 получаем ℓ₂ норму

Далее нам понабится модуль numpy.linalg, реализующий некоторые приложения линейной алгебры. Для вычисления различных норм мы используем функцию numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ), где x — исходный вектор, ord — параметр, определяющий норму (мы рассмотрим два варианта его значений — 1 и 2). Импортируем эту функцию:

from numpy.linalg import norm 

ℓ₁ норма

ℓ₁ норма (также известная как манхэттенское расстояние) для вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

‖ x ‖ ₁ = n ∑ _{i = 1} | x_i | .

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=1.

a = np.array([1, 2, -3]) print('Вектор a:', a) 

Вектор a: [ 1 2 -3]

print('L1 норма вектора a:\n', norm(a, ord=1)) 

L1 норма вектора a: 6.0

ℓ₂ норма

ℓ₂ норма (также известная как евклидова норма) для вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n вычисляется по формуле:

‖ x ‖ ₂ = √ ( n ∑ _{i = 1} ( x_i ) 2 ) .

Ей в функции numpy.linalg.norm(x, ord=None, . ) соответствует параметр ord=2.

print ('L2 норма вектора a:\n', norm(a, ord=2)) 

L2 норма вектора a: 3.7416573867739413

Более подробно о том, какие еще нормы (в том числе матричные) можно вычислить, см. документацию.

15. Расстояния между векторами

Для двух векторов x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n и y = (y₁, …, y_n) ∈ ℝ n ℓ₁ и ℓ₂ раccтояния вычисляются по следующим формулам соответственно:

ρ₁ ( x, y ) = ‖ x − y ‖ ₁ = n ∑ _{i = 1} | x_i − y_i |
ρ₂ ( x, y ) = ‖ x − y ‖ ₂ = √ ( n ∑ _{i = 1} ( x_i − y_i ) 2 ) .

a = np.array([1, 2, -3]) b = np.array([-4, 3, 8]) print ('Вектор a:', a) print ('Вектор b:', b) 

Вектор a: [ 1 2 -3] Вектор b: [-4 3 8]

print ('L1 расстояние между векторами a и b:\n', norm(a - b, ord=1)) print ('L2 расстояние между векторами a и b:\n', norm(a - b, ord=2)) 

L1 расстояние между векторами a и b: 17.0 L2 расстояние между векторами a и b: 12.12435565298214

16. Скалярное произведение и угол между векторами

a = np.array([0, 5, -1]) b = np.array([-4, 9, 3]) print ('Вектор a:', a) print ('Вектор b:', b) 

Вектор a: [ 0 5 -1] Вектор b: [-4 9 3]

Скалярное произведение в пространстве ℝ n для двух векторов x = (x₁, …, x_n) и y = (y₁, …, y_n) определяется как:

⟨x, y⟩ = n ∑ _{i = 1} x_iy_i.

Длиной вектора x = (x₁, …, x_n) ∈ ℝ n называется квадратный корень из скалярного произведения, то есть длина равна евклидовой норме вектора:

| x | = √ ( ⟨x, x⟩ ) = √ ( n ∑ _{i = 1} x 2 _i ) = ‖ x ‖ ₂.

Теперь, когда мы знаем расстояние между двумя ненулевыми векторами и их длины, мы можем вычислить угол между ними через скалярное произведение:

⟨x, y⟩ = | x | |y|cos(α) ⟹ cos(α) = ( ⟨x, y⟩ )/( | x | |y| ) ,

где α ∈ [0, π] — угол между векторами x и y .

cos_angle = np.dot(a, b) / norm(a) / norm(b) print ('Косинус угла между a и b:', cos_angle) print ('Сам угол:', np.arccos(cos_angle)) 

Косинус угла между a и b: 0.8000362836474323 Сам угол: 0.6434406336093618

17. Комплексные числа в питоне

Напоминание теории. Комплексными числами называются числа вида x + iy , где x и y — вещественные числа, а i — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство i 2 = − 1 ). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой ℂ (подробнее про комплексные числа см. википедию).

В питоне комплескные числа можно задать следующим образом (j обозначает мнимую единицу):

a = 3 + 2j b = 1j 

print ("Комплексное число a:\n", a) print ("Комплексное число b:\n", b) 

Комплексное число a: (3+2j) Комплексное число b: 1j

С комплексными числами в питоне можно производить базовые арифметические операции так же, как и с вещественными числами:

c = a * a d = a / (4 - 5j) 

print ("Комплексное число c:\n", c) print ("Комплексное число d:\n", d) 

Комплексное число c: (5+12j) Комплексное число d: (0.0487804878048781+0.5609756097560976j)

Задания: (Блок 2)

Задание 3:

Рассмотрим сложную математическую функцию на отрезке [1, 15]:

f(x) = sin(x / 5) * exp(x / 10) + 5 * exp(-x / 2)

Она может описывать, например, зависимость оценок, которые выставляют определенному сорту вина эксперты, в зависимости от возраста этого вина. Мы хотим приблизить сложную зависимость с помощью функции из определенного семейства. В этом задании мы будем приближать указанную функцию с помощью многочленов.

Как известно, многочлен степени n (то есть w₀ + w₁x + w₂x 2 + … + w_nx n ) однозначно определяется любыми n + 1 различными точками, через которые он проходит. Это значит, что его коэффициенты w₀ , … w_n можно определить из следующей системы линейных уравнений:

где через x₁, . x_n, x_{n + 1} обозначены точки, через которые проходит многочлен, а через f(x₁), . f(x_n), f(x_{n + 1}) — значения, которые он должен принимать в этих точках.

Воспользуемся описанным свойством, и будем находить приближение функции многочленом, решая систему линейных уравнений.

1. Сформируйте систему линейных уравнений (то есть задайте матрицу коэффициентов A и свободный вектор b) для многочлена первой степени, который должен совпадать с функцией f в точках 1 и 15. Решите данную систему с помощью функции scipy.linalg.solve. Нарисуйте функцию f и полученный многочлен. Хорошо ли он приближает исходную функцию?
2. Повторите те же шаги для многочлена второй степени, который совпадает с функцией f в точках 1, 8 и 15. Улучшилось ли качество аппроксимации?
3. Повторите те же шаги для многочлена третьей степени, который совпадает с функцией f в точках 1, 4, 10 и 15. Хорошо ли он аппроксимирует функцию? Коэффициенты данного многочлена (четыре числа в следующем порядке: w_0, w_1, w_2, w_3) являются ответом на задачу. Округлять коэффициенты не обязательно, но при желании можете произвести округление до второго знака (т.е. до числа вида 0.42)

Сайт построен с использованием Pelican. За основу оформления взята тема от Smashing Magazine. Исходные тексты программ, приведённые на этом сайте, распространяются под лицензией GPLv3, все остальные материалы сайта распространяются под лицензией CC-BY.

Как определить матрицу вращения между двумя векторами?

Имеется два вектора, задающих направление в пространстве. Первый смотрит всегда вертикально вверх, т.е. имеет координаты 0,1,0. Второй вектор может иметь любые координаты. Как найти матрицу вращения (или кватернион), которая бы при умножении на вектор 1 давала бы вектор 2?

#1
2:55, 28 мар 2011

чтобы преобразовать единичные вектор 2 в вектор 1, нужно вектор 2 повернуть вокруг вектора cross(1,2) на угол arccos(dot(1,2))
правда будут проблемы если 2 направлен вниз

если у тебя есть 2 матрицы описывающие трансформацию направления объекта по 1ому вектору (M1), и трансформация по 2ому вектору (M2)
то нужная тебе матрица это M2^(-1)*M1, если M2 — ортонормированая, то M2^T*M1

#2
3:33, 28 мар 2011

ashujon
Благодарю за ответ. Только я ничего не понял, видимо не хватает знаний.

>чтобы преобразовать единичные вектор 1 в вектор 2, нужно вектор 1 повернуть вокруг вектора cross(1,2) на угол косинус которого dot(1,2)
а можно пример кода написать? Я в 3D совсем новичок, и не знаю что такое cross и dot.

>если у тебя есть 2 матрицы описывающие трансформацию направляя обьект по 1 вектору (M1), и трансформация по второму вектору M2
матриц нет. мне нужно получить матрицу, которая покажет «отклонение» вектора 2 от вертикального направления. Нужна именно матрица, так как я потом собираюсь её применить к другим объектам, чтобы они повернулись так же.

#3
5:54, 28 мар 2011

cba
воспользуйся гуглом и хотя бы википедией, dot — скалярное произведение векторов, cross — векторное:

inline float length( const vec3 &v) < return sqrtf( v.x * v.x + v.y * v.y + v.z * v.z); > inline vec3 normalize( const vec3 &v) < return ( 1.0f / length( v)) * v; > inline float dot3( const vec3 &u, const vec3 &v) < return u.x * v.x + u.y * v.y + u.z * v.z; > inline vec3 cross( const vec3 &u, const vec3 &v) < return vec3( u.y * v.z - u.z * v.y, u.z * v.x - u.x * v.z, u.x * v.y - u.y * v.x); >

#4
6:17, 28 мар 2011

cba
> , и не знаю что такое cross и dot.
Google, Не?

#5
8:22, 28 мар 2011

bool
> воспользуйся гуглом и хотя бы википедией, dot — скалярное произведение
> векторов, cross — векторное:
Благодарю за код. Только как из этих cross и dot матрицу получить?
> нужно вектор 1 повернуть вокруг вектора cross(1,2) на угол косинус которого dot(1,2)
Эта фраза непонятна. Т.е. надо получить сначала третий вектор равный cross(1,2). Далее первый вектор вращать вокруг этого третьего. Это кватернион что-ли получается? Третий вектор представляет из себя ось кватерниона, а угол, косинус которого dot(1,2), является w. Я правильно понимаю?

#6
10:16, 28 мар 2011

> Я в 3D совсем новичок, и не знаю что такое cross и dot
это линейная алгебра

для векторов единичной длины v1,v2
ось вращения l=cross(v1,v2), l нормализуешь (делишь на длину)
угол fi=arccos(dot(v1,v2))
матрица
| l.x^2 *(1-cos(fi))+cos(fi) l.x*l.y*(1-cos(fi))-l.z*sin(fi) l.x*l.z*(1-cos(fi))+l.y*sin(fi) |
| l.x*l.y*(1-cos(fi))+l.z*sin(fi) l.y^2* (1-cos(fi))+cos(fi) l.y*l.z*(1-cos(fi))-l.x*sin(fi) |
| l.x*l.z*(1-cos(fi))-l.y*sin(fi) l.y*l.z*(1-cos(fi))+l.x*sin(fi) l.z^2* (1-cos(fi))+cos(fi) |

но если не нормализовать l, матрица будет

| l.x^2 /(1+cos(fi))+cos(fi) l.x*l.y/(1+cos(fi))-l.z l.x*l.z/(1+cos(fi))+l.y |
| l.x*l.y/(1+cos(fi))+l.z l.y^2/(1+cos(fi))+cos(fi) l.y*l.z/(1+cos(fi))-l.x |
| l.x*l.z/(1+cos(fi))-l.y l.y*l.z/(1+cos(fi))+l.x l.z^2/(1+cos(fi))+cos(fi) |

Vector3 l=cross( v1,v2); float cf=dot( v1,v2); // cos(fi) float df=1./( 1.+cf); Vector3 m=l*df; float a=l.x*m.y; float b=l.y*m.z; float c=l.z*m.x; m[0][0]=l.x*m.x+cf; m[1][1]=l.y*m.y+cf; m[2][2]=l.z*m.z+cf; m[0][1]=a-l.z; m[1][0]=a+l.z; m[0][2]=c+l.y; m[2][0]=c-l.y; m[1][2]=b-l.x; m[2][1]=b+l.x;

#7
10:27, 28 мар 2011

Не кормите. Не знает — пусть учит.

#8
12:52, 28 мар 2011
#9
13:00, 28 мар 2011
#10
13:32, 28 мар 2011
#11
3:13, 29 мар 2011

Всем большое спасибо за помощь (кроме slava_mib)! буду разбираться.

#12
5:20, 29 мар 2011
#13
6:22, 29 мар 2011

а больше всех-то Слава и помог 🙂 вот так помогай потом людям..

#14
12:07, 29 мар 2011

Aslan
> матрица
> | l.x^2 *(1-cos(fi))+cos(fi) l.x*l.y*(1-cos(fi))-l.z*sin(fi)
> l.x*l.z*(1-cos(fi))+l.y*sin(fi) |
> | l.x*l.y*(1-cos(fi))+l.z*sin(fi) l.y^2* (1-cos(fi))+cos(fi)
> l.y*l.z*(1-cos(fi))-l.x*sin(fi) |
> | l.x*l.z*(1-cos(fi))-l.y*sin(fi) l.y*l.z*(1-cos(fi))+l.x*sin(fi)
> l.z^2* (1-cos(fi))+cos(fi) |

хочу отметить что данная матрица зависима от направления тройки векторов (левая тройка или правая). важно, чтобы все безобразие было однообразным, то есть если выбрана левая тройка, то матрицы выражаются левые, а если правая то правые.
это то же самое что вопрос какой поворот считать позитивным по часовой стрелке или против. ( см правило буравчика, или правило правой/левой руки)

Это приводит в вышеуказанной матрице к перемене знаков недиагональных элементов для второй части суммы содержащей sin(fi)

кстати тоже самое верно и для матриц элементарных поворотов относительно осей X, Y, Z поэтому иногда возникают ошибки при использовании матричного описания, взятого из разных источников.
, к примеру матрица поворота относительно X
Tx=[1, 0, 0 , 0;
0, cos(alpha), -sin(alpha), 0;
0, sin(alpha), cos(alpha), 0;
0 0 0 1];
и то же самое

Tx=[1, 0, 0 , 0;
0, cos(alpha), +sin(alpha), 0;
0, -sin(alpha), cos(alpha), 0;
0 0 0 1];

в обоих случаях верно (!), но вращение будет в разные стороны. (выбраны разные тройки векторов)

вобщем надо быть внимательным. при неверном выборе направления (во всей программе должно быть одинаково) будут вылазить ошибки!