Что такое пустое множество в математике

Пустое множество

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ.) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: , и и .

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205, ∅ ).

Символы и введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите [1] .

Свойства пустого множества

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
• Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
• Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, (\varnothing) \Leftrightarrow \mathrm(\varnothing) \ \land \ \forall b \ (b \in \varnothing \to \mathrm(b) \ )» width=»» height=»» />.
• Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .
• Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,

См. также

• Аксиома пустого множества

• Аксиоматика теории множеств

Ссылки

1. ↑Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic (англ.) . — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011.Проверено 28 сентября 2010.

• Теория множеств

Wikimedia Foundation . 2010 .

1.3. Пустое множество

Пустое множество – множество, которое не содержит ни одного элемента (обозначается символом ). Пустое множество можно определить любым противоречивым свойством, например= х>, в области множеств оно играет как бы роль нуля. Многие математические (и не только математические) проблемы можно сформулировать как задачи о пустоте некоторых множеств.

1.4. Парадокс рассела

Задание множеств характеристическим предикатом может привести к противоречиям. Рассмотрим множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: Y=X | X X>. Если такое множество существует, то можно ответить на следующий вопрос: принадлежит ли оно само себе. С одной стороны, если Y Y, то Y Y. С другой стороны, если Y Y, то Y Y. Получается неустранимое логическое противоречие, известное как парадокс Рассела. Это противоречие можно разрешить различными способами, в целом сводящимися к тому, что Y не является множеством.

1.5. Подмножества и их свойства

Подмножество – это любая часть основного множества U. При этом элементы его подмножества A обладают некоторым дополнительным свойством P_а(х). Этот факт можно записать так: А = < xxU и P_а(х)> («А – это по определению множество всех тех и только тех х, которые принадлежат U и обладают свойством P_а»). Если, например, U – множество людей, а P_а – быть учащимся высшего учебного заведения, то А – множество студентов. Если свойство, задающее некоторое подмножество, противоречит свойству, по которому задаётся само основное множество, то данное подмножество будет пустым , то есть не содержащим ни единого элемента. Полная и пустая части всякого множества образуют его несобственные подмножества. Все остальные подмножества данного множества являются собственными. Отношение между множеством M и любым его подмножеством A называется включением и обозначается символом :AM. Отметим следующие свойства подмножеств, прямо вытекающих из определения. а) Отношение включения любого собственного подмножества A (т.е. отличного от M) в множество M, называется собственным и обозначается :AM. Выражение А  M (читается «А включено в M») означает, что множество А есть подмножеством множества M. При этом все элементы, принадлежащие А, будут также принадлежать и M. Однако в множестве M могут найтись элементы, не принадлежащие А. В этом случае множество А – собственное подмножество множества M, а M, в свою очередь, называется надмножеством. Можно также рассматривать и выражение M  А, которое читается «M включает в себя А». Равными считаются множества A и B, состоящие качественно из одних и тех же элементов. Факт равенства множеств записывается так: А = B, неравенства А  B. Выражение А  M обозначает включение в широком смысле, то есть А есть подмножеством M. При этом не исключено, что А = M. Можно также рассматривать и выражение M  А. Два множества А и В равны тогда и только тогда, когда А  В, а В  А. Принято считать, что пустое множество является подмножеством любого множестваM (пустой его частью). Каждое непустое множество М является подмножеством самого себя: ММ (Если свойства, которыми заданы некоторое множество и его подмножество, совпадают (одни и те же), то эти множества будут равны. Поэтому и считается, что множество является частью самого себя). б) Отношение включения транзитивно, т. е. из AB и BC следует, что AC. Транзитивно также отношение собственного включения, т. е. из AB и BC следует, что AC. в) Очень важно не смешивать отношения принадлежности (элемента) и включения(подмножества): если подмножество М, то элемент аМ, и наоборот; но из М не следует М (т.е. из того, что подмножество включено в М, не следует, что элементом множества М будет множество ). Так, например, если М = >, то это означает, что 1М и 2М, M; но из M не следует, что элементом множества М будет множество . Отметим, что для рассмотренного множества M правильны следующие утверждения включения: М, М, М, <>М, М, <1, >М,< 2, >М, >М. Другой пример. Пустое множество не имеет элементов хдля любого объекта х. Между темсодержит одно подмножество, а именно само себя. г) Если известно число элементов данного множества, то общее число подмножеств будет , гдеn – число элементов. Из пустого подмножества можно образовать только одно подмножество – само пустое множество (при n=0, ) Задача 1.5. Дано универсальное множество U = – натуральные числа от 1 до 20. Найти следующие подмножества:

1. множество простых чисел;
2. множество делителей числа 20;
3. множество чисел, делящихся на 6;
4. множество квадратов чисел;
5. множество разностей предыдущего и последующего элементов универсума.

Решение.

1. множество простых чисел: А = . Очевидно, что А  U;
2. множество делителей числа 20: В = . Здесь также В  U;
3. множество чисел, делящихся на 6: С = , C  U;
4. множество квадратов чисел: D = . По условию задачи D  U, и мы должны рассмотреть лишь множество тех квадратов чисел, которые не выйдут за пределы универсума;
5. множество Е = . Совершенно очевидно, что полученное множество не есть подмножеством данного универсума. Иными словами, предикат, по которому оно формируется, противоречит предикату универсума. Таким образом Е  V, хотя по условию Е  V. Значит Е = .

Задача 1.6. Среди следующих множеств указать равные: А = x, y>; B = x, y>; C = y, y, 5, 3, x, x>; D = x, y>. Решение.A = C, поскольку качественно оба множества состоят из элементов 3, 5, x и y. Количество элементов множества А равно 4. Множество В, на первый взгляд, содержит больше элементов. Однако среди них есть повторяющиеся: 2 раза х и столько же у. Для множества же неважно, сколько раз повторяется один и тот же элемент, важно лишь, чтобы элементы отличались друг от друга. Что же касается множеств B и D, то они не равны, так как содержат разные элементы. Можно лишь утверждать, что А  В, АD, C  B и C  D. Задача 1.7. Будут ли равны между собой множества А и В и, если нет, то почему?

1. A = , B = ;
2. A = , 6> , B = , 6>;
3. A = , 6> , B = ;
4. A = , B = ;
5. A = , B = .

Решение.

1. A  B. Разберём, почему. Множество В состоит из элементов 1, 2, 5 и 6. В отличие от А, элементами которого являются 1, 6 и упорядоченная пара чисел (2, 5). Элементы обоих множеств качественно различны. Поэтому эти множества и не равны.
2. А = В. Элементами множества А являются числа 1 и 6, а также подмножество . Множество В также состоит из элементов 1 и 6, а также подмножества . Очевидно, что подмножества и равны. Следовательно множества А и В состоят из одних и тех же элементов. Значит, они равны.
3. A  B. Оба множества имеют одинаковые элементы 1 и 6. Однако элементом А является подмножество , а элементом В есть упорядоченная пара чисел (2, 7). Понятно, что это качественно различные элементы. Следовательно, множества не равны.
4. A  B. Множество А – это пустое множество, не содержащее ни одного элемента. В состав же множества В входит один элемент, которым является пустое множество.
5. A  B. Множество А имеет один элемент – это число 0. Множество В также состоит из одного элемента, которым является множество, в данном случае пустое. Это качественно разные элементы.

Задачи для самостоятельного решения. 1. Записать следующие утверждения, используя символы теории множеств:

1. множество S есть подмножество Т;
2. х принадлежит множеству Р;
3. множество Y не является подмножеством множества Х;
4. z не принадлежит множеству Z.

2. Заданы четыре множества: А = ; B = ; C = ; D = . Какие из следующих утверждений являются истинными, а какие ложными?

1. В  А (ответ: верно);
2.   D (ответ: неверно, хотя пустое множество и включено в D, но не в качестве его элемента, а в качестве подмножества);
3. С  В (ответ: неверно);
4. В  D (ответ: неверно);
5. В  А (ответ: неверно, хотя В и включено в А, но как подмножество, а не как элемент);
6. С  В (ответ: верно).

Значение словосочетания «пустое множество»

• Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Пустое множество: понятие, свойства и роль в теории вероятности

Пустое множество – это множество, не содержащее ни одного элемента, которое обозначается символом пустого множества и обладает особыми свойствами в математике и теории вероятности.

Пустое множество: понятие, свойства и роль в теории вероятности обновлено: 13 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Помощь в написании работы

Введение

Добро пожаловать на лекцию по теории вероятности! В этой лекции мы будем изучать понятие пустого множества и его свойства. Пустое множество является одним из основных понятий в теории вероятности и играет важную роль в решении различных задач. Мы рассмотрим его определение, символическое обозначение и свойства, а также рассмотрим его отношение к другим множествам. Кроме того, мы рассмотрим примеры использования пустого множества в теории вероятности. Давайте начнем наше изучение пустого множества!

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Свойства пустого множества

Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом ∅ или <>.

Свойства пустого множества:

Уникальность

Пустое множество является единственным множеством, которое не содержит элементов. Нет других множеств, которые могут быть равны пустому множеству.

Подмножество любого множества

Пустое множество является подмножеством любого множества. Это означает, что для любого множества A, пустое множество является его подмножеством, обозначается ∅ ⊆ A.

Не является элементом самого себя

Пустое множество не является элементом самого себя. Это означает, что ∅ ∉ ∅.

Равенство пустого множества

Пустые множества равны друг другу. Это означает, что если A и B – пустые множества, то A = B.

Размер пустого множества

Размер пустого множества равен нулю. Это означает, что количество элементов в пустом множестве равно нулю.

Эти свойства позволяют нам лучше понять и работать с пустым множеством в теории вероятности и других областях математики.

Отношение пустого множества к другим множествам

Пустое множество, обозначаемое символом ∅ или <>, имеет особое отношение к другим множествам. Рассмотрим несколько важных свойств этого отношения:

Пустое множество является подмножеством любого множества

Это означает, что пустое множество содержится в любом другом множестве. Формально, для любого множества A, пустое множество является его подмножеством: ∅ ⊆ A.

Любое множество является подмножеством пустого множества

Это означает, что любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества. Формально, для любого множества A, пустое множество содержит его в качестве подмножества: A ⊆ ∅.

Пустое множество не является элементом самого себя

Пустое множество не содержит никаких элементов, поэтому оно не может быть элементом самого себя. Формально, это означает, что ∅ ∉ ∅.

Эти свойства позволяют нам лучше понять и работать с пустым множеством в теории вероятности и других областях математики.

Примеры использования пустого множества в теории вероятности

Пустое множество в качестве исходового пространства

В теории вероятности, исходы событий обычно представляются в виде множества. Исходное пространство – это множество всех возможных исходов эксперимента. В некоторых случаях, эксперимент может не иметь ни одного возможного исхода. Например, если мы бросаем монету, но не учитываем результат, то исходное пространство будет пустым множеством. Формально, это можно записать как Ω = ∅, где Ω – исходное пространство.

Пустое множество в качестве события

События в теории вероятности также представляются в виде множеств. Событие – это некоторое подмножество исходного пространства. В некоторых случаях, событие может быть пустым множеством, то есть не содержать ни одного исхода. Например, если мы бросаем монету и рассматриваем событие “выпадение герба и решки одновременно”, то это событие будет пустым множеством, так как такого исхода нет. Формально, это можно записать как A = ∅, где A – событие.

Пустое множество в качестве пустого события

Пустое множество также может быть использовано в качестве пустого события. Пустое событие – это событие, которое никогда не происходит. Например, если мы бросаем монету и рассматриваем событие “выпадение герба и решки одновременно”, то это событие никогда не происходит и является пустым событием. Формально, это можно записать как P(∅) = 0, где P – вероятность события.

Это лишь некоторые примеры использования пустого множества в теории вероятности. Пустое множество играет важную роль в определении и свойствах вероятности и помогает нам лучше понять и анализировать случайные события.

Таблица свойств пустого множества

Свойство	Описание
Уникальность	Пустое множество является уникальным, так как не содержит ни одного элемента.
Размерность	Пустое множество имеет нулевую размерность, так как не содержит элементов.
Включение	Пустое множество включается в любое другое множество.
Пересечение	Пересечение пустого множества с любым другим множеством также будет пустым множеством.
Объединение	Объединение пустого множества с любым другим множеством будет равно этому другому множеству.

Заключение

Пустое множество – это множество, которое не содержит ни одного элемента. Оно обозначается символом ∅ или <>.

У пустого множества есть несколько свойств. Например, любое множество является подмножеством пустого множества, и пересечение пустого множества с любым другим множеством также будет пустым множеством.

В теории вероятности пустое множество может использоваться для описания событий, которые не могут произойти. Например, если мы бросаем кубик, то событие “выпадение числа 7” является пустым множеством, так как такого события не может произойти.

Пустое множество: понятие, свойства и роль в теории вероятности обновлено: 13 сентября, 2023 автором: Научные Статьи.Ру

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?