На окружность радиуса r брошено две точки считая что длина хорды
Перейти к содержимому

На окружность радиуса r брошено две точки считая что длина хорды

На окружность радиуса R брошено две точки

На окружность радиуса R брошено две точки. Считая, что длина хорды – случайная величина с равномерным распределением, найти плотность распределения вероятностей длины дуги между брошенными точками.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Длина дуги связана с радиусом окружности отношением:
L=αR
где α – центральный угол (в радианах), соответствующий хорде.
Связь длины хорды с центральным углом:
d=2Rsinα2
Откуда:
α=2arcsind2R
Т.е . длина дуги как функция длины хорды равна:
L=2Rarcsind2R
Записываем плотность вероятности длины хорды (случайная величина с равномерным распределением на интервале от 0 до 2R – диаметра окружности):
fdx=12R
Далее, поскольку функция L=2Rarcsind2R монотонно растет на интервале d∈0;2R, то можем воспользоваться формулой:
fLx=g-1x’fdg-1x
где g-1x – функция, обратная L=fx

50% задачи недоступно для прочтения

Полное решение в телеграм. Перейди по ссылке и получи решение бесплатно, в формате PDF

Вариант 13-1

Только сегодня: скидка до 20% в подарок на первый заказ.
Какую работу нужно написать?

Другую работу

Помощник Анна

Вариант 13

  1. В урне один белый и пять черных шаров. Два игрока по очереди вынимают из урны шар и возвращают его обратно, после чего шары в урне перемешиваются. Выигрывает тот, кто первый извлекает белый шар. Какова вероятность того, что выиграет игрок, начинающий игру?

Решение Вероятность появления белого шара равна Вероятность появления черного шара равна Для первого игрока возможны следующие исходы

  1. Вынут белый шар
  2. Первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул белый шар

  1. Первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул черный шар, второй игрок вынул черный шар, первый игрок вынул белый шар

Искомая вероятность Ответ: Р(А)=0,363

  1. По каналу связи, подверженному воздействию помех, передается одна из двух команд управления в виде кодовых комбинации 11111 или 00000, причем априорные вероятности передачи этих команд соответственно равны 0,7 и 0,3. Из-за наличия помех вероятность правильного приема каждого из символов (1 и 0) уменьшается до 0,6. Предполагается, что символы кодовых комбинаций искажаются независимо друг от друга. На входе приемного устройства зарегистрирована комбинация 10110. Определить, какая команда была передана?

Решение Пусть А — событие, состоящее в приеме комбинации 10110. К этому событию ведут две гипотезы: Н1 — была передана комбинация 11111; Н2 — была передана комбинация 00000. По условию ; . Условная вероятность приема кодовой комбинации 10110 вместо 11111 равна ; условная вероятность приема 10110 вместо 00000 равна . По формуле гипотез находим На основании сравнения найденных условных вероятностей заключаем, что при появлении на выходе комбинации 10110 с вероятностью 0,78 была передана команда 11111.

  1. На окружность радиуса R брошено две точки. Считая, что длина хорды – случайная величина с равномерным распределением, найти плотность распределения вероятностей дуги между брошенными точками.

Решение

  1. Каждая повторная передача сигнала по каналу связи увеличивает вероятность искажения сигнала на 0,1%. При передаче первого сигнала эта вероятность равна 0,05. Передано 100 сигналов. Найти границы, в которых с вероятность 0,9 заключено число переданных без искажения сигналов.

Решение Вероятность того, что будет искажен -й сигнал , где . Вероятность искажения последнего сигнала , Поскольку вероятности отличаются незначительно, будем приближенно считать случайную величину — количество исказившихся сигналов – распределенной по биномиальному закону. Так как з=0,001 , а значение достаточно велико, можно считать случайную величину распределенной нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением : , , , , . Таким образом, количество искаженных сигналов из числа всех переданных с доверительной вероятностью лежит в интервале , , . Число сигналов, переданных без искажений, будет, таким образом, заключено в интервале . .

  1. Случайная величина () распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и ковариационной матрицей

Найти РешениеP> 0> Рассмотрим ; P> 0> =

  1. Для заданной выборки:
  1. постройте: а) статистический ряд; б)интервальный статистический ряд, предварительно определив число интервалов;
  2. найдите значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии
  3. постройте гистограмму
  4. на основе анализа результатов наблюдений выдвинете гипотезу о виде закона распределения генеральной совокупности
1,8 1,4 1,12 2,3 2,7 3,3 1,3 1,13 1,7 1,4
1,25 1,9 1,64 1,47 1,65 1,5 1,85 1,68 1,51 1,48
1,95 0,8 2,8 2,4 2,95 2,5 2,3 2,9 1,84 2,2
1,68 2,5 2,52 1,29 3,3 1,85 2,1 3,6 2,4 2,55
1,5 1,29 1,85 1,58 1,31 1,69 1,28 1,9 1,87 1,7
1,49 2,1 1,9 1,49 1,8 2,45 2,3 3,0 3,1 3,1
1,6 1,88 2,2 1,63 0,8 1,63 1,45 1,29 1,47 2,55
1,49 2,4 2,55 1,26 0,8 1,25 2,1 0,7 2 1,85
0,9 1,9 2,1 2,55 2,55 2,4 0,6 2,1 0,4 2,5
1,5 1,69 2,7 1,48 1,5 1,69 1,46 1,48 1,52 1,3
  1. а) статистический ряд
0,4 0,6 0,7 0,8 0,9 1,12 1,13 1,25 1,26 1,28 1,29 1,3 1,31 1,4 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,5
1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 3 2 1 2 1 1 2 3 3 4
1,51 1,52 1,58 1,6 1,63 1,64 1,65 1,68 1,69 1,7 1,8 1,84 1,85 1,87 1,88 1,9 1,95 2 2,1 2,2
1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 2 1 4 1 1 4 1 1 5 2
2,3 2,4 2,45 2,5 2,52 2,55 2,7 2,8 2,9 2,95 3 3,1 3,3 3,6
3 4 1 3 1 5 2 1 1 1 1 2 2 1
  1. интервальный статистический ряд — 9 интервалов
[0;0,4) [0,4;0,8) [0,8;1,2) [1,2;1,6) [1,6;2,0) [2,0;2,4) [2,4;2,8) [2,8;3,2) [3,2;3,6]
1 2 6 29 26 11 16 6 3

  1. Гистограмма

  1. Полигон

Нельзя однозначно сказать о законе распределения, но можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении совокупности.

  1. Для исследования стабильности температуры в термостате, в который помещается кварцевый генератор с интервалом в 15 часов проведены две серии замеров температуры t 0 C
серия Замер
1 2 3 4 5 6
1-я 17,85 17,98 18,01 18,2 17,9 18,0
2-я 18,01 17,98 18,05 17,9 18,0

Проверить гипотезу о неизменности температуры в термостате, если точность измерения температуры характеризуется средним квадратичным отклонением , случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения, а уровень значимости Решение Определим среднее значение и дисперсию для каждой серии испытаний Проверим гипотезу (о равенстве дисперсий) при альтернативной гипотезе . распределение Фишера со степенями свободы и . По таблице квантилей распределения Фишера находим . Гипотезу отвергаем , т.к.

  1. Известно, что измерительный прибор не имеет систематических ошибок, а случайные ошибки каждого измерения подчиняются одному и тому же нормальному закону распределения. Сколько надо провести измерений для определения оценки измерений величины, чтобы с доверительной вероятностью 0,7 абсолютное значение ошибки в определении этой величины было не более 20%?

Решение Результаты каждого измерения – независимые нормально распределенные случайные величины. Пусть математическое ожидание каждой из них равно , а среднее квадратическое отклонение . Тогда среднее арифметическое этих величин – нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Вероятность того, что она отклонится от своего математического ожидания не более, чем на . Предполагая, что (в противном случае погрешности будут сопоставимы с результатами измерений), получим: , , , , . Таким образом, достаточно трех измерений, чтобы с доверительной вероятностью 0,7 абсолютное значение ошибки в определении величины не превышало 20%. Т.о,

Помогите, пожалуйста, с теорией вероятности.

помогите решить задачи по теории вероятности:
ps(1.1. уже сделана)
1.1. На отрезке OA длины L числовой оси Ox наудачу поставлены две точки B(x) и C(y). Найти вероятность того, что длина отрезка BC меньше расстояния от точки O до ближайшей к ней точки.

1.2. Электрическая цепь составлена по следующей схеме:

Каждое из реле A, B, C, D и E, работающих независимо, открываются с вероятностью p. Какова вероятность, что сигнал поданный на вход, будет получен на выходе? Какова условная вероятность того, что реле было открыто, если на выходе был получен сигнал?

1.9. На окружность радиуса R с центром в начале координат наудачу брошена точка. Найти плотность распределения: а) абсциссы точки попадания; б) длины хорды, соединяющей точку попадания с точкой (−

Лучший ответ

1.9. Плотность пропорциональна функции sqrt(R^2-x^2), т. е. f(x)=k*sqrt(R^2-x^2), Чтобы площадь под плот-тью =1, нужно взять к=2/(pi*R^2)
1.2. 1-(1-p)^5 — если соединение параллельное, p^5 — если соединение последовательное

Про вероятности

Простая задачка. Окружность радиуса один, случайным образом выбирается хорда. Какова вероятность того, что длина хорды меньше корня из трёх?

Если не лень, попробуйте сначала решить сами.

Решение #1 Хорда задаётся двумя точками на окружности, мы их независимо выбираем. Ну, выберем их, и повернём окружность так, что первая точка окажется в некотором фиксированном месте, на длину хорды это не повлияет. Вторая точка где-то на окружности.

На картинке нижняя точка фиксирована, а две проведённые хорды показывают в каких рамках может двигаться вторая точка, чтобы длина не превышала корня из трёх: нужно не попасть в центральный сектор. Несложно посчитать, что искомая вероятность равна 2/3.

Решение #2 Хорда задаётся направлением, которому она параллельна и сдвигом относительно параллельного ей диаметра. Все направления нам одинаково милы, от них ничего не зависит. Зафиксируем произвольное и будем рассматривать его. Сдвиг определяется точкой пересечения с перпендикулярным диаметром.

На картинке зафиксировано вертикальное направление, две проведённые хорды показывают в коридор, в котором длина хорды превышает корень из трёх. Несложно посчитать, что искомая вероятность равна 1/2.

Решение #3 Почти всюду хорда задаётся положением своего центра. Единственный случай, когда это не так — когда он совпадает с центром окружности, но это можно не учитывать (это множество меры ноль). Нарисуем в центре исходной окружности окружность радиусом 1/2.

Понятно, что если центр хорды оказался внутри маленькой окружности, хорда длинная, а если снаружи, то короткая. Как и в прошлых случаях, вероятность несложно посчитать — 3/4.

Решение #4 (аналогично #1, но немного другими словами) Зафиксируем на окружности точку от которой будем отсчитывать угол. Выберем хорду. Двигаемся по окружности от зафиксированной точки простив часовой стрелки, ищем концы хорды. Первый встретившийся будет, конечно, первым, а второй — вторым. Измеряем углы. Очевидно, оба угла от 0 до 2Pi, второй больше первого.

По горизонтальной оси отложен первый угол, по вертикальной — второй. Каждой точке в большом треугольнике соответствует хорда.

Хорда длинной больше корня из трёх стягивает угол больше 2Pi/3, значит у короткой хорды разница между углами должны быть либо меньше 2Pi/3, либо больше 4Pi/3. Такие хорды лежат в маленьком треугольничке и в нижней полоске. Несложно посчитать отношение суммы площадей к площади целого треугольника — 2/3.

Итого
Если бы дело решалось голосованием и если выбирать только из приведённых решений, то победил вариант 2/3. Правда профессор, хитро прищурившись, сказал, что может подобрать доказательство для любой заданной вероятности, кроме 0 и 1.

В чём прикол с точки зрения математики, немножко подумав, я сообразил. Когда у нас бесконечное количество исходов, мы не можем просто сказать, что все они равновероятны — ну у них у каждого вероятность 0, и что. Нужно задавать на множестве исходов сигма-алгебру и на ней уже вероятность (если попроще: случайным образом бросаем точку на отрезок. бессмысленно говорить о вероятности попасть в конкретную точку, она всегда 0. имеет смысл говорить о вероятности попасть в интервал — вот и тут нужно что-то такое). Из условия не видно, как именно это следует сделать, разные варианты — разные ответы. И действительно, при некотором желании и умении, видимо, можно натянуть на любой нужный результат.

Остаётся только вопрос, какое отношение это имеет к реальности. Единственное, что приходит в голову — смотря как выбирать хорду, может получиться что угодно.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *