Что такое дифференциал в интеграле
Перейти к содержимому

Что такое дифференциал в интеграле

А в чем самое главное отличие дифференциала от интеграла?

Две противоположности. Грубо говоря — дифференциал — разделять, интеграл — объединять.

СергейПросветленный (23883) 11 лет назад

http://otvet.mail.ru/question/81147068/ ПОМОГИТЕ!

Виктор Яньшин Гуру (3489) Сергей, действительно фигня. Я не понимаю.

СергейПросветленный (23883) 11 лет назад

Ну а насчет здешнего вопроса диф. это конкретные значения, а интегр это набор этих значений

Виктор Яньшин Гуру (3489) Можно и так трактовать. Я же сказал «грубо говоря».

косоногов владимирУченик (140) 5 лет назад

. спасибо, ..однако (!) — (прим. по делу. ) диффенрецииал — это «РАЗНОСТЬ», а интеграл — это «СУММА» . это физ. и мат. смысл этих «знаков» . хотите поспорить (?). С Ув. принимаю.

Остальные ответы

диффернциал выделяет часть функции, а интеграл — интегрирует, объединяет эти части

СергейПросветленный (23883) 11 лет назад

http://otvet.mail.ru/question/81147068/ ПОМОГИТЕ

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Свойства неопределенного интеграла

Теорема 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

Доказательство. Пусть функция f(x) имеет первообразную F(x), тогда

ò f ( x ) dx = F ( x ) + c .

Найдем производную и дифференциал от обеих частей равенства.

( ò f(x)dx ) = (F(x) + c)= f(x),

d ( ò f(x)dx ) = ( ò f(x)dx ) ‘ dx = f(x)dx.

Теорема 2. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. ò d f(x) = ò f'(x)dx = f(x) + C .

Из теорем 1 и 2 следует, что операции дифференцирования и интегрирования являются взаимнообратными.

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Доказательство. Пусть функция f(x) имеет первообразную F ( x ).

ò f ( x ) dx = F ( x ) + C .

Умножим обе части на k .

k ò f(x)dx = k F(x) + C1, где C1 = k C .

Найдем производную функции kF(x).

( k F ( x )) ‘ = k f ( x ).

Функция k F(x) является первообразной функции k f(x). Следовательно,

ò k f(x)dx = k F(x) + C,

ò k f(x)dx = k ò f(x)dx .

Теорема 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций.

Интегрирование подведением под знак дифференциала

Подведение под знак дифференциала — что это такое?

Подведение под знак дифференциала решает возникающую при интегрировании проблему, заключающуюся в том, что в подынтегральном выражении находится сложная функция, например, , , и т. п., а под знаком дифференциала d — просто икс. То есть нет возможности сразу применить таблицу интегралов для нахождения такого интеграла.

Цель подведения под знак дифференциала — получить простую функцию, которую можно интегрировать непосредственно, то есть по таблице интегралов. Тогда путём преобразований подынтегрального выражения получим простую функцию переменной и эта переменная будет находится и под знаком дифференциала d.

Решение заключается в том, что аргументом подынтегральной функции становится промежуточный аргумент («внутренняя» функция исходной сложной функции, например, , , и т. п.), который можно обозначить буквой u, и тот же промежуточный аргумент u подводится под знак дифференциала d.

После того, как такой интеграл будет найден, на место буквы u возвращается обозначаемый ею промежуточный аргумент, и таким образом будет окончательно найден интеграл исходной сложной функции.

Формальная общая запись описанных преобразований выглядит так:

где — «внешняя» функция, а — «внутренняя» функция или промежуточный аргумент.

В примерах вместо буквы u будем использовать букву t: так наши решения будут близки к наглядно понятному методу замены переменной. Кстати, в некоторых источниках метод подведения под знак дифференциала считается частным случаем метода замены переменной.

Повторим: наиболее частый случай, когда выгодно применять подведение под знак дифференциала — подынтегральное выражение представляет собой сложную функцию. Но это не единственный случай, когда требуется применять этот метод интегрирования. Другой распространённый случай — когда нет смысла использовать замену переменной, так как это делает вычисления громоздкими. Тогда, чтобы вычисления были короче, можно использовать подведение под знак дифференциала.

Пример 1. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Это почти то же самое, что найти её производную. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 2. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Сразу же видим, что дифференциал синуса от икса равен косинусу от икса, а это как раз то, что нам нужно. Внесём под знак дифференциала синус от икса. Получаем

Полученное переносим в подынтегральное выражение:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 3. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-двойки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 7:

Применить подведение под знак дифференциала самостоятельно, а затем посмотреть решение

Следующие задачи — общий случай: решаются по определению дифференциала функции:

Пример 4. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Пример 5. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Продолжаем решать задачи вместе

В следующих задачах используются правила дифференцирования и интегрирования констант:

Так как , то , иными словами, константу можно подвести под знак дифференциала.

Пример 6. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Так как , где C — произвольная константа, то .

Пример 7. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Пример 8. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — минус икс в квадрате. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус двух перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/2 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 11:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 9. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — логарифм икса. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 12:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 10. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Внесём под знак дифференциала внутреннюю функцию — ту, что в знаменателе. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение, но в нём нет множителя-минус трёх перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Пример 11. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Замечаем, что замена переменной в знаменателе выгодно оборачивается получением табличного интеграла 21 (с арктангенсом). Но в знаменателе у нас икс не в квадрате, а в шестой степени. Представляем икс в шестой степени как , а интеграл преобразуется к . Именно икс в кубе из второго слагаемого в знаменателе представляет собой внутреннюю функцию, которую внесём под знак дифференциала. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-тройки перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим 1/3 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 21:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Пример 12. Найти подведением под знак дифференциала интеграл:

Решение. Смотрим в числитель. Там косинус от трёх икс. Смотрим в знаменатель. Там присутствует синус также от трёх икс. Значит, всё выражение в знаменателе можем как внутреннюю функцию внести под знак дифференциала. Получаем

Полученное нужно перенести в подынтегральное выражение. В нём нет множителя-минус девяти перед дифференциалом. Значит, перед знаком интеграла ставим -1/9 и получаем:

Далее для получения простой функции обозначаем и и окончательно решаем как табличный интеграл 10:

Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

Зачем в интеграле пишется знак дифференциала dx?

Зачем в интеграле пишется знак дифференциала dx? Какой смысл он несет? Или просто так принято писать?

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Подведение под знак дифференциала
Помогите пожайлуста разобраться в теме Подведение под знак дифференциала. В чем принцип этого.

как вносить функциюпод знак дифференциала?
как решить например вот это.

Знак суммы в интеграле
я извиняюсь за глупый вопрос, но все же: есть ли разница между тем, что знак суммы стоит перед.

Посчитать интеграл ,используя лишь метод подстановки и подведения под знак дифференциала
Здравствуйте.Нужно посчитать интеграл ,используя лишь метод подстановки и подведения под знак.

7484 / 4148 / 474
Регистрация: 25.08.2012
Сообщений: 11,529
Записей в блоге: 11
1130 / 789 / 232
Регистрация: 12.04.2010
Сообщений: 2,012

Пример из механики. Движение по прямой: x(t), скорость точки: v = dx/dt.

Всё это разные величины. 1) Перемещение точки. 2) Если умножить на массу точки, получим , изменение кинетической энергии.

4527 / 3521 / 358
Регистрация: 12.03.2013
Сообщений: 6,038

Лучший ответ

Сообщение было отмечено Ev_Hyper как решение

Решение

ЦитатаСообщение от Yaroma11 Посмотреть сообщение

Зачем в интеграле пишется знак дифференциала dx?

По традиции в основном, идущей от Лейбница. Шилов в «Функциях одного переменного» приводит такую цитату из Лейбница: «Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx — это ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижения вперёд, так как тем самым лишают неделимые, как здесь dx, их общности, . из которой проистекают бесчисленные трансфигурации и эквипотентности фигур». Наверно, под «трансфигурациями» и «эквипотентностями» он имеет в виду эффекты, возникающие при замене переменной. Для Лейбница dx было «длиной точки» по x, y dx — площадью бесконечно тонкого прямоугольника, — суммой площадей таких треугольников (знак интеграла — курсивная ſ от summa; тогда эта буква ещё была в ходу — писали ſumma).

В настоящее время для интегралов используют ряд обозначений, в том числе иногда пишут и без дифференциала, потому что с точки зрения «преобразовать функцию в число» он избыточен. Собственно, «переменная интегрирования» тоже избыточна. Однако часто дифференциалы всё равно пишут — по привычке, а так же благодаря некоторым удобствам: 1) формально удобнее производить замену переменной; 2) удобно иметь закрывающий символ; 3) чтобы указать меру; 4) чтобы указать переменную интегрирования, когда их несколько. Когда интегрируют дифференциальные формы на многообразиях, формальный дифференциал не пишут, а d, когда присутствует, обозначает просто операцию над дифференциальными формами — взятие внешнего дифференциала.

Обозначения — это крючочки, которые используются для записи идей. Идеи — главное! Крючочки — второстепенное.

87844 / 49110 / 22898
Регистрация: 17.06.2006
Сообщений: 92,604
Помогаю со студенческими работами здесь

Как пишется знак бесконечности в маткаде?
Как пишется знак бесконечности в маткаде?

Зачем в scanf писать тип данных, если в начале программы это и так пишется?
если переменная a имеет тип integer , то зачем это указывать в printf.

Правилом де Моргана заменить знак конъюнкции на знак дизъюнкции, а знак дизъюнкции — на знак конъюнкции
с помощью правила де Моргана заменить знак конъюнкции на знак дизъюнкции, а знак дизъюнкции — на.

По дате рождения сосчитать знак Зодиака и знак по китайскому гороскопу
По дате рождения сосчитать знак Зодиака и знак по китайскому гороскопу (все в форме). Все условия.

Записать функцию заменяющую в строке (массиве символов) знак пробела на знак подчёркивания
10) Написать условный оператор для увеличения j в 2 раза если j не равно i и j — нечётное число, в.

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *