Как делить матрицы

4. Деление матриц:

Деление матриц — действие над матрицами, которое в этом понятии не встретишь в учебниках. Но если есть необходимость разделить матрицу А на матрицу В, то в этом случае используют одно из свойств степеней: Согласно этому свойству разделим матрицу А на матрицу В: В результате задача о делении матриц сводиться к умножению обратной матрицы матрице В на матрицу А. Обратная матрица есть только у невырожденной матрицы, т.е. у той матрицы, определитель которой не равен нулю. У вырожденной матрицы (определитель=0) обратной матрицы не существует. Матрица обратная данной — это матрица, при умножении на которую данной в результате получается единичная матрица. Условие обратной матрицы Итак, если матрица получилась вырожденной, то на этом заканчиваем, т.к. решить обратную матрицу невозможно. В противном случае, приступим к заполнению обратной матрицы. Для этого надо найти дополнения. Их количество всегда равно числу элементов матрицы. Если матрица третьего порядка, значит у нее 9 элементов, у каждого свое дополнение и все эти дополнения надо искать. Покажу на примере схемы, как найти дополнение элемента, стоящего в первой строке второго столбца, значит элементы, стоящие в первой строке и втором столбце надо вычеркнуть. Оставшиеся элементы (их 4) — записываем в новый определитель, умноженный на (-1) в степени (1+2), где 1 и 2 -номера строки и столбца. После нахождения всех дополнений составляем обратную матрицу, она представляет собой транспонированную матрицу к той, которая составлена из полученных дополнений, деленная на определитель исходной матрицы. Вот почему важно, чтобы матрица была невырожденной (на нуль ведь делить нельзя). Рассмотрим на примере нахождение обратной матрицы: Пусть дана матрица В: Найдем ее определитель: Определитель равен 232, это не ноль, значит матрица невырожденная и для нее можно найти обратную матрицу. Для этого найдем 9 дополнений: Дополнение для элемента, стоящего в первой строке первого столбца: Дополнение для элемента, стоящего в первой строке второго столбца: Дополнение для элемента, стоящего в первой строке третьего столбца: Теперь определим следующие три дополнения для второй строки: И последние три для третьей строки: Теперь составим обратную матрицу: Матрица обратная данной найдена. Чаще всего нахождение ранга матрицы вызывает сложности, хотя решение данной задачи почти ни чем не отличается от предыдущих. Давайте разберемся — вам надо найти ранг матрицы. Во — первых, ранг матрицы — это какое то число. Во-вторых, максимум оно может быть равно минимальному числу из количества строк или столбцов матрицы, т.е. если матрица имеет размер 4х5, то максимум ранг будет 4. В- третьих, минимум ранг матрицы равен 1, если только вы не имеете дело с нулевой матрицей, там всегда ранг равен нулю. Как же найти это число, называемое ранг матрицы? Для начала найдем минор матрицы некоторого элемента. Минор некоторого элемента матрицы — это определитель той матрицы, которая получается путем вычеркивания строки и столбца из исходной матрицы, в которых стоит некоторый элемент. Не путайте с алгебраическим дополнением матрицы! Как видно на схеме, минор — это всего лишь определитель на порядок меньше исходного определителя, а дополнение — это полученный определитель, домноженный еще на (-1) в степени суммы номера строки и столбца, вычеркнутых в исходной матрице. Так вот нам надо искать миноры, именно они позволяют найти ранг матрицы. Порядок первого минора определяется следующим образом: 1. посчитайте количество строк и столбцов в данной матрице; 2. выберите минимальное из этих двух чисел ( в случае если они разные); 3. отнимите единицу от получившегося числа. Теперь у вас есть значение, которое показывает, сколько в миноре должно быть строк и столбцов. Миноров этого порядка может быть несколько. Надо ли их искать все? Все будет зависеть от того, чему будут равны эти миноры. Если мино получился, равный нулю, то надо искать другой минор этого порядка, пока не найдете, отличный от нуля. Возможны два случая: 1. Вы нашли минор, не равный нулю — значит ранг матрицы найден. Ранг — это порядок этого минора. Если в миноре было 2 строки и два столбца, значит ранг матрицы равен 2. 2. Вы перебрали все миноры данного порядка и все они равны нулю — значит уменьшаем порядок на единицу и повторяем процесс, пока не найдем определитель, не равный нулю. Ранг матрицы принято обозначать: r, r(A), rang A. Давайте на примере рассмотрим как найти ранг матрицы. Я предложу вариант, когда количество строк и столбцов разные: Пусть дана матрица B размера 3х4: Найдем ее ранг. Начнем искать миноры с порядка 3, т.к. строк в матрице три, а столбцов четыре, минимальное этих чисел — 3. В матрице В всего четыре минора порядка 3, их можно получить путем вычеркивания:

• первого столбца:

• второго столбца:

• третьего столбца:

• четвертого столбца:

Все миноры равны нулю. Если есть сложности с их расчетами, то прочитайте статью Определитель матрицы.

Итак, мы перебрали все миноры третьего порядка и все они равны нулю – значит уменьшаем порядок на единицу и повторяем процесс, пока не найдем определитель, не равный нулю.

Миноры второго порядка:

Т.к. при нахождении миноров третьего порядка мы вычеркивали ноль строк и один столбец, то при нахождении миноров второго порядка, увеличив на единицу количество вычеркиваемых строк и столбцов, получим одну строку и два столбца, которые требуется вычеркнуть.

Уже первый минор, который мы получили путем вычеркивания третьей строки и третьего и четвертого столбцов, получился равен 4. а значит он отличен от нуля.

Значит на этом процесс заканчивается и ранг матрицы равен 2, т.к. последний минор, который мы искали второго порядка,

Деление матриц

Частное от деления двух матриц – это матрица с элементами, равными сумме произведений соответствующих элементов строк матрицы-делимого и элементов столбцов обратной матрицы-делителя.

Обозначения

m – число строк матрицы-делимого и матрицы-частного;

n – число строк матрицы-делителя и число столбцов для всех матриц;

mxn – размерность матрицы-делимого и матрицы-частного;

nxn – размерность матрицы-делителя;

a_ij – элемент матрицы A, лежащий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца матрицы;

b_ij – элемент матрицы B, лежащий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца матрицы;

c_ij – элемент матрицы C, лежащий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца матрицы;

A_ij – aлгебраическое дополнение к элементу a_ij матрицы A;

Δ – определитель матрицы A;

– матрица B – матрица-делимое;

– матрица A – матрица-делитель;

– матрица C – матрица-частное.

Формула

• Заметим, что делить можно только матрицы у которых число столбцов матрицы-делимого совпадает с числом столбцов матрицы-делителя, причём матрица-делитель квадратная матрица с определителем отличным от нуля.

Другие операции:

• сложение матриц;
• вычитание матриц;
• умножение матрицы на число;
• умножение матриц;
• деление матриц;
• транспонирование матрицы;
• обращение матрицы;
• обращение клеточной матрицы;
• возведение в степень матрицы;
• нахождение определителя;
• нахождение минора;
• нахождение алгебраического дополнения.

Ссылки

Деление матриц

Пользуясь удобным средством вычисления на сайте, выполняйте точное деление матриц онлайн. Обратите внимание на особенности этой процедуры, чтобы получить корректный итог.

Делить матрицы невозможно! Так считает теория высшей математики, и для этого утверждения есть веские основания. Принято считать, что деление строк матриц нецелесообразно, так как дает 0, а на него нельзя совершать эту операцию. Но, если задуматься, везде есть свои нюансы и особенности. Такое явление, как матричные таблицы, конечно, обладает своей спецификой. Поэтому здесь можно посмотреть на этот вопрос под другим углом.

Оказывается, деление в данном случае все-таки возможно. Но как это сделать, если оно противоречит принципам матрицы? Согласно учебникам, такая операция просто-напросто отсутствует в рабочем арсенале математика. Но есть хитрость: здесь идет фактически замена деления одной таблички на другую на операцию перемножения.

Как же это работает? Ведь если совершить умножение, то результат произведения не сойдется с тем, что может быть с делением. Делается это так: заменяется разделение на умножение матриц друг на друга, но вторая из них должна быть обратной второй.

Стоит присмотреться в данном случае ко второй участнице этого нестандартного умножения. Вторая из матриц должна быть, если все верно, квадратной самой себе. Но что делать, если она не соответствует этому критерию либо ее математический определитель вообще равен 0?

В этом случае надо признать решение следующим: в этом расчете нет однозначного и точного решения. Если есть альтернатива, то следует высчитать матричный определитель и действовать дальше, в соответствии со следующим шагом. То есть найти обратное значение элемента В, далее перемножить его с А.

Важный момент: согласно известной аксиоме, от перемены мест произведение не меняется. В данном случае матричные уравнения подбрасывает нам «сюрприз». Согласно данному порядку, менять местами участников процедуры умножения нельзя ни при каких обстоятельствах. Иначе есть риск получить неодинаковые результаты при одинаковых данных. Здесь стоит проявить внимательность, используя калькулятор деления матриц.

Если матрицу можно инвертировать, она получает статус «невырожденной», то есть регулярной. Если инвертирование недоступно, то перед нами «вырожденная» таблица, либо сингулярная.

Формула

Как это выглядит в виде формулы: А:В – неверное представление, такая форма вычисления как раз и запрещена в силу своей несостоятельности. Нужно сделать обмен на следующий вариант: А*В.

Обе формулы будут как бы равнозначны по смыслу, если используются величины скалярного типа. В теории это и будет называться как «деление», но ели быть корректными, то это перемножение одной таблицы на обратную ей самой.

Теперь, зная, что такое суть «деления матриц», можно приступить к совершению подобного расчета и попробовать что-то вычислить. Всегда слово, обозначающее «деление», следует ставить в кавычки, указывая на условность этого обозначения. Оно применяется для удобства, фактически этого действия не существует в математической реальности.

Но итог, если дойти до итогов, будет тем же, что и первая версия данного расчета. Вот почему признается равенство разделительного действия и перемножения, при условии использования обратного значения второго операнда.

Правильная запись такого типа вычислений будет выглядеть следующим образом: [A]*[B] -1 или [B] – * [A].

Традиционно такие методы используют для расчетов в линейных системах. В этом случае тоже выручит, как и при делении матриц онлайн калькулятор.

Примеры решений

Теперь проверим возможность делимости на практических примерах математических вычислений. Согласно теории, невозможно сделать это прямым способом, только при обратной версии второго операнда. Следует учесть, что А*В -1 отличается от В -1 *А, данные действия разные по своей сути. Можно провести разные действия, чтобы просчитать все ответы и версии решения.

Пример можно привести на разделении простых чисел: 10:5.

Итак, мы не можем напрямую получить ожидаемое 2, так как действие неактуально. Значит, нужно найти обратные числа по отношению к 5. Это будет 5 -1 (либо 1 /_5). Теперь осуществляется замена на операцию умножения и получается: 10*5 -1 .

Таким образом и будем действовать при своем расчете:

Нам нужно перемножить две таблицы:

Правильной будет следующая версия записи:

Вычисление делается согласно правилам в следующем порядке, если нужен другой итог:

Вот таким образом выполняется на бумаге и на калькуляторе интересная и неоднозначная расчетная операция – деление матриц. Не стоит забывать о такой опции, как инвертирование – то есть поиск обратной версии таблицы, она должна иметь черты квадратной, то есть обладать равным количеством строчек и столбиков. В случае несоответствия данному условию не будет одного точного решения ни при каких условиях. Для получения корректных результатов важно точно и внимательно вводить данные на онлайн-калькуляторе, тогда искажений не последует.

Действия с матрицами

Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>.

Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами.

Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт!

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

и три столбца:

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец или одна строка , то такие матрицы также называют векторами.

На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: и – это две совершенно разные точки плоскости.

Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами:

1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит.

Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль.

Обратный пример: . Выглядит безобразно.

Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак:

Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какие-либо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок.

2) Действие второе. Умножение матрицы на число.

Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Еще один полезный пример:

– умножение матрицы на дробь

Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО:

Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если – окончательный ответ задания).

И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь:

Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать.

Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу:

А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить.

В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения.

3) Действие третье. Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация.

4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное.
НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!

Сложить матрицы и

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Найти разность матриц ,

А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу :

Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения.

5) Действие пятое. Умножение матриц.

Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы .

Пример:
Можно ли умножить матрицу на матрицу ?

, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

, следовательно, выполнить умножение невозможно:

Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно.

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так.
Например, для матриц, и возможно как умножение , так и умножение

Как умножить матрицы?

Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей.

Начнем с самого простого:

Умножить матрицу на матрицу
Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Умножить матрицу на матрицу

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение (правильный ответ ).

Обратите внимание, что ! Это почти всегда так!

Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу на матрицу

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу на матрицу

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу.

А пока спектакль закончен.

После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам,

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2023. Копирование материалов сайта запрещено