Как сравнивать степени
Перейти к содержимому

Как сравнивать степени

Сравнить числа 8^80 и 6^90

При сравнении чисел с разными основаниями и разными степенями, нужно привести и левую часть, и правую части или к одному основанию степени, или одному показателю степени.

Преобразуем числа 8^80 и 6^90.

1) 8^80 = (2^3)^80 = (2^8)^30 = (2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2)^30 = (256)^30;

2) 6^90 = (2 * 3)^(3 * 30) = (6^3)^30 = (36 * 6)^30 = (216)^30.

Теперь можно сравнить два числа с одинаковыми показателями степени равном 30:

(256)^30>(216)^30, так как основание 256>216, а показатели степени 30 одинаковые.

Как сравнивать степени

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 70. Сравнение степеней

Теорема 1. Из двух степеней с одинаковыми показателями и положительными основаниями больше та, основание которой больше. Другими словами, если а > b > 0, то при любом натуральном п

а n > b n .

Это свойство было доказано нами в главе I (§ 12).

Пример. Какое число больше: 2 300 или 3 200 ?

Для решения этой задачи представим данные числа в виде степеней с одинаковыми показателями, используя тождество

а mn = (а m ) n .

2 300 = 2 3•100 = (2 3 ) 100 =8 100 3 200 = 3 2•100 = (3 2 ) 100 = 9 100

Так как 9 > 8, то 9 100 > 8 100 . Следовательно,

Если а >1, то из двух степеней а m и а n больше та, показатель которой больше.

Доказательство. Пусть m > п. Тогда т = п + k, где k — некоторое натуральное число. Поэтому

а m = а n+k =а n а k .

Если же а > 1, то а k > 1. Следовательно, а m = а n а k > а n .

Например, ( 1 /3 ) 100 < ( 1 /3 ) 50 ; 3 100 > 3 50

Упражнения

526. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми показателями и сравнить их по величине:

1) 4 2 и 2 8 ; 4) 4 300 и 3 400 ; 6) ( — 6 /7 ) 4 и ( 36 /49) 6 ;

2) 27 3 и 9 6 ; 5) — 1 /8 и (— 1 /32) 3 ; 7) ( 1 /16) 100 и ( 1 /2) 500 .

527. Данные выражения представить в виде степеней с одинаковыми основаниями и сравнить их по величине:

1) 8 5 и 16 3 ; 3) (—3) 75 и (—27) 15 ;

2) 4 100 и 32 50 ; 4) 81 150 • 8 200 и 3 600 • 16 75 .

528. Что больше: (а n ) m или (а m ) n ?

Как сравнить числа с большими степенями и разными основаниями? Например 2009^2010 и 2010^2009

Взять логарифм по одному и тому же основанию. Обычно берут десятичный логарифм. Действует простое правило: больше то число, у которого логарифм больше.

2009^2010 = e^(2010*ln2009)
2010^2009 = e^(2009*ln2010)

открываешь таблицу логарифмов или считаешь на калькуляторе и смотришь, что больше, 2010*ln2009 или 2009*ln2010
насколько я слышал, таблицы Брадиса обязаны быть на экзаменах типа егэ и предоставляются по требованию. в них есть и таблица логарифмов
Если даже на каком-то сраном егэ можно пользоваться этими таблицами, с какой стати нельзя пользоваться на твоём экзамене? пиши жалобу на преподавателя.

Юлия Дмитриева

допустим, 2010 = Х.
дано: Х^х и (Х+1)^х-1 .
например, Х=2, то 2^2=4; (2+1)^2-1=3^1=3.
4>3 => 2010^2010 > 2011^2009 .
вместо Х можно подставить любое число)

§ 4. Возведение сравнений в степень

Многие результаты теории сравнений связаны с остатками высоких степеней чисел, поэтому покажем, как можно продолжить процесс возведения в степень. Предположим, например, что мы хотим найти остаток сравнения

Одним из путей для выполнения этого является повторное возведение в квадрат. Мы находим:

9 = 3 2 ? 2 (mod 7),

89 = 64 + 16 + 8 + 1 = 2 6 + 2 4 + 2 3 + 1,

то отсюда следует, что

3 89 = 3 64 • З 16 • З 8 • 3 = 4 • 4 • 2 • 3 ? 5 (mod 7).

Таким образом, остаток (по модулю 7) есть 5, или, говоря другими словами, в соответствии с изложенным в § 2, последняя цифра числа З 89 , записанного в системе счисления при основании 7, равна 5.

В действительности, для того чтобы найти этот остаток, мы записали показатель степени

89 = 2 6 + 2 4 + 2 3 + 1 = (1, 0, 1, 1, 0, 0, 1)

в двоичной системе счисления. Повторным возведением в квадрат мы нашли остатки (по модулю 7) тех степеней числа 89, которые сами являются степенями числа 2:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.

Соответствующий метод можно использовать для любых других оснований. Однако в частном случае бывает возможность упростить вычисление, если заметить особенности этого случая. Например, в случае, разобранном выше, мы можем отметить, что

откуда заключаем, что

3 84 = (3 6 ) 14 ? 1 (mod7).

3 89 = 3 84 • 3 3 • 3 2 ? 1 • (-1) • 2 = -2 ? 5 (mod 7),

В качестве другой иллюстрации сказанного можно рассмотреть числа Ферма, с которыми мы познакомились в § 3 гл. 2:

Первые пять чисел Ферма таковы:

Отсюда можно высказать предположение:

десятичная запись всех чисел Ферма, за исключением F0 и F1 оканчивается цифрой 7.

Докажем с помощью сравнений, что это действительно так. Очевидно, что оно равносильно утверждению, что числа

оканчиваются цифрой 6. Это можно доказать по индукции. Заметим, что

2 2? = 16 ? 6 (mod 10),

2 2? = 256 ? 6 (mod 10),

2 2?4 = 65536 ? 6 (mod 10),

Более того, если мы возводим в квадрат число 2 2?k , то результатом будет число

Предположим, что для некоторого значения t

;

возводя в квадрат это сравнение, мы находим, что

,

что и требовалось.

Читайте также

§ 2. Некоторые свойства сравнений

§ 2. Некоторые свойства сравнений Способ, которым мы записываем сравнения, напоминает нам уравнения, и в действительности, сравнения и алгебраические уравнения имеют много общих свойств. Простейшими из них являются три следующих свойства:a ? a (mod m); (7.2.1)это является

§ 3. Алгебра сравнений

§ 3. Алгебра сравнений Из алгебры мы помним, что уравнения можно складывать, вычитать, умножать. Точно такие же правила справедливы для сравнений. Предположим, что мы имеем сравненияa ? b (mod m), с ? d (mod m). (7.3.1)По определению, это означает, чтоa = b + mk, c = d + ml, (7.3.2)где k и l — целые

ГЛАВА 8 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СРАВНЕНИЙ

ГЛАВА 8 НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ СРАВНЕНИЙ § 1. Проверка вычислений Как мы уже упоминали, создателем теории сравнений был немецкий математик Карл Фридрих Гаусс. Его знаменитая работа по теории чисел «Арифметические исследования» появилась в 1801 году, когда ему было 24 года. В

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *