Какие из перечисленных групп являются циклическими

Циклические группы

Эти группы наиболее просто устроены. В циклической группе есть такой элемент (он называется порождающим элементом группы), что каждый элемент группы может быть получен (многократным) применением групповой операции к порождающему.

Чтобы разобраться с циклическими группами, введем несколько простых обозначений, которые понадобятся и в дальнейшем. Единицу мы будем обозначать как нулевую степень произвольного элемента: е = а 0 . (Это просто полезное условное обозначение. Его можно считать определением а 0 .) Далее, результат п-к ратного применения операции к элементу а будем обозначать а п :

В аддитивной записи та же самая степень обозначается па.

Проверим, что

прямым вычислением (в нём мы используем, что а и а 1 коммутируют):

Равенство (1.3) позволяет однозначно понимать выражение а~ п (—па в аддитивной записи) и дает определение отрицательной степени.

Все остальные свойства степени, к которым мы привыкли в обычной арифметике, здесь тоже сохраняются. Например:

Так же легко получить еще одно привычное равенство

Теперь посмотрим па то, как устроены циклические группы. Есть два случая.

1. Все степени порождающего элемента различны. Группа состоит из элементов

а операция однозначно определена равенствами (1.3) — (1.4). По существу, эго группа целых чисел но сложению. Эго становится очевидным, если переписать предыдущую строчку в аддитивной записи

2. Две различные степени порождающего элемента совпадают:

Обозначим через q наименьшее натуральное т, для которого а т = е (это число называется порядком элемента а).

Докажем, что элементы циклической группы в этом случае — это е = а 0 , а 1 , a q ~ l , причем все перечисленные элементы различны. Действительно, если а 1 = а 1 , 1 ^ I г ~ 1 = еи приходим к противоречию с выбором q (так как t — I п . Разделим п на q с остатком: п = sq + . О ^ т n = 1. Можно проверить, что относительно умножения корни из единицы образуют группу, и эта группа циклическая.

Пример 1.15. Степени любого элемента а в любой группе образуют циклическую группу. Свойство ассоциативности в данном случае выполняется тривиально, единица — та же самая, что и в исходной группе. Согласно проделанным выше вычислениям, произведение степеней является степенью, обратный элемент также является степенью. Элемент а является порождающим. Обратите внимание, что каждый элемент исходной группы может породить свою группу. Группу, порожденную элементом а, мы будем обозначать (а).

Примеры циклических групп

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

3. Пусть — произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок — порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

действующее по формуле:

очевидно является гомоморфизмом и его образ совпадает с . Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G — циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z.

В любой группе G могут быть определены степени элемента с целыми показателями:

Имеет место свойство

Это очевидно, если . Рассмотрим случай, когда . Тогда

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Из (6) следует, что

Кроме того, по определению. Таким образом, степени элемента образуют подгруппу в группе G. Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом , и обозначается через.

Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента различны, либо нет. В первом случае подгруппа бесконечна. Рассмотрим более подробно второй случай.

Пусть ,; тогда . Наименьшее из натуральных чисел т, для которых , называется в этом случае порядком элемента и обозначается через .

Предложение 1. Если , то

Доказательство. 1) Разделим m на п с остатком:

Тогда в силу определения порядка

В силу предыдущего

Следствие. Если , mo подгруппа содержит n элементов.

Доказательство. Действительно,

причем все перечисленные элементы различны.

В том случае, когда не существует такого натурального т, что (т.е. имеет место первый из описанных выше случаев), полагают. Отметим, что ; порядки же всех остальных элементов группы больше 1.

В аддитивной группе говорят не о степенях элемента , а о его кратных, которые обозначают через . В соответствии с этим порядок элемента аддитивной группы G — это наименьшее из натуральных чисел т (если такие существуют), для которых

ПРИМЕР 1. Характеристика поля есть порядок любого ненулевого элемента в его аддитивной группе.

ПРИМЕР 2. Очевидно, что в конечной группе порядок любого элемента конечен. Покажем, как вычисляются порядки элементов группы Подстановка называется циклом длины и обозначается через если она циклически переставляет

а все остальные числа оставляет на месте. Очевидно, что порядок цикла длины равен р. Циклы и называются независимыми, если среди фактически переставляемых ими чисел нет общих; в этом случае . Всякая подстановка однозначно разлагается в произведение независимых циклов. Например,

что наглядно показано на рисунке, где действие подстановки изображено стрелками. Если подстановка разлагается в произведение независимых циклов длин , то

ПРИМЕР 3. Порядок комплексного числа с в группе конечен тогда и только тогда, когда это число есть корень некоторой степени из единицы, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда , a соизмерим с , т.е. .

ПРИМЕР 4. Найдем элементы конечного порядка в группе движений плоскости. Пусть . Для любой точки точки

циклически переставляются движением , так что их центр тяжести о неподвижен относительно . Следовательно, — либо поворот на угол вида вокруг точки о, либо отражение относительно некоторой прямой, проходящей через о.

ПРИМЕР 5. Найдем порядок матрицы

как элемента группы . Имеем

так что . Конечно, этот пример специально подобран: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы будет конечен, равна нулю.

Предложение 2. Если , то

Доказательство. Пусть

Определение 1. Группа G называется циклической, если существует такой элемент , что . Всякий такой элемент называется порождающим элементом группы G.

ПРИМЕР 6. Аддитивная группа целых чисел является циклической, так как порождается элементом 1.

ПРИМЕР 7. Аддитивная группа вычетов по модулю n является циклической, так как порождается элементом [1].

ПРИМЕР 8. Мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни суть числа

Ясно, что . Следовательно, группа порождается элементом .

Легко видеть, что в бесконечной циклической группе порождающими элементами являются только и . Так, в группе Z порождающими элементами являются только 1 и — 1.

Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается через . Порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента. Поэтому из предложения 2 следует

Предложение 3. Элемент циклической группы порядка n является порождающим тогда и только тогда, когда

ПРИМЕР 9. Порождающие элементы группы называются первообразными корнями n-й степени из 1. Это корни вида , где . Например, первообразные корни 12-й степени из 1- это .

Циклические группы — это наиболее простые группы, которые можно себе представить. (В частности, они абелевы.) Следующая теорема дает их полное описание.

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе. Всякая конечная циклическая группа порядка п изоморфна группе .

Доказательство. Если — бесконечная циклическая группа, то в силу формулы (4) отображение есть изоморфизм.

Пусть — конечная циклическая группа порядка п. Рассмотрим отображение

то отображение корректно определено и биективно. Свойство

вытекает из той же формулы (1). Таким образом, — изоморфизм.

Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.

Теорема 2. 1) Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

2)В циклической группе порядка n порядок любой подгруппы делит n и для любого делителя q числа n существует ровно одна подгруппа порядка q.

Доказательство . 1) Пусть — циклическая группа и Н — ее подгруппа, отличная от (Единичная подгруппа, очевидно, является циклической.) Заметим, что если для какого-либо , то и . Пусть т — наименьшее из натуральных чисел, для которых. Докажем, что . Пусть . Разделим к на т с остатком:

откуда в силу определения числа т следует, что и, значит,.

2) Если , то предыдущее рассуждение, примененное к (в этом случае ), показывает, что . При этом

и Н является единственной подгруппой порядка q в группе G. Обратно, если q — любой делитель числа п и, то подмножество Н, определяемое равенством (9), является подгруппой порядка q. Теорема доказана.

Следствие. В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой.

ПРИМЕР 10. В группе всякая подгруппа имеет вид , где .

ПРИМЕР 11. В группе корней n-й степени из 1 любая подгруппа есть группа корней q- й степени из 1, где .

Конечная группа

Таблица умножения (таблица Кэли) — таблица, которая описывает структуру конечных алгебраических систем с одной бинарной операцией. Таблица позволяет определить, является ли группа абелевой, найти ядро группы и обратные элементы по отношению к другим элементам в этой группе.

Структура

Тогда таблица будет выглядеть следующим образом:

*	a₁	a₂	.	a_n
a₁	a₁a₁	a₁a₂	.	a₁a_n
a₂	a₂a₁	a₂a₂	.	a₂a_n
.	.	.	.	.
a_n	a_na₁	a_na₂	.	a_na_n

Свойства

Каждая строка или столбец являются перестановкой элементов группы.
Если таблица симметрична относительно главной диагонали, то операция умножения коммутативна.
В конечной группе порядок каждого элемента является делителем порядка группы.
Все группы простого порядка [math]p[/math] изоморфны [math]\mathbb/p\mathbb[/math] .

Примеры таблиц умножения для конечных групп

Ниже перечислены все группы до шестого порядка включительно:

[math]|G| = 1[/math]

Группа вычетов по модулю два относительно сложения: [math]\mathbb/2\mathbb[/math]

Группа вычетов по модулю три относительно сложения: [math]\mathbb/3\mathbb[/math]

Группа вычетов по модулю четыре относительно сложения: [math]\mathbb/4\mathbb[/math]

+	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	0	3	2
2	2	3	0	1
3	3	2	1	0

Группа вычетов по модулю пять относительно сложения: [math]\mathbb/5\mathbb[/math]

Группа вычетов по модулю шесть относительно сложения: [math]\mathbb/6\mathbb[/math]

+	0	1	2	3	4	5
0	0	1	2	3	4	5
1	1	2	3	4	5	0
2	2	3	4	5	0	1
3	3	4	5	0	1	2
4	4	5	0	1	2	3
5	5	0	1	2	3	4

Группа перестановок множества из трех элементов: [math]\mathbb_3[/math]

*	e	a	aa	b	c	d
e	e	a	aa	b	c	d
a	a	aa	e	c	d	b
aa	aa	e	a	d	b	c
b	b	d	c	e	aa	a
c	c	b	d	a	e	aa
d	d	c	b	aa	a	e

Для группы [math]\mathbb_3[/math] [math]a[/math] — это циклическая перестановка [math](123)\rightarrow(231)[/math] , а [math]b,\,c,\,d[/math] — транспозиции [math](123)\rightarrow(213),\,(123)\rightarrow(132),\,(123)\rightarrow(321)[/math] соответственно.

О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ НЕИНЦИДЕНТНЫХ ПОДГРУПП, НЕ СОДЕРЖАЩИХСЯ В НЕКОТОРОЙ ПОДГРУППЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Половицкий Я.Д., Коневских Т.М.

Рассматриваются конечные группы , в каждой из которых G существует истинная подгруппа S, такая, что пересечение любых двух неинцидентных подгрупп группы G, не содержащихся в S, циклическое (БС-группа). Получен ряд свойств таких групп . Описаны некоторые подклассы класса конечных БС-групп.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

ABOUT FINITE GROUPS WITH CYCLIC INTERSECTIONS OF NONINCIDENT SUBGROUPS NOT CONTAINED IN SOME SUBGROUP

We consider finite groups G in which a true subgroup S exists. This subgroup S has the following property: the intersection of any two non-incident subgroups of G that are not contained in S is a cyclic (SC-group). Several properties of such groups are obtained. Some subclasses of the class of finite SC-groups are described.

Текст научной работы на тему «О КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ НЕИНЦИДЕНТНЫХ ПОДГРУПП, НЕ СОДЕРЖАЩИХСЯ В НЕКОТОРОЙ ПОДГРУППЕ»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

О конечных группах с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп, не содержащихся в некоторой подгруппе

Я. Д. Половицкий1, Т. М. Коневских1

1Пермский государственный национальный исследовательский университет Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15 alg@psu.ru; 8(342) 239-63-21

Рассматриваются конечные группы, в каждой из которых С существует истинная подгруппа 5, такая, что пересечение любых двух неинцидентных подгрупп группы С, не содержащихся в 5, циклическое (БС-группа). Получен ряд свойств таких групп. Описаны некоторые подклассы класса конечных БС-групп.

Ключевые слова: группа; циклическая группа; пересечение; инцидентная подгруппа. DOI: 10.17072/1993-0550-2020-3-5-16

В работе [1] описаны два класса групп с циклическими пересечениями неинцидентных подгрупп (См-групп) — конечные разрешимые См-группы и бесконечные бинарно конечные См-группы. В настоящей работе рассматривается класс конечных БС-групп — групп, в которых цикличность пересечения требуется только для всех неинцидентных подгрупп, не содержащихся в некоторой выделенной подгруппе (сепарирующей подгруппе, введенной С. Н. Черниковым в [2]), включающей в себя класс конечных См-групп. Оба эти класса связаны с рассмотренным в [3] классом С/М-групп — групп с циклическими пересечениями максимальных подгрупп. В настоящей работе получен ряд свойств БС-групп и получено описание конечных нильпотентных БС-групп и конечных БС-групп с циклическими силовскими подгруппами.

Наряду со стандартными используются и следующие обозначения:

А ^ В — подгруппы А и В инцидентны;

А ^ В — подгруппы А и В не инцидентны; группа типа пхт — прямое произведение циклических групп порядков п и т.

Основные определения и некоторые свойства $С-групп

Определение 1. Пусть в группе С существует такая истинная подгруппа Б, что либо для любых двух неинцидентных подгрупп А и В группы С, не содержащихся в Б, пересечение АПВ является циклической группой, либо таких пар (А, В) в С нет. Такую группу С назовем БС-группой, или группой с БС-условием, а Б — ее сепарирующей подгруппой (понятие сепарирующей подгруппы относительно некоторого набора теоретико-групповых свойств введено в [2]).

Очевидно, в определении 1 обе подгруппы А и В можно считать нециклическими.

Определение 2 (см. [1]). Группу, в которой либо пересечение любых двух ее неинцидентных подгрупп является циклической группой, либо любые две подгруппы инцидентны, назовем См-группой.

Замечание 1. Очевидно, каждая В Ф Sxi (9) (поскольку А и В нециклические),

С^-группа является ЯС-группой (достаточно взять 5 = 1). Также ЯС-группами являются конечные группы с единственной нециклической максимальной подгруппой.

Замечание 2. Так как любая истинная подгруппа ЯС-группы С, содержащая ее сепарирующую подгруппу, также, очевидно, является сепарирующей, то во всякой конечной ЯС-группе есть сепарирующая максимальная подгруппа.

Определение 3. Пусть С — конечная ЯС-группа, 5 — ее сепарирующая максимальная подгруппа. Тогда С назовем группой одного из следующих типов: Типа 1: если 5 Ф С;

стое число. Пусть Р — силовская ^-подгруппа группы С.

Тип 2 разобьем на два подтипа: Тип 2а: С — типа 2, Р Ф С; Тип 2Ь: С — типа 2, Р < С.

Замечание 3. В силу замечания 2 и определения 3 каждая конечная ЯС-группа С является группой хотя бы одного из типов 1, 2а или 2Ъ. Но так как в С может быть несколько сепарирующих подгрупп, то С одновременно может быть группой нескольких из этих типов.

Лемма 1. Всякая ЯС-группа С типа 1 является конечной С^-группой.

Доказательство. В силу определения 3 группа С конечная и в ней существует такая сепарирующая подгруппа Б, что Б < С (1) и Б Ф в (2). Отсюда следует, что Б = и потому, учитывая (2), имеем: 1с1Б1 >3. Поэтому с1 Б з <Б^\БХ2,БХз>(3), где все Б^ различны (I = 1,3). Нетрудно видеть, что все Б*1 являются также сепарирующими подгруппами группы С, а в силу (1) Б*1 < С.

Поэтому любые две из подгрупп (3) не содержатся в третьей из этих подгрупп, а тогда, так как она — сепарирующая подгруппа, из ЯС-условия следует, что

(БХ^БХ1) = 2П. (4), 1,] = 13, I* ].

Пусть А и В — истинные нециклические подгруппы группы О и А ^ В (5). Если они содержатся в разных подгруппах из (3) или обе не содержатся в одной из них, то в силу (4) или ЯС-условия (АПВ) = гг (6).

Пусть А с Sxi (7), В с Sxi

(AftB) = С — нециклическая группа.

Тогда в силу (4) при i Ф j А Ф SXl (8) и

и, так как S i — сепарирующая подгруппа группы G, то выполняется (6), то есть подгруппа С циклическая, вопреки предположению. Наконец, если выполняется (7), а В Ф Sxi при любых j = 1,3, то в силу (4) и нецикличности А при i Ф j выполняются (8) и (9), а тогда, как показано выше, выполняется (6). Значит, С — циклическая группа, и ввиду произвольности выбора А и В (с условием (5)) G является С^-группой. □

Замечание 4. Если G — SC-группа, S — ее сепарирующая подгруппа, Н — нециклическая подгруппа группы G и Н Ф S, то в силу определения 1 любые две подгруппы группы G, содержащие Н, инцидентны. Поэтому, если |G| < от и Н < G, то G/H = Zpn - примарная циклическая группа.

gN = 9lN (4), n(lgl) = n (5).

< giN >= H/N (6). В силу (1) и (6) k lg1l и | H/N l = к (7). Из (1) — (3) нетрудно видеть, что найдутся такие элементы д Е В (8) и b Е В (9), что д1 = gb (10), выполняется (5) и (Щ,к) = 1 (11). В силу (3), (6) и (9) ЬЕН , а тогда из (7) следует, что Ьк Е N (12). Но в силу (11) < Ьк >=< b >, а тогда из (12) следует, что b Е N. Отсюда и из (10) следует справедливость (4). □

Следствие. Если G/N — циклическая ж-группа, то G = N < д >, где п(д) = n(G/N).

R1/NHR2/N = (R1HR2)/N циклическая.

Отсюда следует справедливость последнего утверждения леммы. □

Определение 4. Пусть G — конечная SC-группа, S — ее сепарирующая подгруппа,

Замечание 5. Из определения 4 видно, что никакой остов F нельзя представить в виде F = Р1 X F2, где < С, I = 1,2 и хотя бы одна нециклическая.

Замечание 6. Если в конечной БС-группе С есть нециклическая сепарирующая подгруппа Б < С, то существует остов F группы С, такой что Р < Б (это следует из определения 4).

Лемма 4. Пусть БС-группа С типа 2 имеет инвариантную сепарирующую нециклическую максимальную подгруппу Б. Для любой F (6), Б = Р < др >(7). В частности, выполняются все утверждения леммы, если F — остов С.

Доказательство. В силу определения 5 выполняется 1С/Б1=р (8) и потому существует д1 6 (С\Б) (9), такой, что Ш=рк (10). В силу (2)

Положим Н = Н1 (15). Пусть С Ф Н1. Так как С Ф Н1 и5 (ибо группа не может быть объединением двух своих истинных подгрупп), то существует д2 6 (С\(Н1иБ)) (16). Тогда Н2 = Р < д2 >Ф Б (17) и так как (Н1ПН2) > Р и F нециклическая, то (Н1ПН2) — нециклическая группа. Отсюда и из (13), (15), (17) и БС-условия следует, что Н1 ^ Н2, и, поскольку в силу (16) и (17) Н2 Ф Н1, то Н1 < Н2. Пусть уже построена цепочка подгрупп Н1 < Н2 <. < Нк (18) таких, что Н1 = Р^<д1>(19)

и д16 (С\(Н1-1иБ)) (20), 1 = 1, к. Если Н^ Ф С, то, как и выше, показывается, что существует дк+1 6 С, удовлетворяющий условию (20) при I = к + 1 и подгруппа Нк+1 вида (19) при этом же ¿, причем Нк < Нк+1, то есть цепочка (18) продолжается подгруппой Нк+1. Так как |С| < от, то через конечное число шагов получим, что эта цепочка оборвется, и потому при некотором т 6 N Нт = С, то есть С = Р •< дт >(21). Введем обозначение: п(в/Р) = п (22). Тогда ввиду (22) и (21) n(|gmF|) = п (23) и в силу следствия леммы 2 существует д 6 С, что л:(|g|) = п (24) и в = Р < д >(25). Если А = < д >(26), то в силу (24) п(А) = п (27). Теперь из (25) и (26) следует (3) и (6), из (22) и (27) получаем справедливость (4), а из (4) и (14) — справедливость (5). Теперь из (1), (3), (6) и (8) получаем, что др 6 Б, а тогда справедливо (7). □

Доказательство. Из условий следствия 1 видно, что С с F (12) и |G/S| = р (13). Так как в силу (9), (6) и (8) С1 ФБ (14), то в силу леммы 3 С1 является БС-группой с сепарирующей подгруппой 51 = (БМ-!) < в1 (15). В силу (13), (14) и (15)

Следствие 2. Пусть G — конечная SC-группа, удовлетворяющая условиям следствия 1 леммы 4, причем возможно и А = Р. Если F = Ert (20) и в F есть собственная ^-допустимая подгруппа R1, то t = 2 (21) и F = R1xR2 (22), где Ri < G (23), i = 1,2.

Доказательство. Из (20), (1) и (2) следует, что в силу теоремы Машке F предста-вима в виде (22), где R2 также ^-допустима и потому выполняется (23). В силу замечания 5 Ri (i = 1,2) — циклические группы, а тогда из (20) следует, что iRil = г, ( i = 1,2), и ввиду (22) и (20) выполняется (21). □

Следствие 3. Пусть G — SC-группа типа 2, S — ее сепарирующая подгруппа. Если в G существует нециклическая силовская q-подгруппа Q и Q < G (1), то G = Q \ Т (2), где q >1Т1 (3), Т = Zk (4), ln(k)l < 2 (5). Если Q Ф S (6), то Т = Zpn (7) (p - простое число).

Следствие 4. Пусть G и F удовлетворяют условиям леммы 4. Если G’ = F (1), то F — остов группы G.

Доказательство. Пусть F не является остовом группы G. Тогда из условий следствия 4 и определения остова следует, что существует F1 < F (2), что F1 - остов G. В силу леммы 4 G/F1 абелева, а тогда G' < F1. Отсюда и из (2) следует, что G' < F, в противоречие с (1). Значит, F - остов группы G. □

Лемма 5. Для конечных р-групп условия SC, См и CIMравносильны.

Доказательство. Равносильность условий SC и См для таких групп следует из теоремы 2 из [1]. Так как всякая См-группа является SC-группой, то для доказательства леммы достаточно показать, что всякая конечная примарная SC-группа Р является CIM-группой. Пусть S — сепарирующая подгруппа группы Р и S < Р (1). Так как Р - конечная р-группа, то S < Р (2). Пусть Mi < Р (3), i = 1,2.

Из доказанного следует, что Р является CZM-группой. □

Хорошо известно следующее утверждение (см., например, [4], 18.5):

Лемма 6. Если Р — абелева ^-группа, А — p’ -подгруппа из Aut Р и А централизует П^Р), то А = 1.

Следствие 1. Если G = R х В (1), R = Zrn (2), r \ 1В1 (3) и C(B)HR Ф 1 (4), то В с C( R) (5).

Следствие 2. Если при условиях следствия 1 В’ = 1 (6) и В Ф G (7), то В = N(B) (8) и V Rt:1 < R1 < R (9) подгруппа Н = Rt х В (10) нециклическая и Н -$G (11).

Доказательство. В силу (7) и (1) В Ф C(R), а тогда из следствия 1 получаем, что С(В)№ = 1(12). Ввиду (1)

Следствие 3. Пусть G = R х А (1), R = Zrt (2), 1А1= к (3), г \к (4), А’ = 1 (5), А Ф G (6), Z = Z(G) (7). Если Аi

Доказательство. Так как G в силу условий следствия 3 разрешима, а в силу (1), (3), (4) и (9) А, А1, А2 — холловы подгруппы порядка к группы G, то по теореме Холла они сопряжены и в силу (5) подгруппы Аi (i = 1,2) абелевы. Ввиду (1), (3), (4) и (9) G = R х А1 (12). Рассмотрим подгруппу следующего вида L = < А1,А2 >(13). В силу (12) L = R0 х А1 (14), причем учитывая (10) и (13) 1

Доказательство. Пусть Н нециклическая. Ввиду (3) и (1) Н Ф Б, и потому в силу (5) Т ФБ (7). Ввиду (5) и (4) ВФТ и, учитывая (6), имеем: В ^ Т. Теперь отсюда и из (2) и (7) в силу БС-условия получаем, что ТПВ = Я — циклическая группа. Но ввиду (1) и (5) Я > Н, а Н нециклическая. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения леммы. □

Следствие. Пусть БС-группа имеет вид С = АхО (1), где (|A|,|D|) = 1 (2), А — 1к (3), |^(С)| >3 (4) и 5 — сепарирующая подгруппа группы С. Если

01ФБ (10) и В нециклическая, то |Al|=qФ2 (11).

Доказательство. Так как В нециклическая и ввиду условий следствия (И^, = 1 (12), то отсюда и из (7) следует, что цФ2 (13) — ибо АиЬ 12т является 2-группой. Пусть ^^ Фц (14). Тогда существует А0 такая, что 1 < А0 < А1 (15) и |.Д01 = ц (16). Рассмотрим Н = А0 X 01 (17). Так как В нециклическая, то в силу (17) и следствия 2 леммы 6 подгруппа Н нециклическая.

Лемма 9. Пусть конечная группа С представима в виде С = Р хТ (1), где Р — ее силовская ^-подгруппа. Такая С является БС-группой с сепарирующей подгруппой 5 < С (2) и Р Ф Б (3) тогда и только тогда, когда С = Q х В (4), где Q — гцгп (5),

Ц \ |B| (6), а В — конечная См-группа (если Р циклическая, то Q = Р, а В = Т).

Необходимость. Пусть группа С, удовлетворяющая условиям леммы, является БС-группой и выполняются (2) и (3). Тогда из (1) — (3) следует, что Б = Р1хТ (7), где Р1

Для Р возможны два случая:

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(10) Н1ПН2 = Рх (Т1ПТ2) (13) — циклическая группа, а тогда Т1ПТ2 = (14). Значит, Т является С^-группой. Для случая 1 необходимость доказана.

2. Р — нециклическая группа.

Достаточность. Пусть для С выполняются (4) — (6) и В — С^-группа. Чтобы нам можно было использовать предыдущие обозначения, положим Q = Р и В = Т. Тогда С -группа вида (1), Р = 2рп (16), р \ |Т| (17) и Т — С^-группа. Возьмем 5 вида (7) с условием

(8). Тогда выполняются (3) и (2).

(11) и (12). Тогда из (11), (12), (7), (8), (11) и (16) следует, что Н > Р, а потому из (1) следует, что Н1 имеют вид (10), где 1 <Т( <Т (18), а из (10) и (12) следует справедливость (9). Так как Т - С^-группа, то из

(9) и (18) следует, что выполняется (14). Из

(10) и (17) следует справедливость (13), а тогда из (13), (14), (17) и (16) получаем, что Н1ПН2 — циклическая группа. Значит, С является ЯС-группой с сепарирующей подгруппой 5. □

Лемма 10. Конечная непримарная нильпотентная группа С тогда и только тогда является ЯС-группой, когда С = Q х В (1), где Q = !чт (2), д \ 1В1 (3), а В — конечная нильпотентная С/М-группа (такие группы описаны в теореме 1 из [3]).

Доказательство. Так как в силу теоремы 3 из [1 ] для конечных нильпотентных групп С/М-условие и С^-условие равносильны, то достаточность утверждения леммы 10 следует из леммы 9.

Пусть С — конечная нильпотентная ЯС-группа и Я — ее сепарирующая максимальная подгруппа. Тогда существует силовская р -подгруппа Р группы С, такая что Р Ф Б. Так как С нильпотентна, то С = Р х Т. Значит, для С выполняются условия леммы 9. В силу этой леммы справедливы (1) — (3), а В -нильпотентная С^-группа. Как отмечено выше, тогда В является С/М-группой. □

Доказательство. Из (1) — (4) и (6) следует, что В = (Н1ПН2) = Т1Х А0 (10), гд ¿0 -холлова ж-подгруппа группы В. Так как С разрешима, то в силу (10) и теоремы Холла Л0 с (Ах1ПАу1) = F (11), где Ах* — холлова ж-подгруппа группы Н1, а АУг — холлова ж-подгруппа группы Н2. Тогда из (3) и (4) следует справедливость (8) и (9), а из (11), так как F — ж-подгруппа группы В, а Ао — ее холлова ж-подгруппа, получаем, что А0 = F (12) и из (10) — (12) следует справедливость (7). □

Следствие. Если в лемме 11 А — силовская ^-подгруппа группы С, то утверждения (7) — (9) этой леммы справедливы для любых конечных групп.

Доказательство. В силу (2) и (3) Ухе С Ах Ф Б (10). Из (4) и (7) следует, что Нх = ТХАх< С (11). Ввиду (10) и (11) Нх Ф Б (12). Пусть выполняется (8). Возможны два случая.

Так как \НХ\= \Ну \ , то ввиду условия 1 Нх ^ НУ (13). Так как ввиду (2) наряду с (12) НУ Ф Б, то отсюда, из (12), (13) и ЯС-условия следует, что V = НХПНУ (14) — циклическая группа. Наряду с (11) НУ = Т Х Ау, и, учитывая (11) и (14), имеем: V зТ Х(АхПАУ), и из цикличности V следует справедливость (9). 2. Нх = Ну.

Тогда Нх = Т\АХ = Т\АУ. В силу (5) и (6) Ах и Ау — холловы ж-подгруппы группы Нх. Отсюда и из (8) в силу следствия 3 леммы 6 получаем, что АХПАУ = Z(HX), а тогда ввиду (11) справедливо (9). □

Хорошо известны следующие утверждения о некоторых классах конечных p -групп (см., например, [4], 17.11-17.22, 18.8, 18.11, 18.13, 18.17, 18.18, 18.21).

Лемма 13. Конечная p -группа, имеющая циклическую максимальную подгруппу, изоморфна одной из следующих групп: 1. Zpn; 2. Zpn-i X Zp (n>2);

3. Mpn (n>3); 4. D2n (n>3); 5. Q2n (n>3); 6. SD2″(n>4). Из класса M этих групп подкласс L групп, не имеющих нециклических характеристических максимальных подгрупп, составляют следующие группы: a) Q2n; b) Ü2n; c) Zpn; d) Ep2, а подкласс А класса М, состоящий из всех таких p -групп Р, для которых Aut Р не является p -группой, составляют следующие группы: I. Ер2; II. Zpn-i X Zp, n>3, p ^2;

III. Zpn, p ^2; IV. Mpn, p ^2; V. Q8. Пересечение последних двух классов: (ША) = .

Следствие. Пусть G = Q \В (1), Q = Q8 (2), 2 \ |ß| (3) и существует Q1

Доказательство. Ввиду (1) — (3) любой элемент b е(В\1) индуцирует в Q 2′-автоморфизм а в силу (6) = Q1.

Но отсюда и из (2), (4) и (5) и леммы 14 следует, что |^|| 4, и потому (р — тождественный автоморфизм, а тогда из (1) следует (7). □

Некоторые подклассы класса СУ-групп типа 2

Теорема 1. Непримарная группа С является БС-группой типа 2Ъ тогда и только тогда, когда она — группа одного из следующих типов (ниже всюду Q — Zqm (1), Z = Z(G) и р Ф д):

1. С = Q хТ, ц \ |Г|, Т — конечная См-группа;

2. С = (Р1 X Q) X Р2, Р1Ф г (2) и выполняется одно из условий:

2.1. Р1 — Ер2, |Р2| = р и для любой Q1, такой, что 1 < Q1 < Q (3) в Р1 нет собственных

2.2. |Р1 = р, Р2—грп-1, рФ2.

Необходимость. Пусть С — непримар-

Значит, подгруппа Р — нециклическая. Тогда из (6), (9) и замечания 4 следует И = Q — Zqm (24) и выполняется (1). В силу (19)-(21) Р%Т.

Отсюда ввиду (8), (22) и (20) из ЯС-условия следует, что Р2 = РПТ — циклическая группа, то есть Р2 = Zpt (25). Отметим, что если Р2 с Z(P) (26), то из (9) и (19) следует, что Р2 с Z (27).

В силу (8) и леммы 3 Р является ЯС-группой с сепарирующей подгруппой S1 (вида (14)), и потому ввиду леммы 5 Р есть CIM-группа. Из описания таких примарных CIM-групп в теореме 1 из [3] следует, что нециклическая группа Р есть группа одного из следующих типов:

II. 1Р/М1 = р,М = Zpn-i, п > 2;

III. |Р/Ф(Р)| = р2, Ф — максимальная циклическая подгруппа группы Р.

Рассмотрим каждый из них.

Если в S1 существует собственная Q1-допустимая подгруппа Р4, то 1Р41 = р и Р0 = Р2 X Р4

2. 1Р/М1 =р,М = Zpn-i.

Если Aut Р является p -группой, то из (9) и (24) следует, что G нильпотентная, в противоречие с отмеченным выше. Значит,

Aut Р не является p -группой, а тогда из леммы 13 следует, что Р — одна из следующих групп:

1. Ер2 ; 2. Zpn-i X Zp, п > 2,р Ф 2;

В последнем случае ввиду (16) |S1| = 4, и из (9), (15) и следствия леммы 14 получаем, что G = Р X Q (32) и G нильпотентна, что не имеет места. Значит, случай 4 невозможен.

Если Р — типа 1 и р # 2, то, учитывая (26) и (27), получаем, что Р — одна из групп типа 2.2. Пусть Р = Е4. Тогда из (15), (14), (9) и (2) ввиду теоремы Машке получаем: Р = S1 X Р1, |S1| = 1Р11 = 2, S1 < G, Р1< G. Но отсюда следует, что Р < Z и выполняется (32), что, как отмечено выше, невозможно.

G = (Р1XР2)XQ = (Р1 XQ)XР2 (43). Так как G ненильпотентна, то выполняется (2) и ввиду (41) р Ф 2. Мы получили, что G- группа типа 2 с условием 2.2. теоремы 1. Рассмотрение случая 2 окончено. 3. Р — группа типа III.

В силу (15) и (16) S1 з Ф(Р). Введем обозначения: H/Ф(Р) = H (для любой H с условием Ф(Р) < H < G). Так как ввиду (15) S1 < G и из определения группы типа III Р =

Ер2, то, применяя к G теорему Машке, получим: Р = Si X M (44) и M < G. Так как M >Ф (Р), то, в силу определения группы типа III, M — нециклическая группа, причем МФБ (ибо иначе ввиду (44) Р с S, вопреки (8)). Так как MQ < G, то существование такой группы M противоречит первому утверждению леммы 8. Значит, случай 3 невозможен. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть G — группа одного из типов теоремы 1. Во всех этих типах |G| < от.

1. Группа типа 1 в силу леммы 9 является БС-группой, где S = Т X Q1, Q1 < Q, и потому Q Ф S. Значит, G - БС-группа типа 2b (ибо Q < G).

2. G — группа типа 2.

Пусть Я; непримарна. Тогда из определения групп типов 2.1 и 2.2 следует, что Я; з Р1 (51), ибо в Р1 ввиду определения групп этих типов нет собственных Ç1-допустимых подгрупп для любой Q1 с условием: 1 < Ç1 < Q. Для групп типа 2.1 это означает, что Я; з Р (52) (ибо в них Р1< Р и P1cS, а для Я, выполняются (51) и (50)). В группе G типа 2.2, как нетрудно видеть, вне S из p -подгрупп находятся только такие подгруппы: Р4 = Zpn-1 < Р (53) (Р4 >Ф(Р) (54)) — это следует из того, что Р — группа типа рп-1 X р. Поэтому Я; з Р4 (55). Но так как в такой группе G Р2 < Р, (Р2 из (40)), то отсюда следует, что Р2 з Ф(Р), и так как ввиду (48) Р =

P1 X Р2, то получаем, что Р1 Ф Ф(Р), а тогда, ввиду (54) и |Р1| = р, (Р1ПР4) = 1 и из (51) и (59) следует, что Я; з (P1 X Р4) = Р, то есть тоже выполняется (52).

Итак, для всех непримарных Я; с условием (50) выполняется (52). Так как в силу определения группы типа 2 G/P = Zqm, то любые две такие подгруппы Я1 и Я2 инцидентны.

Отметим, что в силу (52) Я; > Р0 для любой Р0 < Р.

Все примарные нециклические подгруппы группы G содержатся в Р, а такие Р в

группах типа 2.1 и 2.2, как показано в теореме 1 из [1] в силу теоремы 1 из [3] являются См-группами.

Этим доказано, что С — БС-группа с сепарирующей подгруппой 5 вида (49).

В силу (48) — (50), Р = (Р1 х Р2) с С и Р Ф Б. Значит, С — БС-группа типа 2Ь. □

Следствие 1. В группе типа 2.2 любые две нециклические подгруппы, не содержащиеся в Б, инцидентны (это видно из доказательства достаточности, так как единственная максимальная нециклическая подгруппа группы Р типа р х рп-1 содержится в 5).

Следствие 2. Конечная разрешимая группа С тогда и только тогда является БС-группой типа 2Ь, когда она — либо группа типа 1 теоремы 1, где Т — конечная разрешимая См-группа, либо группа типа 2 этой теоремы.

Отметим, что конечные разрешимые См-группы описаны в [1].

В силу следствия 2 теоремы 1 для получения описания конечных разрешимых БС-групп теперь достаточно получить описание таких групп типа 2а.

Теорема 2. Пусть С — конечная неабе-лева непримарная группа, все силовские подгруппы которой циклические. Такая группа С является БС-группой типа 2а тогда и только тогда, когда она — группа одного из следующих типов (ниже всюду Р, Q, Я, соответственно, циклические силовские р-, д- и г-подгруппы группы С, Z = Z(G), а в типах 1 -3 ни одно из полупрямых произведений не является прямым).

1. С = Ях^хР), |Р| = гФ 2.

2. С = (^ х Я) X Р, ц, |Р| = г, 2 \цг и V х,у 6 С, таких, что Рх Ф Ру, выполняется (Р*ПРу) =

Необходимость. Пусть С, удовлетворяющая условиям теоремы, является БС-группой типа 2а. Тогда, в силу определения 3, ее сепарирующая подгруппа 5 удовлетворяет условиям Б с С (1) и |G/S| = р (2), а РФС (3). В силу (2) и (3) V х 6 С Рх Ф Б (4). Так как все силовские подгруппы группы С циклические, то, как хорошо известно, С = А X И (5), где А — гк (6), И — (7) и (|Л|, |£|) = 1 (8). Так как С неабелева, то О Ф С (9). Не нарушая общности, можем считать, что все инвариантные силовские подгруппы группы С содержатся в А, и потому если Т — силовская /-подгруппа группы С и Т с Б (10), то Т Ф С (11).

Из (3) и (5)-(8) следует, что Р Ф А, а тогда, ввиду (8), |Р| | |D|. Поэтому в качестве Р можно взять силовскую ^-подгруппу группы D, то есть Р < D (12). Из (2) и (8) следует, что S з А, а тогда из (5) и (2) следует, что 5 = Ах Di (13), где |D/Di| = р (14).

Пусть R — силовская подгруппа группы А, такая, что Р Ф C(R) (18) — в силу (17) хотя бы одна такая R существует. Тогда подгруппа Н = R \ Р (19) нециклическая и, в силу следствия 1 леммы 6, имеем: C^)HR = 1 (20).

Для дальнейшего понимания отметим, что если D = Р (21), то в силу (13) и (14) S = А\Р1 (22) и 1Р/Р11 = р (23).

Тогда из (19), (18), (4) и следствия леммы 7 получаем, что |R| = г Ф 2 (24).

Предположим, что ln(G)| > 3 (25). Тогда существуют силовская ^-подгруппа Q и силовская í-подгруппа Т группы G, каждая из которых содержится либо в А, либо в D, такие, что (рг, qt) = 1 (26). В силу (5) — (8) и (26) каждая из подгрупп Q и Т перестановочна и с R, и с Р, и потому ввиду (19) и с Н. Учитывая условие 1, имеем: HQ < G, НТ < G и HQ % НТ. Так как в силу (4) и (19) HQ Ф S и НТ Ф S, то из полученного выше и ЯС-условия следует, что HQПHТ = Н - циклическая группа, в противоречие с доказанным выше. Значит, (25) невозможно, а тогда из условия 1 следует, что ln(G)| = 3 (27).

Поэтому либо А, либо D — примарная группа. Рассмотрим каждый из этих случав. 1.1. D — примарная группа. Тогда ввиду (12) выполняются (21) — (23) и в силу (27), (3) и (5) G =А\Р (28), А = Q X R (29), то есть G = (Q X R) \ Р (30).

Возможны два подслучая. 1.1.1 Или Q с Z, или R с Z.

Пусть Q с Z. Тогда выполняется (18) (ибо иначе в силу (30) G — абелева, вопреки условию). Поэтому по доказанному в начале пункта 1 справедливо (2) и учитывая (24) и (30), G — одна из групп типа 1 теоремы 2 (ибо

С = (Я \ Р) X Q — одна из таких групп. Аналогично при Я с Z выполняется Q Ф С(Р) (31), откуда следует

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|Q| = q Ф 2 (32) и С — группа типа 1, где подгруппы Q и Я поменялись местами (можно поменять их обозначения). 1.1.2 Q ФZ,RФZ.

Тогда справедливы (18) и (31), подгруппы Н (см. (19)) и Ь = Q \ Р (33) нециклические, и потому, как показано в начале пункта 1, выполняются (24) и (32), а тогда 2\qr (34).

Пусть х,у 6 С и Рх Ф Ру (35). Введем обозначение Р0 = Рх П Ру (36). Из (4), (19) и леммы 12 получаем, что Ро с С(Я) (37). Точно так же, рассматривая вместо Н подгруппу Ь вида (33), из леммы 12 и (32) получим, что Р0 с С^) (38) при х и у с условием (35). Из (36)-(38) и (30) получим: Ух,у6в, таких, что выполняется (35), Р0 < Z (39). Но в силу условия 1.1.2 и (30) Z с Рх, V х 6 С, т. е. в силу (36) Z < Р0, а тогда отсюда и из (39) Р0=Z (40). Теперь из (30), (24), (32), (36), (35) и (40) получаем, что О - группа типа 2 теоремы 2.

Случай 1.1 рассмотрен. 1.2. А = Я — г-подгруппа.

Тогда из (27), (12) и (5) имеем: О = РxQ (41) и С = R\(РXQ) (42). Отсюда в силу (3) получаем, что подгруппа В = Я \ Р (43) — нециклическая. Теперь из (27), (4), (43) и (42) мы видим, что к С применимо следствие леммы 7 (при А1 = Я и И1 = Р), и в силу этого следствия 1Я1 = г Ф 2 (44). Из (32) и (44) следует, что С — группа типа 1 теоремы 2. Случай 1 рассмотрен. 1. Ы(С)1 = 2.

Тогда С = Q \ Р и, так как С — неабеле-ва группа, то q Ф 2 выполняется (3) и С -группа типа 3 теоремы 2. Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть С — группа одного из типов теоремы 2. Проверим, что она является неабелевой ЯС-группой типа 2а.

Во всех этих группах, как отмечено в теореме, полупрямые произведения не могут быть прямыми и потому эти группы неабелевы.

Покажем, что каждая из них является ЯС-группой. 1. С — группа типа 1.

Так как С неабелева, то хотя бы одна из подгрупп Q или Р неинвариантна в С. Пусть выполняется (3).

Пусть ЖС (47) и Н Ф Б (48). Тогда ввиду (45) — (48) Н з Рх (49) для некоторого х 6 С. Нам достаточно рассматривать только нециклические Н, а тогда из определения группы типа 1 следует, что Нзй.

Отсюда и из (49) следует, что Н з В = ЯхРх (50). Но С = Я, а тогда из (50) следует, что В с С и потому В = Я X Р. Но С/В — Q — циклическая д-группа Значит, если Н1 Ф Б (51), Н2 Ф Б (52) и Н[ нециклические, то Н1 з В (1 = 1,2) и Н1/В ^ Н2/В, а тогда Н1 ^ Н2- Этим доказано, что С является БС-группой с сепарирующей подгруппой 5 (причем любые две ее нециклические подгруппы, не содержащиеся в Б, инцидентны).

2. О — группа типа 2.

Положим Б = Ах Р1 (53), где А — вида (29), а Р1 удовлетворяет (46). Пусть Н нециклическая и выполняется (48). Так как по определению группа типа 2 теоремы 2 С = АхР = ^хЯ)хР (54) и р\ |Л|, то из (48) и (53) следует справедливость (49) и Н непримарная, то есть НПА Ф 1 (55).

Поэтому ввиду (29) и (49) либо Н = QxPx (56), либо Н0 = ЯхРУ (57) (Н0 удовлетворяет тем же условиям, что и Я). Очевидно, что НПН0 — циклическая группа.

Пусть Н1 и Н2 — две подгруппы вида (56), то есть H1 = Qx Рх1 (58), H2 = Qx Рх2 (59) и Н1ФН2 (60).

Введем обозначение: К = Н1ПН2 (61).

Тогда из (58)-(61) и леммы 11 имеем: К = Q X В (62), где В = Рхз П Рх* (63) и рхз ф рх^ (64). Из описания групп типа 2 следует, что В = 7, а тогда из (62) получаем, что К — циклическая группа.

Точно так же, как и выше, из описания группы типа 2 получаем, что и для Н1 и Н 2 вида (57) (Я1ПЯ2) — циклическая группа.

Из доказанного следует, что С -БС-группа с сепарирующей подгруппой 5 вида (53).

3. С — группа типа 3.

Тогда С = QxP (65), Ц—Ч^. Положим Б = Q X Р1 (66), где Р1 вида (46).

Так как во всех пунктах 1-3 выполняется (3) и в силу определения 5 (см. (45), (46), (56) и (53)) выполняются (1) и (2), то из доказанного выше следует, что каждая из групп типов 1-3 является БС-группой типа 2а. □

На базе полученных в работе результатов будет продолжено изучение конечных разре-ш имых БС-групп.

1. Половицкий Я.Д., Коневских Т.М. О группах с циклическими пересечениями неинцидентных (максимальных) подгрупп // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2019. Вып. 3(46). С. 23-31.

2. Черников С.Н. Группы, имеющие сепарирующие подгруппы // Группы с заданными свойствами подгрупп. Киев, 1975. С. 6-14.

3. Половицкий Я.Д. Конечные разрешимые группы с циклическими пересечениями максимальных подгрупп // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 2. С. 22-35.

4. Белоногов В.А. Задачник по теории групп. М.: Наука, 2000. 240 с

H. ff. Помоeицким, T. M. KoneecKUX

About finite groups with cyclic intersections of nonincident subgroups not contained in some subgroup

Ya. D. Polovitsky, T. M. Konevskikh

Perm State University; 15, Bukireva st., Perm, 614990, Russia alg@psu.ru; 8(342) 239-63-21

Keywords: group; cyclic group; intersection; incident subgroup.